拟常曲率黎曼流形中极小子流形的Pinching定理

李明图，裴瑞昌

（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741000）

子流形的内蕴量的拼挤性质可有效获取子流形的同胚结构，是当前子流形理论研究的热点之一。文献[1] 应用积分公式证明了常曲率黎曼流形Sn+p(1)中的极小子流形中，全测地子流形的分布是孤立的。文献[2]进一步研究后得到了距离全测地子流形最近的极小子流形，有

文献[3]给出了拟常曲率黎曼流形的定义。即若n+p维完备黎曼流形Nn+p的黎曼曲率张量的分量为如下形式

显见，拟常曲率黎曼流形是常曲率黎曼流形的推广。特别的，当取a=1 且b=0 时，Nn+p就表示n+p维单位球面Sn+p(1)。

文献[4-6]研究了局部对称黎曼流形中的极小子流形，先后得到了一些重要的拼挤结果。假设拟常曲率黎曼流形是局部对称的，文献[7-10]探讨了拟常曲率黎曼流形中的极小子流形，证明了这类子流形所具有的关于第二基本形式模长的平方σ的若干拼挤性质，或者建立了相应的Simons 型积分不等式和Yau 型积分不等式。在此基础上，本文考虑了局部对称拟常曲率黎曼流形中的紧致极小子流形。现利用记号Γ(TM) 表示子流形Mn上的全体光滑切向量场作成的集合，在ξ∈Γ(TM)的假设下，得到了定理1，本文结论推广了定理A 的结论。

1 预备知识

文中约定各指标的变程为

在Nn+p上选取标准正交标架场{e1,e2,…,en+p}，使得限制在Mn上时，{e1,e2,…,en} 与Mn相切，法于Mn。于是，拟常曲率黎曼流形Nn+p的黎曼曲率张量的分量可以取如下形式[3]

于是，由文献[11-12]可知，单位向量ξ可以分解为

若Mn极小，则有H=0，从而

定义1若黎曼流形Nn+p的（0，4）型黎曼曲率张量场KABCD的协变导数为零，即KABCD;E=0，则称Nn+p是局部对称的黎曼流形[13]。

设外围空间Nn+p是局部对称的，由文献[13]知

进而，利用式（9）可得

又由式（3）得到恒等式

给式（11）两边同乘以任意实数λ，移项后结合式（10），便有

将式（13）（14）（15）代入式（12），合并整理可得：对任意实数λ，有

已知矩阵Sαβ=(tr(HαHβ))是p阶对称方阵，可以通过适当选取标架场{en+1,en+2,…,en+p}，使其对角化，得

由式（1）得到

2 主要定理及其证明

定理1设Mn是局部对称拟常曲率黎曼流形Nn+p中的n维紧致极小子流形，ξ∈Γ(TM) 若Mn的第二基本形式的模长的平方σ满足

则Mn必为下述两种情况之一：

（i）σ=0，Mn是全测地子流形，同时，Mn为拟常曲率黎曼流形且局部对称。

同时，还有

其中和分别表示光滑函数a和b在Mn上的限制。由ξ∈Γ(TM)得到，ξ在Mn上的限制ξ|Mn为Mn上的单位向量函数。因此，Mn是拟常曲率的。

又因为Nn+p是局部对称黎曼流形，即

得到Rijkl;m=0。由此可知，Mn是局部对称的。