基于优化模糊数学方法的黄土边坡稳定性评价

庞荣， 冷先伦， 李彪， 盛谦

(1. 湖北工业大学土木建筑环境学院， 武汉 430068； 2.中国科学院武汉岩土力学研究所/岩土力学与 工程国家重点实验室， 武汉 430071； 3. 山东大学岩土与结构工程研究中心， 济南 250100)

由于黄土地区特有的工程地质环境，形成了众多高陡边坡，不仅影响了工程施工进度同时威胁了基础设施的安全运营，如何快速准确掌握黄土边坡的稳定性，对于指导工程建设及节约成本具有重要意义。

目前边坡稳定性评价模型主要分为确定性和不确定性两种模型[1]。确定性方法主要借助于数值模拟手段，通过假设滑动面的位置及形状，依据相应的力学理论对边坡进行稳定性评价。如王述红等[2]针对数值方法中滑面难以选取的难题，提出了动态强度折减DDA法(dynamic strength reduction discontinuous deformation analysis，DSR-DDA)，提高了计算精度。陈国庆等[3]考虑强度折减法稳定性评价安全系数静态单一的问题，提出了动态整体强度折减法，实现了边坡渐进失稳过程中动态获取安全系数的功能，并应用到具体工程当中。李涛等[4]推导了空间滑动面准则，并将准则导入到了FLAC软件中，对比了该准则与M-C准则在边坡稳定性评价中的差异。此类方法考虑了影响边坡稳定的主要因素，如边坡土体重度、边坡含水率、边坡倾角等，在边坡稳定性预测方面取得了很多有益成果。但是采用这些确定性方法对边坡进行稳定评价时对参数进行了大量简化且仅考虑了少数影响因素，而边坡的稳定性影响因素众多，难以通过数学模型来精确表达，并且这些模型计算复杂，计算量非常大，难以对边坡的稳定性进行快速准确评价。近年来，针对确定性方法存在的不足，不确定性分析方法被广泛应用于边坡稳定性评价中。沈简等[5]确定了边坡评价指标隶属度函数，建立了边坡模糊可靠度数学模型。王浩等[6]采用模糊综合评判法及结合具体工程实践，构造了契合实际的边坡安全评价模型。张勇慧等[7]根据公路边坡岩质边坡的特点，建立了适用于岩质边坡的稳模糊综合稳定性分级模型。何健东等[8]基于黄土地区地质特点并充分考虑了多种影响因素，将变权模糊识别方法应用到黄土边坡稳定性评价当中。王艳霞[9]系统阐述了模糊数学评价法的优点，并指出了方法中存在的问题，其认为隶属度函数的选取及保证权重的客观性是保证评价准确的关键问题也是亟需解决的难题。

针对隶属度函数的选取和权重求解存在的不足，现提出重要性比较法来求解边坡因素集的权重，该方法将影响因素置于同一矩阵，并一一比较两因素的重要性，将各因素评价结果求和代入权重计算公式即可确定因素权重，降低人为主观性的影响；引入模糊可变集合方法求解因素隶属度，该方法只需进行数学运算即可确定各因素的等级隶属度，避免隶属度函数选择时受人为主观性影响的难题；最后利用级别特征值法求解评价对象的级别特征值，查表即可确定评价样本所属的安全等级。为保证评价准确快速，基于编程语言MATLAB实现了黄土边坡稳定性评价程序化求解。利用已有文献中的道南隧道、燕麦沟黄土边坡验证本文评价方法的正确性。在此基础上，对陕西黄-延高速某一黄土公路边坡开展稳定性分析，并以长期监测数据为佐证，进一步证实本文评价方法的适用性，为黄土边坡的稳定性分级提供参考。

1 黄土边坡分级方法的基本理论

1.1 模糊可变集合方法原理

1.1.1 相对差异函数概念与定义

依据文献[10]模糊可变集合方法的基本原理用数学语言可表述如下：设论域U上的一个模糊概念A，对U中的任意元素u，在相对隶属函数的参考连续数轴任一点上，u对表示吸引性质A的相对隶属度为μA(u)，u对表示排斥性质A的对立概念Ac的相对隶属度为μAc(u)，设u对A的相对差异度为DA(u)，即

DA(u)=μA(u)-μAc(u)

(1)

且满足

μA(u)+μAc(u)=1

(2)

式中：μA(u)∈[0，1]；μAc(u)∈[0，1]。

定义映射：

DA:→[-1，1]

(3)

u→DA(u)∈[-1，1]

由式(1)及式(2)可求得差异度为

DA(u)=2μA(u)-1

(4)

(5)

1.1.2 相对差异函数模型

设X0=[a，b]为实轴上DA(u)>0的区间，X0=[a，b]为包含X0(X0∈X)的某一范围域间。如图1所示，区间[c，a]和[b，d]的相对差异度均小于零。设M为区间[a，b]中相对差异度为1的点值。求某一指标x的相对差异度，设x为X区间内的任意一点数值。

当x位于M点左侧时，则

(6)

当x位于M点右侧时，则

(7)

当x不在范围[c，d]内时，则

DA(u)=-1，x∉(c，d)

(8)

DA(u)确定，即可利用式(5)求得相对隶属度μA(u)。

1.1.3 可变模糊集合等级区间划分

(1) 待评价对象的指标特征值矩阵为

Xm×c=([xij])

(9)

(2) 依据文献[8]明确指标i与隶属级别h的标准区间矩阵[a，b]，即

图1 点x、M与区间[a，b]、[c，d]的位置关系图
Fig.1 Relationship among pointx， pointMand intervals [a，b]，[c，d]

ABm×c=([a，b]ih)

(10)

(3) 根据标准区间[a，b]和图1可确定标准区间矩阵[c，d]，即

CDm×c=([c，d]ih)

(11)

(4) 根据矩阵[a，b]、[c，d]确定出矩阵[m]，即

Mm×c=([m]ih)，h=1，2，…，c

(12)

式中：c为级别；矩阵的行i表示待评对象的指标(i=1，2，…，m)；矩阵的列j表示待评样本的个数(j=1，2，…，n)。

1.2 隶属度权重求解

因素重要性比较法将评价因素集放置于同一个矩阵当中分别为行元素与列元素，进行行列元素重要性比较，如行因素χκ比列因素χλ重要时，则Nκλ=1，Nλκ=0 ；如列因素χλ比行因素χκ重要时，则Nκλ=0，Nλκ=1 ；如行因素χκ与列因素χλ同等重要时，则Nκλ=0.5，Nλκ=0.5 ；将所有评价结果均置于矩阵N中，当所有评价完成后将每行的评价结果求和记为Nc，将结果代入式(13)即可求得各评价指标所占的权重值wn。

(13)

式(13)中：c为评价指标的个数；n为评价指标编号。

(14)

1.3 级别特征值法

将各影响因素的权重矩阵wn和隶属度矩阵uA(u)代入式(15)求解样本对各等级的综合相对隶属度矩阵uA(u)′。

uA(u)′=wn×uA(u)

(15)

对各综合相对隶属度进行归一化处理公式为

(16)

式(16)中：g为安全等级数。

最后用式(17)求解级别特征值H，查边坡稳定性评价等级标准表2即可明确评价对象的安全等级。

(17)

2 模型验证

2.1 黄土边坡稳定性影响因素集

黄土边坡稳定性与多种因素有关，依据已有文献的相关研究成果[11-12]现选取边坡高度、边坡角度、土体容重、土体内摩擦角、土体黏聚力、地震烈度、土体含水率为评价指标，建立评价因素集C=[c1、c2、c3、c4、c5、c6、c7]，并将黄土边坡稳定性等级G分为5级，分别为稳定(Ⅰ)、较稳定(Ⅱ)、基本稳定(Ⅲ)、不稳定(Ⅳ)、极不稳定(Ⅴ)。

2.2 稳定性影响因素权重求解

采用重要性比较法对影响黄土边坡稳定性的因素进行因素比较，得到各影响因素重要性比较矩阵N及Nn，即

(18)

根据式(13)可得评价指标权重wn为wn=[0.041、0.041、0.102、0.183、0.143、0.224、0.265]。

2.3 算例分级评价

以文献[12]中的工程为算例，应用本文评价方法对道南隧道、燕麦沟黄土边坡[12]的稳定性进行评价。黄土边坡的稳定性评价指标等级标准如表1所示，黄土高边坡稳定性评定分级标准及处理措施如表2所示，边坡参数值如表3所示。

由表3可知燕麦沟边坡指标特征值矩阵：Xm×n=[80、31.69、15.6、21.82、56.33、6、0.1]，根据表1可得等级区间[a，b]、[c，d] 及[m]的矩阵分别为

表1 黄土边坡稳定性评定分级标准[13]Table 1 Classification grade standard of high loess slope stability[13]

表2 黄土边坡稳定性评价等级标准[13]Table 2 Evaluation grade standard of high loess slope stability[13]

表3 边坡参数[12]Table 3 Slope parameter[12]

(19)

(20)

(21)

已知等级特征值、指标等级区间根据模糊可变集合方法相应公式可以求得归一化综合相对隶属度，将其代入式(16)可以求得级别特征值为2.6。为实现快速评价，基于MATLAB软件编译了适用于黄土边坡的稳定性分级程序(图2)，将道南隧道边坡的特征值代入求得级别特征值2.4。查找表2可知燕麦沟边坡属于基本稳定边坡，需采取监控措施实时了解边坡的稳定状态。道南隧道黄土边坡属于较稳定边坡，不需要采取处理措施，但须引起注意。将评价结果与已有文献[12]评价结果对比，评价结果一致，证实了本文评价方法的正确性，如表4所示。

表4 计算结果及对比分析Table 4 Calculation results and comparative analysis

图2 MATLAB程序界面图Fig.2 Program interface diagram based on MATLAB

3 工程实例应用

根据现场勘察结果可知，陕西黄-延高速某一公路边坡坡高约25 m，边坡坡度为48°，后缘地形平坦，坡体表面覆有少量植被，查找相关规范可知该地地震峰值加速度为0.05，对应地震基本烈度6度，边坡含水率为0.28，边坡的计算简图如图3所示，土体参数如表5所示。该边坡紧邻高速公路，且含水率高，偶尔有水从坡脚处流出；为了保障公路的安全运营需对该边坡进行安全评价。由于边坡的坡脚位置含水率较高，且在坡脚的位置往往存在应力集中现象，故取坡脚位置处的土体参数用于边坡稳定性评价，参数如下X=[25 48 18.5 19.5 34 6 0.28]，利用文中方法对该边坡的稳定性进行分级评价，得此边坡的级别特征值为3.493，查找表2可知边坡属于基本稳定类型，但评价结果与不稳定等级较为接近，接近程度达到99.8%，如有外部因素扰动极有可能会发生变形失稳，且该边坡紧邻高速路面且含水率较高，对公路运营安全存在威胁，需采取措施监测边坡的稳定性，以保障公路的正常运行。

为了掌握边坡的稳定性，在边坡坡脚位置20 m深度范围内布设了自动化监测仪器，包括测斜仪与水位监测仪，并于11月开始实施监测边坡的稳定性状态。根据监测数据绘制了边坡位移如图4所示，地下水位变化如图5所示。由于边坡在2017年1月初至12月4日时间段内未发生产生位移，自12月5日起才开始变加速变形，此时间段内地下水位波动较大，最大与最小水位埋深相差大约0.2 m，说明边坡的变形受到水位升降的扰动，产生了位移可见其由基本稳定状态演变成了不稳定状态。通过对该边坡的实时监测，进一步验证了本文评价方法的实用性及有效性。

表5 边坡土体参数Table 5 Slope soil parameters

图3 边坡简化模型Fig.3 Slope simplified model

图4 位移监测变形图Fig.4 Monitoring data of the displacement

图5 地下水位埋深变化曲线Fig.5 Variation curve of the underground water dept

4 结论

(1)考虑了边坡稳定性影响因素模糊性、复杂性、不确定性等因素，提出了重要性比较法用于求解边坡稳定性影响因素集的权重，该方法将所有因素置于同一矩阵中，仅需一次因素比较及简单数学计算即可求得各因素权重值，求解过程简单明确人为干预度低，有效提高评价权重求解效率及可信度。

(2) 引入模糊可变集合方法用于求解影响因素集的等级隶属度，将隶属度计算转化成的数学计算，避免了人为主观性的影响。

(3) 基于MATLAB软件实现了边坡稳定分级的程序化求解，利用已有文献中的黄土边坡算例验证了本文评价方法的正确性，并将评价方法应用到了实际边坡工程当中，证实了本文评价方法的实用性及可靠性。