先后有序,厘清问题本质

陈伟煌

(福建省晋江市永和中学)

计数中的排列与组合问题,往往基于实际应用场景,合理渗透问题情境.内涵丰富、创新应用性广、解题策略颇多、思维方式多样、求解方法众多是这类问题的特点.在解决此类问题时,往往需要遵循计数的基本规则:有先有后,先后有序,合理分类或分步,做到不重不漏,进而完美解决计数中的排列与组合问题.

1 突出元素——先特殊后一般

若计数中的排列与组合问题涉及特殊元素或特殊位置的限制条件或特殊要求,解题时往往优先考虑特殊情况,突出元素主体,遵循先特殊后一般的计数规则.

例1(2022年新高考Ⅱ卷5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( ).

A.12种 B.24种

C.36种 D.48种

分析根据题目条件,利用捆绑法将丙和丁看成一个整体,利用特殊元素甲优先的原则选择4个位置(丙和丁作为一个整体,只算一个位置)中位于中间的2个位置,再考虑其他一般的情况,进而利用分步进行分析与解决.

解根据题目所给信息可知,把丙和丁捆绑在一起看成一个整体,先优先安排甲在4个位置中位于中间的2个位置,再安排其他人,所以甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有种,故选B.

2 理顺关联——先组合后排列

计数中的排列与组合问题涉及混合应用时,厘清问题间的关联,一般采取先选出元素进行优先分组(组合处理),再进行合理分配排列(排列处理)的计数规则来分析与处理.

例2(2021年全国乙卷理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1 名志愿者,则不同的分配方案共有( ).

A.60种 B.120种

C.240种 D.480种

分析根据题目条件,依据5名志愿者与4个项目之间不对等的关系,厘清相互之间的关联,本着先分组再分配的计数规则来解决对应志愿者的不同的分配问题,遵循“先组后排”的计数原则.

解由于每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,即将2名志愿者分在同1个项目,则先从5名志愿者中选2名作为1组,共有种情况,再把分好的4组进行全排列,分配到4个项目,共有种情况,则共有种不同的分配方案,故选C.

3 厘清实质——先分类再分步

若计数中的排列与组合问题涉及一些约束条件或隐含限制条件时,往往先按元素的性质进行合理分类,再按事件发生的连续过程进行分步计数.

例3为进一步提高广大市民的生态文明建设意识,某市规定每年4月25日为“创建文明城•生态志愿行”为主题的生态活动日.现有5名同学参加志愿活动,需要携带钩子、铁锹、夹子三种劳动工具,要求每人都要携带一个工具,并且要求:带一个钩子,铁锹至少带两个,夹子至少带一个,则不同的安排方案共有( ).

A.50种 B.60种

C.70种 D.80种

分析根据题目条件,将携带工具的方案分为两类,结合不同类别中对应工具的类型与个数,利用排列和组合的相关性进行分步计数,最后利用分类加法计数原理求得满足条件的不同安排方案.

解 依题知,携带工具方案有两类:

第一类,1个钩子、1个夹子、3把铁锹,所以携带工具的方案数有种;

第二类,1个钩子、2个夹子、2把铁锹,所以携带工具的方案数有种.

综上,不同的安排方案共有20＋30＝50 种,故选A.

4 讲究思维——先定性后定量

若计数中的排列和组合问题所涉及条件比较复杂笼统时,一般优先处理明确的类别或步骤,即合理定性问题的求解方法,后用相应的原理或方法进行求解.

例4龙港中学高三数学组计划从9名教师(5男4女)中选出1个队长、1个副队长、3个队员组成5人排球队参加教职工排球比赛,要求队中至少有2名男教师,共有_________选法(用数字作答).

分析根据题目条件,先定性处理:求出从9名教师(5男4女)中选出5人参加教职工排球比赛的选法种数,并求出当队中只有1名男教师的选法种数,然后作差求解即可.再定量分析:选出1个队长、1个副队长.

解从9名教师(5男4女)中选出5人参加教职工排球比赛,则有种选法,其中,当队中只有1名男教师,则有种选法,要求队中至少2名男教师,共有126－5＝121种选法.

综上,选出1个队长、1个副队长、3个队员组成5人排球队参加教职工排球比赛,要求队中至少有2名男教师,共有种选法.

解决计数中的排列和组合问题关键在于正确厘清问题的实质与内涵,分清排列或组合类型,明确不同排列或组合问题的解题策略,掌握解决问题的正确思路和技巧方法.构建合理的实际应用模型,灵活运用相应的解题策略,明确计数处理的基本规则,采取简洁有效的思维方法来解决问题,有时可以达到事半功倍的良好效果.

链接练习

1.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ).

A.12种 B.18种 C.24种 D.36种

2.在3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为________(用数字作答).

3.从6男2女共8名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法(用数字作答).

4.有10 个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个,有_________种分配方案(用数字作答).

链接练习参考答案

1.D. 2.120. 3.660. 4.84.

(完)