有界线性算子和的B-Fredholm 谱与B-Weyl谱*

冯 晶,黄俊杰

(内蒙古大学数学科学学院,呼和浩特 010021)

Fredholm 理论在数学物理方程等许多领域都有重要应用,1967 年Schechter在文献[1]中对Fredholm 算子的基本理论进行了系统的阐述。扰动不变性是Fredholm 算子中人们最感兴趣的性质之一,1970—1980年许多学者都对该问题进行了研究,并且得到了Fredholm 算子的扰动不变算子类[2-3]。进一步,学者们开始研究半Fredholm 算子的扰动,得到了在一些特殊条件下满足扰动不变性的算子类[4-5]。1999年Berkani将Banach空间上的Fredholm 算子及Weyl算子进行了推广,在文献[6]中给出了B-Fredholm 算子、B-Weyl算子的概念及其对应谱的有关性质。2001年Berkani与Sarih在文献[7]中证明了半B-Fredholm 算子在有限秩扰动下的稳定性和谱映射定理。1982 年Grabiner在文献[8]中定义了拓扑一致降指数,研究了具有拓扑一致降指数性质的几类算子以及这些算子在某些扰动下所具有的性质。由于B-Fredholm 算子具有拓扑一致降指数,利用该事实Berkani在文献[9]中给出了B-Fredholm 算子在有限秩扰动下其指标所满足的一些性质。2004年Berkani修正了文献[9]中定理3.2关于两个B-Fredholm 算子乘积的指标所满足的性质,并且进一步完善了B-Fredholm 算子指标的相关理论[10]。之后,许多学者都对B-Fredholm 算子、B-Weyl算子及其谱性质进行了深入研究[11]。2011年Abdmouleh和Jeribi在某些谱集合满足连通性的条件下证明了当Banach空间上两有界线性算子的乘积满足Fredholm 扰动或半Fredholm 扰动时,它们和的Wolf本质谱、Schechter本质谱与Gustafason本质谱与相应谱的并集相等[12]。

本文是在文献[12]的基础上将谱进行推广,研究了Banach空间上两有界线性算子的乘积满足可交换有限秩扰动或可交换的幂有限秩扰动时,它们和的B-Fredholm 谱和B-Weyl谱与相应谱的并集之间的关系以及这些谱的聚点所满足的关系。

1 预备知识

设X是Banach空间,L(X)为X上的有界线性算子,F(X)为X上的有限秩算子。设U是X中的闭线性算子,用D(U)、R(U)、N(U)分别表示算子U的定义域、值域和零空间。N(U)的维数称为U的零度,记为α(U),R(U)的余维数称为U的亏度,记为β(U)。若R(U)闭且α(U)＜∞(β(U)＜∞),则称U为上(下)半Fredholm 算子。若R(U)闭且max{α(U),β(U)}＜∞,则称U为Fredholm算子。若α(U)或β(U)有限,则记U的指标为ind(U)=α(U)—β(U)。对于非零整数n,定义U n为U在R(U n)的限制,显然U n是R(U n)中的线性算子。若R(U n)闭且U n为上(下)半Fredholm算子,则称U为上(下)半B-Fredholm 算子,全体上(下)半B-Fredholm 算子记为BΦ+(X)(BΦ—(X))。此外,BΦ(X)=BΦ+(X)∩(BΦ—(X))表示Banach空间X上B-Fredholm算子的全体;BΦ±(X)=BΦ+(X)∪(BΦ—(X))表示Banach 空间X中半B-Fredholm 算子的全体。 若U是(上半或下半)B-Fredholm 算子且(in d(U)≤0或in d(U)≥0)in d(U)=0,则称U为(上半或下半)B-Weyl算子。

定义1[11]设U是X中的闭线性算子,U的半B-Fredholm 谱、B-Fredholm 谱、半B-Weyl谱和B-Weyl谱分别定义为:

引理1[7]设X为Banach空间,U,V,S,T是X上可交换的算子且满足UT+SV=I,则UV是半B-Fredholm 算子当且仅当U,V是半B-Fredholm 算子。

引理2[10]设X为Banach空间,U,V,S,T是X上可交换的算子且满足UT+SV=I,若U,V是B-Fredholm 算子,则UV是B-Fredholm 算子且in d(UV)=in d(U)+in d(V)。

引理3[7,9]设X为Banach空间,F∈F(X),

(ⅰ)若U是半B-Fredholm 算子,则U+F是半B-Fredholm 算子;

(ⅱ)若U是B-Fredholm 算子,则U+F是半B-Fredholm 算子in d(U)=in d(U+F)。

引理4[7]设X为Banach空间,U∈L(X),则CσBΦ(U)是开集,且in d(U—λI)在CσBΦ(U)的任意连通分支上均为常数,其中CσBΦ(U)表示σBΦ(U)的补集。

证明 因为在文献[7]中已经证明有界线性算子的半B-Fredholm 谱的补集是开集,所以CσBΦ(U)也为开集。

接下来只需证ind(U—λI)在CσBΦ(U)的任意连通分支上为常数。令λ1,λ2为CσBΦ(U)上的任意两点,它们由一条光滑的曲线γ连接,且这些点都在CσBΦ(U)中。因为CσBΦ(U)是开集,所以对于任意的λ∈CσBΦ(U),存在ε＞0,当|μ—λ|＜ε时,有μ∈CσBΦ(U),此时有U—λI为B-Fredholm算子,U—μI为B-Fredholm 算子,且|μ—λ|=|(U—λI)—(U—μI)|可以做到足够小,注意到U—λI与U—μI可交换,根据B-Fredholm 算子的小扰动理论可知in d(U—μI)=in d(U—λI)。另外由有限覆盖定理可得存在CσBΦ(U)中的有限个开集覆盖γ。因为这些开集中每一个开集都至少与另一个开集有重叠,且在每一个开集中in d(U—λI)都为常数,所以in d(U—λ1I)=in d(U—λ2I),即in d(U—λI)在CσBΦ(U)的任意连通分支上均为常数。

引理5 设X为Banach空间,U∈L(X),若CσBΦ(U)是连通集,则σBΦ(U)=σBW(U)。

证明 显然σBΦ(U)⊂σBW(U)成立。

接下来只需证σBW(U)⊂σBΦ(U),即证CσBΦ(U)∩σBW(U)=Ø。利用反证法,假设CσBΦ(U)∩σBW(U)≠Ø,则存在λ0∈CσBΦ(U)∩σBW(U)。因为U为有界线性算子,所以ρ(U)≠Ø,进而存在λ1∈ℂ,使得λ1∈ρ(U),因此U—λ1I∈BΦ(X)且in d(U—λ1I)=0。由CσBΦ(U)是连通集,结合引理4得in d(U—λ0I)=in d(U—λ1I)=0,因此λ0∉σBW(U),这与已知矛盾,故CσBΦ(U)∩σBW(U)=Ø,即σBW(U)⊂σBΦ(U)。

综上所述,σBΦ(U)=σBW(U)。

引理6[13]设X为Banach空间,若U∈L(X),则U是上半B-Weyl算子当且仅当U*是下半B-Weyl算子。

引理7[14]设X为Banach空间,F∈L(X),存在n∈ℕ,使得F n∈F(X),

(ⅰ)若U是半B-Fredholm 算子且U与F可交换,则U+F是半B-Fredholm 算子;

(ⅱ)若U是B-Fredholm 算子且U与F可交换,则U+F是B-Fredholm 算子且in d(U)=in d(U+F)。

引理8[15]若集合M,N为复数集ℂ 的有界子集,则

(ⅰ)acc M∪acc N=acc(M∪N);

(ⅱ)若M是闭的,则M=acc M∪iso M,其中acc M、iso M分别表示集合M的聚点和孤立点。

2 主要结果

定理1 设X为Banach空间,U,V,T是X上可交换的有界线性算子,满足UT—TV=I,若UV∈F(X),则

(ⅰ)σBΦ(U+V){0}=[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]{0};

(ⅱ)σBΦ+(U+V){0}=[σBΦ+(U)∪σBΦ+(V)]{0};

(ⅲ)σBΦ—(U+V){0}=[σBΦ—(U)∪σBΦ—(V)]{0}。

证明 对于λ∈ℂ,有以下等式恒成立

(ⅰ)先证左包含。若λ∉σBΦ(U)∪σBΦ(V)∪{0},则U—λI∈BΦ(X)且V—λI∈BΦ(X)。由条件UT—TV=I可知(U—λI)T—T(V—λI)=I,结合引理2可知(U—λI)(V—λI)∈BΦ(X),因为UV∈F(X)且λ≠0,所以结合(1)和引理3可得U+V—λI∈BΦ(X),即λ∉σBΦ(U+V)。因此σBΦ(U+V){0}⊂[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]{0}。

再证右包含。若λ∉σBΦ(U+V)∪{0},则U+V—λI∈BΦ(X)。由于UV∈F(X)且λ≠0,所以结合(1)和引理3可知(U—λI)(V—λI)∈BΦ+(X)。又根据引理2可得U—λI∈BΦ(X)且V—λI∈BΦ(X),即λ∉σBΦ(U)∪σBΦ(V)。因此[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]{0}⊂σBΦ(U+V){0}。

综上所述,σBΦ(U+V){0}=[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]{0}。

结合引理1与引理3,(ⅱ)(ⅲ)的证明可由(ⅰ)的证明方法类似得到。

例1 设X=l2(0,+∞),对于任意的x=(x1,x2,x3,x4,…)∈X,定义算子U,V,T分别为

通过计算可知

显然U,V,T可交换,又

故UV∈F(X)。另

即满足UT—TV=I。

综上,算子U,V,T满足定理1中的条件,因此对于两算子和的B-Fredholm 谱和半B-Fredholm谱,有以下关系式成立:

定理2 设X为Banach空间,U,V,T是X上可交换的有界线性算子,满足UT—TV=I,若UV∈F(X),则

证明 (ⅰ)先证左包含。若λ∉σBW(U)∪σBW(V)∪{0},则U—λI∈BΦ(X),in d(U—λI)=0且V—λI∈BΦ(X),in d(V—λI)=0。结合引理2得(U—λI)(V—λI)∈BΦ(X)且in d[(U—λI)(V—λI)]=in d(U—λI)+in d(V—λI)=0。因为UV∈F(X)且λ≠0,结合引理3和(1)可知U+V—λI∈BΦ(X),ind(U+V—λI)=0,即λ∉σBW(U+V),因此σBW(U+V){0}⊂[σBW(U)∪σBW(V)]{0}。

再证右包含。若λ∉σBW(U+V)∪{0},则U+V—λI∈BΦ(X)且in d(U+V—λI)=0。由于UV∈F(X)且λ≠0,由引理2与引理3可知U—λI∈BΦ(X)V—λI∈BΦ(X),in d[(U—λI)(V—λI)]=in d(U+V—λI)=0。因为U为有界线性算子且CσBΦ(U)是连通集,结合引理5可得σBΦ(U)=σBW(U),所以in d(U—λI)=0,进而in d(V—λI)=0,因此λ∉σBW(U)∪σBW(V),故[σBW(U)∪σBW(V)]{0}⊂σBW(U+V){0}。

综上所述,σBW(U+V){0}=[σBW(U)∪σBW(V)]{0}。

(ⅱ)先证左包含。若λ∉σBW+(U)∪σBW+(V)∪{0},则U—λI∈BΦ+(X),in d(U—λI)≤0且V—λI∈BΦ+(X),ind(V—λI)≤0。结合引理2可知(U—λI)(V—λI)∈BΦ+(X)且in d[(U—λI)(V—λI)]=in d(U—λI)+in d(V—λI)≤0。因为UV∈F(X)且λ≠0,所以由引理3可得U+V—λI∈BΦ(X),in d(U+V—λI)≤0,即λ∉σBW+(U+V),因此σBW+(U+V){0}⊂[σBW+(U)∪σBW+(V)]{0}。

再证右包含。若λ∉σBW+(U+V)∪{0},则U+V—λI∈BΦ(X)且in d(U+V—λI)≤0。类似得U—λI∈BΦ+(X)且V—λI∈BΦ+(X)。又根据引理3得in d[(U—λI)(V—λI)]=in d(U+V—λI)≤0。因为U为有界线性算子,所以ρ(U)≠Ø,进而存在λ0∈ρ(U),使得U—λ0I∈Φ(X)且in d(U—λ0I)=0。又因为ρ(U)⊂CσBΦ(U),所以λ0∈CσBΦ(U)。由于CσBΦ(U)是连通集,结合引理4可得in d(U—λI)在CσBΦ(U)的任意连通分支上为常数,显然对于任意λ∈CσBΦ(U),都有in d(U—λI)=0,进而in d(V—λI)≤0,因此λ∉σBW+(U)∪σBW+(V),故[σBW+(U)∪σBW+(V)]{0}⊂σBW+(U+V){0}。

综上所述,σBW+(U+V){0}=[σBW+(U)∪σBW+(V)]{0}。

(ⅲ)对于左包含关系的证明可由与上述(ⅱ)的证明方法类似得到,接下来证右包含。因为U,V均为有界线性算子,结合引理6可得

所以由(ii)的结论直接可得σBW—(U+V){0}=[σBW—(U)∪σBW—(V)]{0}。

推论1 设X为Banach空间,U,V,T是X上可交换的有界线性算子,满足UT—TV=I,若UV∈F(X),则

证明 因为

所以根据定理2的结论直接可得上述结果。

推论2 设X为Banach空间,U,V,T是X上可交换的有界线性算子,满足UT—TV=I,若0∈acc[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]且UV∈F(X),则

(ⅰ)accσBΦ(U+V)=accσBΦ(U)∪accσBΦ(V)。

(ⅱ)accσBΦ+(U+V)=accσBΦ+(U)∪accσBΦ+(V),accσBΦ—(U+V)=accσBΦ—(U)∪accσBΦ—(V)。

(ⅲ)若CσBΦ(U)是连通集,则

而若CσBΦ(U*)是连通集,则

其中accσ*(·)表示σ*(·)的聚点,σ*(·)∈{σBΦ,σBΦ+,σBΦ—,σBW,σBW+,σBW—}。

证明 (ⅰ)先证左包含。若λ∉accσBΦ(U)∪accσBΦ(V),则存在ε＞0,0＜|λ′—λ|＜ε时,有λ′∉σBΦ(U)∪σBΦ(V)∪{0},即U—λ′I∈BΦ(X)且V—λ′I∈BΦ(X)。结合引理2可知(U—λ′I)(V—λ′I)∈BΦ(X),因为UV∈F(X)且λ′≠0,所以由引理3可得U+V—λ′I∈BΦ(X),即λ′∉σBΦ(U+V),进而λ∉accσBΦ(U+V),因此accσBΦ(U+V)⊂accσBΦ(U)∪accσBΦ(V)。

接下来证右包含。先证若0 ∈acc[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]⇒0 ∈accσBΦ(U+V)。若0 ∉accσBΦ(U+V),则存在ε＞0,当0＜|λ′—0|＜ε时,有λ′∉σBΦ(U+V)∪{0},即U+V—λ′I∈BΦ(X)。结合引理1与引理3可得U—λ′I∈BΦ(X)且V—λ′I∈BΦ(X),即λ′∉σBΦ(U)∪σBΦ(V),进而0∉acc[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]。若λ∉accσBΦ(U+V),则存在ε＞0,当0＜|λ′—λ|＜ε时,有λ′∉σBΦ(U+V)∪{0},即U+V—λ′I∈BΦ(X)。结合引理1与引理3可得U—λ′I∈BΦ(X)且V—λ′I∈BΦ(X),即λ′∉σBΦ(U)∪σBΦ(V),进而λ∉acc[σBΦ(U)∪σBΦ(V)]。由于σBΦ(U),σBΦ(V)均为复数集ℂ 的有界闭集,所以由引理8可得λ∉accσBΦ(U)∪accσBΦ(V)。因此accσBΦ(U)∪accσBΦ(V)⊂accσBΦ(U+V)。

综上所述,accσBΦ(U+V)=accσBΦ(U)∪accσBΦ(V)。

结合引理5对于(ⅱ)(ⅲ)的证明可由(i)的证明方法类似得到。

定理3 设X为Banach空间,U,V,T是X上可交换的有界线性算子,满足UT—TV=I,若存在n∈ℕ,使得(UV)n∈F(X),则