非齐次 Schrödinger-Kirchhoff方程在3中的两个非平凡解

许思诗，叶一蔚

（重庆师范大学数学科学学院，重庆沙坪坝 401331）

Kirchhoff-type问题是研究弹性弦自由振动的波方程，在弹性理论、等离子体问题、非牛顿力学和天体物理学等领域有广泛的应用。Kirchhoff[1]给出了Kirchhoff方程的动态模型，，其中，L为弦的长度，h为横截面的面积，E为材料的Young-模量，ρ为密度，P0为初始张力。该方程考虑了横向振动产生的弦的长度变化，推广了经典的D'Alembert波方程。Kirchhoff方程具有较好的物理意义，同时吸引了大量研究者的关注。文献[2]利用变分法研究了3中非线性Kirchhoff型问题正解的多重性和集中性行为。文献[3]利用山路引理和对称山路引理研究了一类具有径向势的Schrödinger-Kirchhoff方程非平凡解的多重性和一列高能量解的存在性，这些结果随后被文献[4]推广到 p-Schrödinger-Kirchhoff型问题。文献[5]研究了N中的周期位势Kirchhoff方程，分别在临界情形和次临界情形下证明了非平凡解的存在性。文献[6]研究了3中超线性Kirchhoff方程高能解的多重性。文献[7]研究了一类半线性Schrödinger方程无限多个非平凡解的存在性。文献[8]研究了非齐次Kirchhoff型椭圆问题解的存在性和多重性。文献[9]研究了具有组合非线性的Kirchhoff方程多个正解的存在性。文献[10]讨论了全空间上带渐近非线性的非齐次Kirchhoff方程两个正解的存在性。文献[11]研究了非齐次四阶Kirchhoff方程的多解性问题。

考虑如下非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题

文献[12]利用Ekeland变分原理和山路引理证明了两个非平凡解的存在性。随后，文献[13]推广了文献[12]的结论，在非线性满足f更一般的假设条件下，利用新的证明方法获得了非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)非平凡解的多重性结果。具体而言，文献[13]给出如下假设：

(f1)f∈C(N×,)并且存在常数 C＞0，。

(f2)当|t|→0 时，f(x,t)=O(|t|)对x∈N一致成立。

(f'3)当|t|→+∞ 时，F(x,t)/t4→+∞ 对 x∈N一致成立。

定理 1[13]假设，若(V'1)，(f1)-(f2)且(f3')-(f4')成立，则存在一个常数 g0＞0，当‖g‖L2＜g0时，非齐次 Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)至少有两个不同的解，其中一个是负能量解，另一个是正能量解。

鉴于此，本文考虑势函数V和非线性项f满足更一般的假设条件。克服空间嵌入失紧及非线性项不满足（AR）超线性条件所带来的困难，利用Ekeland变分原理和山路引理研究非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)非平凡解的多重性，统一推广文献[12]和文献[13]的结果。

1 预备知识

记号：H1(3)是通常的Sobolev空间，其上的范数为

LS(3)(1≤s＜+∞)表示通常的 Lebesgue空间，其上的范数为

C，Ci表示不同的正数。

假设以下条件成立：

(V1)V∈C(3,)满足 infV(x)＞0，且存在 r0＞0，使得对任意的M＞0有

(f3)当|t|→+∞ 时，F(x,t)/t4→+∞ 对 x∈3几乎处处成立。且存在r1＞0，使得：

(f4)存在 d'≥0，使得对任意的(x,t)∈3×有4F(x,t)-f(x,t)t≤d't2成立。

则E在如下定义的内积和范数下是Hilbert空间

由于空间嵌入E→Ls(3)(2≤s＜2*)是连续的，因此存在一个常数as＞0，使得

为了应用临界点理论,首先给出E的一个关键性质。

引理1[14]假设条件(V1)成立，则空间嵌入E→Ls(3)(2≤s＜2*)是紧的。

非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)有变分结构，考虑在E上建立非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)对应的能量泛函。定义I∶E→，

若 I(u)＜0，则称非齐次 Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)的弱解u为负能量解。若I(u)＞0，则称非齐次 Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)的弱解u为正能量解。

由条件(f1)-(f2)，对任意 ε＞0，存在 Cε＞0，使得

并且

因此，在假设(V1)和(f1)-(f2)下，根据文献[15]可知，泛函且

引理2[13]假设g∈L2(3)，并且条件(V1)和(f1)-(f2)成立，则存在常数 ρ，α，β＞0，使得当‖u‖=ρ且‖g‖L2＜ β时，有 I(u)≥α。

引理3假设条件(V1)和(f1)-(f2)成立，则，其中，。

证明：因为，可以选取 v∈E，使得。根据式(4)～式(6)，当t＞0足够小时，有

这说明 Cp＜0。此外，由式(3)～式(6)和 Hölder不等式，可得

从而I在Bp上下方有界。

引理4[13]假设条件(V1)和(f1)-(f2)成立，则I的任何有界（PS）序列在E中都有一个强收敛的子列。

引理5假设条件(V1)和(f1)-(f3)成立则存在 e∈E 满足‖e‖＞ρ，使得 I(e)＜0。

证明：设v∈E{0}，‖v‖=1，假设当时，有 I(tnv)≥0。因为 v≠0，设，显然 mA＞0。当 x∈A 时，，则当n充分大时，A⊂{x∶|tnv(x)|≥r1}。结合式(4)～式(6)、(f3)、Hölder不等式及法图引理，推出

这是矛盾的。故取 tn足够大时，令e=tnv有‖e‖＞ρ，并且 I(e)＜0。

引理6假设条件(V1)和(f1)-(f4)成立，则I的任何（PS）序列都有界。

证明：假设{un}无界，则存在一子列（仍记为{un}）满足‖un‖→∞(n→∞)。令，则‖vn‖=1且存在一个子序列满足vn⇀v在E中弱收敛，vn→v 在 Ls(3)(2≤s＜2*)中强收敛并且vn(x)→v(x)对 a.e.x∈3成立。

情形 1v=0时，结合式(4)和式(7)、f4及Hölder不等式，推出

情形2v≠0时，由式(6)可得

结合式(8)与(f3)可得

因此

若 V(x)≠0 时，则|un(x)|→∞(n→∞)，因此对充分大的 n，。由条件(f3)和法图引理可推出

这是矛盾的。综上，序列{un}有界。

引理7[16]（Ekeland变分原理）设M是一个度量为 d 的完备度量空间，I∶M|→R∪{+∞}是一个下半连续有界函数。假设ε＞0且u∈M使得。

则存在v∈M，使得

且对任意的ω∈M，有

引理8[17]（山路引理）设X为实Banach空间，且 I∈C1(X,R)满足（PS）条件。假设 I(0)=0，且

(I1)存在常数 ρ，α＞0，使得 I|∂βρ≥α，

(I2)存在，使得 I(u0)≤0。

则I具有临界值c≥α，其中

2 非齐次 Schrödinger-Kirchhoff方程的两个非平凡解

定理2假设g∈L2(3)且 g≢0，若(V1)和(f1)-(f4)成立，则存在一个常数 l0＞0，当‖g‖L2＜L0时，非齐次 Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)至少有两个不同的解，其中一个是负能量解，另一个是正能量解。

证明：1）存在 u1∈E，使得 I'(u1)=0 且 I(u1)＜0。已知I∈C1(E,)且E是Hilbert空间，由引理3，I在上下方有界，则由引理7，存在中的序列{un}，使得并且。又由引理4可知，{un}有强收敛的子列。故非齐次Schrödinger-Kirchhoff 型 问题式(1)存在一个解u1满足 I(u1)＜0。

2）存在 u2∈E，使得 I'(u2)=0 且 I(u2)＞0。根据引理2、引理4、引理 5和引理 6可知，泛函I满足引理8的所有条件。因此由引理8，非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)存在一个山路解 u2满足 I(u2)＞0。

注 1条件(V1)由Bartsch、Wang和Willem在文献[14]中给出，用于保证工作空间的紧性嵌入。易见条件(V1)弱于(V'1)，存在函数V满足(V1)，但不满足。例如，令

注2定理2推广了定理1，与Cheng[13]的结论相比，定理2作了以下三方面的推广：放宽了位势函数V的范围；减弱条件：在无穷远处，将一致强制减弱为几乎处处强制；放宽条件中常数d的范围。

推论 1若将定理 2 中的(f4)替换为，则定理2的结论仍然成立。

推论2若将定理2中的(f4)替换为，则定理2的结论仍然成立。

3 结语

本文研究了一类非齐次 Schrödinger-Kirchhoff方程非平凡解的多重性。克服空间嵌入失紧和非线性项不必满足（AR）超线性条件所带来的困难，并考虑泛函限制在零点的一个局部领域上，利用Ekeland变分原理获得了一个负能量解的存在性。此外，本文还研究了泛函在零点附近的山路几何结构，利用山路定理证明了一个正能量解的存在性。由于这两个解的能量不同，从而这两个解也是不同的。本研究所得结果统一和推广了文献[12]和文献[13]的结论。