GeoGebra环境下基于范希尔理论的双曲线及其标准方程教学研究

◇辽宁师范大学数学学院 于茹子 吴 华

智能时代的教育教学变革需要信息技术与教学活动的深度融合，借助GeoGebra动态几何软件的优势，以“双曲线及标准方程”为例，经过范希尔理论的学前诊断、引导定向、阐明、自由定向、整合五个教学阶段，帮助学生发现几何规律，理解几何本质，提高几何思维水平。

新版《普通高中课程标准（2017版）》对教育信息化提出说明：“信息技术是学生学习与教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源。因此，教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教学与学习的方式[1]。”美国《国家人工智能研发战略规划》中也提到要利用人工智能技术改进教育机会，实施个性化学习和终身学习等[2]。

在宏观政策要求下，智能时代教育教学的变革需求使信息技术与教学活动的深度融合迫在眉睫[3]。然而GeoGebra作为一个多功能动态几何软件，具有数学化、视觉化、动态化呈现数学对象与思维的功能[4]，同时它能够做到几何图形与代数方程的同步变化，帮助学生发现几何规律，理解几何本质[5]。现已被世界各国广泛应用在数学课堂教学中，它丰富了课堂活动，拓展了学生思维，改变了教学现状。

范希尔理论不仅能够评估学生的几何思维发展现状，还可以设计教学阶段进而提高学生的几何思维水平。范希尔认为，学生几何思维的发展具有先后顺序[6]，设计教学需要依据“顺序性”原则，遵循学生的认知结构。基于此，本文以“双曲线及其标准方程”为例，借助范希尔理论对几何教学进行思考，并结合GeoGebra，旨在促进技术在数学教学中的改革。

1 范希尔理论

20世纪50年代，范希尔夫妇在日常教学中发现几何教学存在的问题，并受皮亚杰认知发展阶段论的启发，提出了几何思维的五个水平与对应的五个教学阶段[7]。笔者梳理了范希尔理论并做出结构示意图，如图1所示。

图1 范希尔理论示意图

五个思维水平分别为：①层次0—视觉，学生能根据外观辨识图形，在心理上把图形表示成直观图像；②层次1—分析，学生能确定图形的性质，辨别图形的特征；③层次2—非形式化的演绎，学生能提出非形式化的推论，形成抽象的定义；④层次3—形式化的演绎，学生能通过形式化的推理，建立定理；⑤层次4—严密性，学生形成了更高的思维水平，能在不同的公理系统下建立定理并分析其特性。

五个教学阶段分别为：①阶段1—学前咨询，课前教师通过双向交谈的方式了解学情，帮助学生理解所要学习的内容；②阶段2—引导定向，教师帮助学生安排活动顺序，这个过程中学生逐渐确定学习的方向；③阶段3—阐明，通过前面的活动经验和教师的提示，学生能够明确表达自己的看法；④阶段4—自由定向，学生在解决复杂问题的过程中获得经验，确定自己学习领域的方向；⑤阶段5—整合，学生将所学到的方法内化到自己的思维结构中去，形成一个新的思维领域。

本文主要针对“双曲线定义及其标准方程”这一部分内容，依据范希尔理论设计更符合学生几何认知发展的课程，结合动态几何软件的优势，通过折纸实验与双曲线定义的推导，发展学生的几何思维，有效改善传统的几何教学。

2 GeoGebra动态几何软件

GeoGebra是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的，这是一款结合几何、代数与微积分的免费、多平台的动态数学教育软件[8]。GeoGebra最大优势就是其能够动态展示数学对象的生成过程，帮助学生在“变化”中找到“不变”的几何规律。其次就是它能够做到“数”与“形”的同步变化，通过构建“数”与“形”之间的联系通道，帮助学生跨越知识符号，建立内在的逻辑和意义[9]。而数形结合思想是数学学习中的重要思想，华罗庚曾有诗云：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”[10]。充分说明了数形结合的重要性，这也是GeoGebra软件的优越性所在。

GeoGebra软件有其独特的功能与特点，图2[11]为笔者整理的结构模型，可以帮助读者加深对GeoGebra的了解。

图2 GeoGebra结构模型图

本文通过运用GeoGebra软件对“双曲线及其标准方程”这一部分内容进行教学设计重构，希望弥补传统解析几何教学的局限性，培养学生对于解析几何的兴趣，促进学生的直观思维向抽象思维过渡，提升课堂教学的实效性。

3 基于范希尔理论的“双曲线及其标准方程”教学设计

3.1 教学内容分析

双曲线是高中数学人教B版选修2-1第二章“圆锥曲线与方程2.3”的内容，一般安排三个课时，本节课是第一课时[12]。它是继学习椭圆之后的又一种圆锥曲线，也是我们高中解析几何部分的重要内容之一。接下来依据范希尔理论并且融入GeoGebra，对“双曲线及其标准方程”进行了几何思维水平的划分，如表1所示。

表1 “双曲线及其标准方程”的几何思维水平划分

3.2 GeoGebra环境下依据范希尔理论的双曲线教学设计

阶段1：学前咨询—复习引入，初识双曲线

师：通过上节课的学习，对于椭圆你掌握了什么吗？

生：利用拉线作图掌握了椭圆的定义，利用逻辑推理获得了椭圆的标准方程，在推导标准方程过程中明确了建系的方法。

师：大家对于椭圆有了一定的了解，这节课我们继续探索另一种圆锥曲线—双曲线，请看大屏幕。

师：在现实生活中，我们经常可以抽象出双曲线的形状，通过知网检索也可以发现，双曲线在许多我们熟知的领域都有应用，双曲线究竟有什么魅力以至于它有如此广泛的存在与应用呢，今天我们就来探寻一下双曲线的形成吧！

设计意图：①这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的学前咨询阶段。②教师通过与学生的双向交谈，了解学生关于圆锥曲线的认知结构。③教师通过PPT引入生活中的双曲线，使学生通过几何的直观感知、初识几何体，明确数学来源于生活并高于生活。

阶段2：引导定向—直观想象，双曲线定义的猜想

探究1：双曲线的定义。

师：在前面“椭圆的几何性质”学习中已经知道，在半径为r的圆F1内取一定点F2，折叠纸片使圆周上的某一点A刚好与点F2重合，折痕为L。连接AF1交L于点M，点M的运动轨迹就是椭圆，如图3所示。

图3

问题1：如果将上述问题中的条件“在圆内取一定点F2”改为“在圆外取一定点F2”，那么点M的运动轨迹又会是什么呢？

图4

师：通过自己的动手实践，大家发现点M的运动轨迹是什么了吗？

生：双曲线。

师：由于折纸无法取遍圆上所有的点，所以老师借助GeoGebra软件动态展示双曲线生成的全过程。

图5

师：大家通过观察圆片折叠形成双曲线的过程，能够发现各线段间存在什么关系吗？

生：点A与点F2通过折叠重合，并形成了折痕L，所以折痕L为线段AF2的垂直平分线。点M是折痕L 与半径AF1延长线的交点，根据轴对称的性质，MA=MF2。

图6

问题2：动点M到两定点F1、F2会形成什么关系式？

师：前面的学习中已经知道“平面内一动点到两定点距离之和是定值的点的轨迹是椭圆”，大家能否观察图形，抽象出双曲线的定义呢？

生：平面内一动点到两定点距离之差是定值的点的轨迹是双曲线。

师：你是怎么抽象出来的？

师：这样就得出了“动点M到两定点F1、F2的距离之差是定值”的结论。

问题3：MF2与MF1之间需要满足什么关系式呢？

师：这是交点M在圆内的情形，如果交点M在圆外呢，上述得到的关系式还能否适用？

图7

设计意图：①这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的引导定向阶段。②教师运用GeoGebra动态生成双曲线的形成过程，通过构造动点，观察“数”与“形”的同步变化，为猜想双曲线定义提供技术支持。③教师通过问题链的形式，一步步引导学生思维的深入。④基于此阶段的教学设计，学生通过自主探究、分析、推理，最终获得双曲线的关系式，达到提升学生几何思维水平的目的。

阶段3：阐明—逻辑推理，双曲线定义的获得

问题5：双曲线的定义是什么？

师：通过上述得到的关系式，能否总结其共性，给双曲线下一个定义？

生：将平面内与两定点F1、F2距离之差的绝对值是常数2a的点的轨迹叫双曲线。

图8

生：当2a=2c时，M点的轨迹是射线；当2a大于2c时，M点的轨迹不存在；当2a小于2c时，M点的轨迹是双曲线。故要给2a一个限制条件，只有当轨迹才是双曲线。

师：这样我们就得出了双曲线的完整定义：把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（<）的点的轨迹叫做双曲线。其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距。

设计意图：①这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的阐明阶段。②教师通过语言和技术的引导，向学生阐明双曲线定义的内容和限定条件，使定义更加完整化、系统化。③学生则根据前面的经验与教师的提示，推导出双曲线的定义。④通过GeoGebra的直观演示，将抽象的数学概念用直观图形来显示，进而提高课堂教学的实效性[13]。

阶段4：自由定向—数学建模，双曲线定义的深化

探究2：双曲线的标准方程。

问题1：回顾圆锥曲线的发展历史，第一定义较原始定义有什么优点？

生：有了这个定义，方便我们写出双曲线的方程。

师：用方程研究双曲线的性质，这是解析几何学研究问题的手段。

问题2：回顾一下研究曲线方程的步骤是什么？

生：第一步是建系。

师：双曲线应该怎么建系合理呢？

生：以F1F2的中点为原点建立直角坐标系。

师：坐标系建好后，我们设点就方便多了，大家可以把M、F1、F2的坐标点表示出来吗？

师：如何根据这几个点的坐标列式呢？

（由于时间原因，推导过程作为练习题在课前留给学生，自己探索解决办法，教师挑出具有代表性的方法课上交流讨论。）

师：怎样让方程变得更简洁？

师：焦点在y轴上的标准方程需要大家自己动手完成。

设计意图：①这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的自由定向阶段。②这个阶段学生能用演绎推理的方式得到双曲线的标准方程，通过对双曲线定义的应用，最终达到对于双曲线定义的全面把握。③整个教学过程，师生共同参与，建构知识结构，完成方程的推导。

阶段5：整合—数学运算，双曲线定义的内化

例题1：已知，动点P到F1、F2的距离之差的绝对值为6，求P点的轨迹方程。

例题2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。

设计意图：①这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的整合阶段。②这个阶段学生对双曲线的定义的理解进入内化阶段，能用双曲线的知识解决问题，同时进一步体会了数形结合思想。③学生通过各种习题的练习，深化对于双曲线定义及标准方程的理解，最终达到知识的迁移与灵活应用。

4 结束语

本文以范希尔理论与GeoGebra动态几何软件的结合为支点，充分发挥范希尔理论的理论指导和动态软件的技术优势，从生活情境入手，让学生体会生活中的双曲线，到通过折纸实验和问题链的方式推导出双曲线的定义与标准方程，最后内化知识并灵活运用知识解决问题，过程中学生逐渐加深对知识的理解，经历获得知识、深化知识、内化知识的过程，最终形成新的思维领域。整个过程遵循学生的思维结构，从特殊到一般，具体到抽象，学生一步步将知识内化到自己的认知结构。其中在GeoGebra软件的技术支持下，培养学生的几何直观能力，缩小教学内容的思维水平与学生实际的思维水平间的差距，帮助学生进行形式化的演绎推理[14]。