一类矩形中厚板弹性模型的Hamilton形式*

乔佳楠,侯国林

(内蒙古大学数学科学学院,呼和浩特 010021)

中厚板是工程中一种重要的力学材料,常用于建筑工程、机械设备和容器制造等[1-2]。1943年Reissner在Timoshenko关于横向剪切效应的基础上提出了中厚板理论,又被称为Reissner理论。此后,许多科学工作者对该理论进行了大量的研究。近些年来,中厚板问题的数值求解方法取得了诸多进展[3-7],虽然解析解比数值解具有更高的精度,但其构造难度较大。经过诸多学者的努力,解析方法的研究取得了长足的进步[8-11]。传统的解析求解方法大多是在一类变量范围内进行,设法消去未知函数从而得到高阶偏微分方程,再对一类未知函数进行求解,这样导出的高阶偏微分方程无法直接应用分离变量等有效的数学物理方法。为了避免这一情况,钟万勰提出了辛体系方法[12-14],该方法不需要预先假定解的形式,只需将弹性方程转化为合适的Hamilton形式,再对Hamilton算子的特征函数系进行理性求解即可。所以,根据力学问题建立相应的Hamilton形式就显得尤为重要。

本文从一类矩形中厚板的相关力学问题出发,抽象出一般的模型,利用力与位移的关系以及对控制方程的分析,分别得到了x和y方向模拟时间的Hamilton形式。最后,从能量观点阐述了Hamilton形式的导出过程。

1 一类中厚板力学问题的弹性模型

通过对中厚板具体力学问题的分析,可以抽象出如下的控制方程模型:

其中q1(x,y)、q2(x,y)、q3(x,y)是施加在板上的载荷,α1、β1、γ为非零常数。

板的内力可以表示为:

把(4)—(8)式带入(1)—(3)式中,可以得到如下控制系统:

其中α=α1+C,β=β1+C。

基于上述控制系统,可以通过数学推导得到中厚板模型的两类Hamilton形式,并给出相应的Hamilton算子,这是辛体系方法进一步应用的基础。

2 x 方向模拟时间的Hamilton形式

由(4)得到

把(5)、(8)代入(2)中,结合(4)得到

由(3)、(7)、(8)和V x得到

将(7)和V x代入(1)中得到

从(6)中可以解得

式(9)—(14)以矩阵形式可重写为

3 y 方向模拟时间的Hamilton形式

从(5)可以得到

从(6)得到

把(4)、(7)代入(1)中,结合(5)得到

由(3)、(7)、(8)和V y得到

将(8)和V y代入(2)中得到

由式(16)—(21),可得y方向模拟时间的Hamilton形式:

其中算子矩阵H2满足H*2=JH2J,是一个Hamilton算子矩阵,具有如下形式:

其中

4 总结与讨论

对于较为一般的中厚板模型,通过选择不同的状态向量,建立了两个方向的Hamilton形式,得到了两类Hamilton算子。当模型中α=β=C,γ=q1(x,y)=q2(x,y)=0,q3(x,y)=—q时,该模型包括文献[15]中讨论的中厚板弯曲问题;当α=C+N x,β=C+N y,γ=q1(x,y)=q2(x,y)=q3(x,y)=0,模型包含中厚板的一种屈曲问题[16];若取α=β=C,γ=ρhῶ2,q1(x,y)=q2(x,y)=0,q3(x,y)=0,模型含有文献[17]中提到的中厚板的自由振动问题。针对不同的问题,可以采用不同的算子进行后续的计算。

需要指出的是,Hamilton形式的建立也可以从能量的角度进行。不失一般性,仅以x方向模拟时间的Hamilton形式为例进行说明。

选取q=(—M y,—M xy,V y)T,并引入如下的Lagrange密度函数:

经过分部积分和Legendre变换,得到Hamilton函数H的表达式为:

取p=(φy,φx,ω)T,便得到下述Hamilton对偶方程组: