以知识为始，以思维为终，落地深度学习

胡姜华

［摘 要］特级教师刘德武教学“知识与思维”一课时，通过“两个数相加”的专题教学让学生学会概括；通過“乘积最大”的专题教学让学生学会设数和分析；通过“拼成正方形”的专题教学发展学生的形感和空间观念；通过“小数乘法” 的专题教学让学生学会用排除法；通过“正方体体积”的专题教学让学生学会假设和推理。

［关键词］数学知识；数学思维；深度学习

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）32-0057-03

联合国教科文组织提出面向21世纪教育的四大支柱是学会求知、学会做事、学会共处、学会生存。而学会求知的关键在于思考的方式。如果教师只关注学生对数学知识的掌握程度，而忽视了数学思维的形成过程，就会导致学生只知道怎么解题，但是不知道为什么这样解题。笔者在一次教研活动中聆听了特级教师刘德武的一节特别的数学录像课“知识与思维”，他以专题知识的形式让学生经历数学思考的过程，提出了概括、设数、分析、形感、排除和假设等数学思维方法。

【片段一：从“两个数相加”中学会概括】

师（出示“知识与思维”）：同学们，我们为什么要上这节数学课？

生1：为了获得更多数学知识。

师：很多同学上课的时候特别注重这节课学什么知识，这个习惯很好，但是任何一个数学知识背后都有相应的数学思维，这也是特别重要的。这节数学课我们就来研究数学思维。

师（出示题目：□□□+□□□=1000）：两个三位数相加等于1000，你能解答吗？

生2：500+500=1000，800+200=1000……

师：满足条件的三位数有很多。现在要求方框里不能填0。我说第一个加数，你来说第二个加数，好吗？第一个加数是111，第二个加数是多少？

生（齐）：889。

师：第一个加数是257，第二个加数是多少？

生（齐）：743。

师：这样的例子还有很多。下面我们做一件事情——概括，你知道是什么意思吗？

生3：就是把一段很长的文字概括成简短的一句话。

师：能不能简单地说一说怎样的两个数加起来的和是1000？

生4：这两个数百位上的数相加的和是9，十位上的数相加的和是9，个位上的数相加的和是10。

师：掌声送给你。同学们，一起来看看这道题目“0.□□□+0.□□□=1”，想一想这道题中的两个加数有什么特点？

生5：十分位上的数相加的和是9，百分位上的数相加的和是9，千分位上的数相加的和是10。

师（出示题目：0.□□□□□□□□□□□□+0.□□□□□□□□□□□□=1）：这一题呢？

生6：两个加数中的数除了最后一位数加起来等于10，前面数位上的数加起来都等于9。

师：这就是高度概括。

【赏析】刘老师开门见山地出示了课题，告诉学生数学思维的必要性和重要性，并以“两个数相加”为例，带领学生经历了三个层次的概括：第一层次是探索“两个三位数相加等于1000”中两个三位数的规律，在举例的过程中发现这样的例子是无穷无尽的，体会到概括的必要性；第二层次是探索并学会用数学语言描述“两个三位小数相加等于1”中两个三位小数的特点，体会到概括是数学思维的高级形式；第三层次是探索并用数学语言描述“两个多位小数相加等于1”中两个多位小数的特点，体会到高度概括的抽象性。

【片段二：从“乘积最大”中学会设数和分析】

师（出示题目：a＞b＞c，□□×□=）：将a、b、c三个字母填到方框中，就是两位数乘一位数的算式了。怎么填可以使乘积最大？

生1：让两位数和一位数的差最小，它们的乘积就大了。

生2：bc×a的乘积最大，因为a和b是比较大的。

生3：我是把a放在十位上，我认为ac×b的乘积最大。

师：现在有了两种答案——bc×a和ac×b，到底哪个乘积最大呢？

生4：我认为bc×a的乘积大。假设a、b、c分别是3、2、1，bc×a=21×3=63，ac×b=31×2=62。bc×a的乘积大。

师：这个方法叫设数，就是给抽象的字母分别设一个合理的数，这样就把问题变简单了。还有其他方法吗？

生5：bc×a和ac×b的十位上的数相乘都是a×b，那么可以只比较个位数相乘的积。bc×a个位上的数相乘是c×a，ac×b个位上的数相乘是c×b，c×a肯定比c×b大，因此bc×a的乘积大。

师：这位同学看到了算式的本质，把一个整体分成了十位数相乘和个位数相乘这两个部分，这种方法叫分析。（出示：分析或设数都是解决抽象性问题的途径）

【赏析】刘老师以两位数乘一位数为切入口，融合了比较大小等知识，引发学生有意识地把较大数放在十位数相乘部分，得出了两种结果。于是，刘老师进一步引导学生探究到底哪个乘法算式的乘积最大。学生根据自己的经验，利用设数和分析两种方法，得知bc×a的乘积更大。对于这两种数学思维方法，刘老师不是让学生喜欢哪种就选择哪种，而是鼓励学生深入思考，突破思维极限，这样才会让数学思维变得更加完整。

【片段三：从“拼成正方形”中发展形感】

出示题目：用两个完全一样的长方形（ ）拼成一个正方形。（在括号里填“可能”“不可能”或“一定”）

生1：可能。

师：既然可能，那么这两个长方形应具备什么条件呢？

生2：长方形的长是宽的2倍。

出示题目：两个不完全一样的长方形（ ）拼成一个正方形。（在括号里填“可能”“不可能”或“一定”）

师：你们觉得括号里该填什么？

（有的学生说“可能”，有的学生说“不可能”）

师：怎样的两个长方形可以拼成正方形，还得不完全一样？

生3：这两个长方形的长是相等的，而且两个长方形的宽加起来等于长方形的长。

【赏析】刘老师结合可能性和图形拼合等数学知识，引导学生先用“可能”“不可能”“一定”等词语描述某种事件的可能性，再想象怎样的两个长方形可以拼成一个正方形，最后用数学语言和图示来描述两个长方形与一个正方形之间的转化过程。在“拼正方形”的过程中，学生的空间想象力和概括能力得到进一步提升。

【片段四：从“小数乘法”中学会排除法】

师：对于题目“（ ）×（ ）=15.08”，有四个人给出了答案，但只有一个人答对了。不用笔算，请判断他们的答案是否正确。第一个人在括号里分别填4.2、4.7，对吗？

生1：不对。因为15.08的小数部分是08，而0.2×0.7=0.14。

师：我们看了小数部分的末尾就能判断对错，这样的方法叫“看尾数”。那么，第二个人在括号里分别填3.8、5.16，对吗？

生2：我认为他的答案也是错误的。3.8×5.16的小数部分一定是三位小数，而15.08只有两位小数。

师：这种方法叫“看位数”。第三个人在括号里分别填2.6、5.8，对吗？

生3：整数部分2乘5等于10，而15.08的整数部分是15，差得太多了。

生4：我觉得有可能是对的，2.6×5.8的积的末尾是8，整数部分相乘虽然得10，加上进位上来的数后也有可能等于15。

师：第四个人在括号里分别填4.2、4.4，如果第四个人的答案是对的，那第三个人的答案就是错的。这种方法叫排除法。

生5：第四个人答错了。整数部分4乘4等于16，已经大于15了。

【赏析】刘老师结合小数乘法的知识，逐步呈现了不同算式，引导学生学会看尾数、看位数、看大数等方法。面对第三个人的答案时，很多学生都无法判断是否正确，刘老师告诉学生先放下，看看第四个人的答案后再做判断。在这个学习过程中，学生能从多个角度看问题，从而学会方法。

【片段五：从“正方体体积”中学会假设和推理】

师：你还记得正方体的体积与棱长的关系吗？要是知道一个正方体的体积，能不能简单地除以3得到棱长？我将利用3道题来检测大家的掌握情况。

出示：棱长是（ ）厘米的正方体，体积是1立方厘米。

生1：1×1×1=1，棱长是1厘米。

出示：棱长是（ ）厘米的正方体，体积是8立方厘米。

生2：2×2×2=8，棱长是2厘米。

出示：棱长是（ ）厘米的正方体，体积是1.728立方厘米。

生3：应该是零点几厘米。

生4：不对，零点几乘零点几的结果是零点几，不可能是一点多。我认为应该是一点几厘米。

师：我们可以先想这个正方体的棱长是1厘米，显然太小了；如果这个正方体的棱长是2厘米，又太大了。那么棱长在1厘米和2厘米之间，也就是一点几。具体是一点几呢？

生5：我认为可能是1.2，因为“1.728”的最后一位数是8。

师：棱长就是1.2厘米。在这里我们用了假设、推理的思维方法，先用到假设法确定了棱长的范围，再用推理的方法确定到底是一点几。

【赏析】刘老师围绕正方体棱长与体积的知识，由易到难设计了三道题，学生轻松解答了前面两道题，到第三题时，学生充分利用前面两题的结论缩小了棱长的范围，再根据第二题的结论推理出棱长到底是多少。刘老师用这样一个题组向学生传递了假设和推理的数学思维方法。

综上所述，对学生而言，掌握数学知识固然重要，但是只能用在一时，而掌握数学思维方法可以解决不同的场景里出现的问题，比如这节课中的假设法不仅用来解决“乘积最大”的问题，还用来解决“正方体体积”的问题。虽然数学课以学习数学知识为主，不可能天天上思维训练课，但是这样的数学课能串联起不同单元的数学知识，在设计时注重练习的深度和宽度，一切以学生的思维发展为准绳，真正体现以学生为主的教学理念。学生在这样的学习过程中，自己努力挖掘和提炼数学知识背后的数学思维、数学思想、数学方法、数学策略等，不仅能实现深度学习，还能让数学学习变得轻松。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 楊琰.基于规则教学的小学数学思维渗透分析[J].教育理论与实践，2020，40（8）：53-55.

[2] 胡竹梅.小学数学思维品质的特征表现及培育策略[J].福建教育学院学报，2021，22（6）：85-86.

[3] 刘红慧.基于深度学习的小学数学有效教学策略[J].西部素质教育，2022，8（17）：193-195.

[4] 钱国华.基于“立序”视角的小学数学教学思考[J].教师教育论坛，2021，34（12）：53-55.

[5] 白利军.小学数学教学中学生逻辑思维能力的培养策略[J].华夏教师，2022（20）：21-23.

[6] 李兰梅.放慢课堂教学步伐   静待数学思维花开：谈小学数学的慢教学[J].福建教育学院学报，2019，20（6）：96-97，117.

（责编 黄 露）