基于虚拟阵列扩展的改进加权空间平滑算法

孙志国, 柏乔森, 白永珍, 孙溶辰

(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150001)

0 引 言

波达方向(direction of arrival,DOA)估计是阵列信号处理领域的一个重要分支,经典的波达方向估计方法,如多重信号分类(multiple signal classification,MUSIC)算法[1]和基于旋转不变性的信号估计(estimating signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法[2]等,均假设目标信源为点信源,信号的能量被视为集中在离散的一个或多个角度[3]。但在现实复杂的通信环境中,信号的传播由于障碍物的阻挡产生反射或折射,导致信号能量在空间中扩散,最终到达接收端时呈现一定范围的角度扩展,若采用基于传统点信源模型的估计算法会导致估计性能的严重恶化。对于这种空间分布式信源[4-5],由于信号在一定角度范围内具有特定的统计分布特性,因此可以通过另一个估计参数扩展角度来描述信号的空间分布特性。相干分布源[6]的空间扩散特性可由确定性角信号密度函数描述,在已知角信号密度函数类型的前提下,文献[7]提出一种基于MUSIC的分布信号参数估计(distributed signal parameter estimator,DSPE)算法,该算法通过多维参数搜索得到目标信源的中心方位角,具有良好的估计精度,但是计算复杂度也比较高。文献[8]提出一种针对分布式信源模型的ESPRIT算法,利用均匀线阵的旋转不变性构造估计矩阵,然后通过特征分解得到估计参数。文献[9]提出一种基于传播算子的方法,该方法避免了特征分解,具有较好的实时性。

当信号源之间相干时,协方差矩阵的秩小于信源数,导致传统的空间谱估计算法失效。如何恢复协方差矩阵的秩,正确估计出信源的数目,是相干信源估计中的一个重要问题。空间平滑算法是一种有效的解决信源相干问题的方法[10-11],该算法能有效分辨信号的入射角度,但是以牺牲阵列孔径和估计精度为代价的[12]。2003年,王布宏等提出一种加权空间平滑(weighted spatial smoothing,WSS)算法,该算法利用子阵输出的自相关和互相关信息,具有更好的角度分辨力和更低的信噪比门限,但是其角度估计精度受加权因子的优劣影响较大[13]。文献[14]提出了改进WSS (improved WSS,IWSS)算法,该算法通过两次空间平滑,获得了较好的解相干性能和估计精度。文献[15]提出一种二次WSS (main WSS,MWSS)算法,该算法的核心思想是对加权矩阵进行空间平滑,以此获得权值更准确的加权矩阵,从而提高对相干信源的估计精度。文献[16]提出一种增强的空间平滑技术，该方法利用单个子阵列的协方差矩阵和不同子阵的互协方差矩阵，相比传统空间平滑技术的解相平相干能力更好。文献[17]提出一种基于特征空间多重信号分类的空间平滑估计算法,提高了小能量信号的成功估计概率。文献[18-20]考虑到计算复杂度的问题,提出针对相干信源的快速算法。2018年,Inoue等提出一种利用克罗内克子空间的估计算法[21],该算法将入射信号的自相关和互相关都视为虚拟源信号,在不改变阵元数的前提下,可以处理更多的相干信号。2020年,Fang等提出一种采用改进的稀疏表示方法的相干信号DOA估计算法[22],利用设计的权值向量增强信号的稀疏性,从而确定信号的入射角度,该算法在低信噪比环境下具有良好的估计性能。Jin和Zhang提出一种改进的二维Toeplitz矩阵重构算法[23],实现了二维相干信源的角度估计。同年,Dakulagi等利用Toeplitz矩阵的联合对角化结构[24],构造了一个无需信源数先验信息的代价函数,通过修正后的导向矢量代替导向矢量的投影权重来重构信号子空间与噪声子空间的功率谱。2021年,Fathtabar等提出一种针对宽带相干信源的DOA估计算法[25],该算法无需信源数和角度预估计等先验知识。为了解决脉冲噪声背景下相干源的角度估计问题[26],Gong和Guo提出一种基于无限范数归一化预处理和稀疏表示的估计算法。为了提高相干信源在低信噪比条件下的估计性能,Wu等提出一种基于协方差矩阵恢复的无网格DOA估计算法[27]。

本文在相干分布式信源模型下,提出一种基于虚拟阵列扩展的WSS (virtual WSS,VWSS)算法。由于空间平滑需要划分子阵,导致阵列孔径损失以及可估计信源数目减少,本文通过共轭虚拟阵列扩展增大阵列孔径,从而弥补空间平滑造成的影响,并且将Toeplitz矩阵重构算法和改进的加权空间平滑算法进行结合,提高算法的估计精度。首先通过Toeplitz算法进行预估计,并根据协方差矩阵的结构对构建的加权矩阵平滑处理,使加权因子更加准确,然后利用改进加权空间平滑算法得到中心DOA的估计值,从而进一步提高对相干信源的估计性能。通过仿真实验,验证了该算法对相干信源具有更高的分辨能力和估计精度。

1 阵列信号模型

1.1 相干分布源模型

如图1所示的均匀线阵,具有M个阵元,相邻阵元间距为d。考虑有K个相干分布式信源入射到阵列中,并且满足远场窄带的假设,其中θi和σi(i=1,2,…,K)分别表示第i个分布式信源的中心方位角和角度扩展。在t时刻,阵列接收信号[7]可以表示为

(1)

图1 线性阵列结构Fig.1 Linear array structure

对于相干分布式信源,其角信号密度函数[7]可以表示为

(2)

(3)

因此,信号模型可以进一步简化为

x(t)=Bs(t)+n(t)

(4)

式中:B为分布源阵列流型[28],表示为

B=[b(θ1,σ1),b(θ2,σ2),…,b(θK,σK)]

(5)

其中,

(6)

高斯分布是相干分布式信源中最常见的一种分布形式[29-30],其角信号密度函数可以表示为

(7)

1.2 共轭虚拟阵列

利用共轭阵列扩展的方法,在虚拟域上构造一个增广的虚拟阵列。

如图2所示,真实阵元的位置为U1={nd|0≤n≤M-1},虚拟阵元的位置为U2={md|-M+1≤m≤-1},则经过扩展后的阵元位置为U=[U2,U1],阵元的总数变为N=2M-1。

图2 虚拟阵列结构Fig.2 Structure of virtual array

定义第n个真实阵元的信号接收矢量为

xn(t)=bns(t)+nn(t)

(8)

式中:bn表示第n个阵元的导向矢量;nn(t)表示第n个阵元接收的噪声,n=0,1,…,M-1。

通过共轭阵列扩展的方式构造虚拟阵列,则第-n个虚拟阵元的信号接收矢量表示为

(9)

合并真实阵元和虚拟阵元的信号接收矢量,则总的阵列接收信号为

x(t)=[x-M+1(t),x-M(t),…,x0(t),…,xM-1(t)]=

(10)

其中,

(11)

式(10)即为扩展共轭阵列的接收数据模型,由图2可以看出,加入虚拟阵元之后,阵列孔径相应增加。

2 算法原理

2.1 空间平滑算法

空间平滑算法是应对相干信号的经典方法,其核心思想是:将均匀线阵分成L个子阵,然后对所有子阵的自协方差矩阵求平均,从而使得平滑后得到的协方差矩阵的秩等于信号源的个数。

若每个子阵包含m(m>K)个阵元,且子阵个数满足L=N-m+1(L≥K), 分别计算每个子阵的自协方差矩阵,然后进行算术平均得到前向平滑的阵列协方差矩阵Rf：

(12)

式中:Fk=[0m×(k-1)|Im|0m×(N-k-m+1)]。

前后向空间平滑(forward-backward spatial smoothing, FBSS)算法是在阵列前向平滑的基础上,同时考虑了均匀线阵的旋转不变性。因此,定义FBSS协方差矩阵为

(13)

文献[14]提出的WSS算法,其核心思想是通过两次不同的方法划分原阵列,保证第一次划分的子阵数等于第二次划分的子阵的阵元数,因此第一次划分的子阵阵元数等于第二次划分的子阵数。具体实现步骤如下。

(1) 第一次平滑,划分子阵的阵元数目为m, 子阵个数为L=N-m+1,并且m,L>K。采用FBSS算法:

(14)

式中:R1为平滑后的协方差矩阵,用来求加权矩阵W,即W=(R1)*;J是与R同维数的置换矩阵;(·)*表示共轭。

(2) 第二次平滑,取子阵阵元数为L,子阵数为m,满足m=N-L+1,利用第一次平滑所求的加权矩阵W对m2个自、互相关矩阵应用WSS算法可得

(15)

式中:wij表示加权矩阵W第i行第j列的元素。

2.2 基于虚拟阵列扩展的VWSS算法

通过Toeplitz矩阵重构方法进行预估计,以图2中虚拟阵列扩展后第一个阵元为参考阵元,定义接收数据的互相关矩阵:

(16)

式中:k=1,2,…,N;x1,xk分别表示第一个阵元和第k个阵元的接收数据;B(1),B(k)分别对应阵列流型矩阵的第1行和第k行。将式(16)定义的所有互相关函数组成互相关矢量可得

r=[r11,r12,…,r1N]=B(1)RS[BH(1),BH(2),…,BH(N)]

(17)

式中:r包含所有入射信源的信息,由r张成一个Toeplitz矩阵,可以保证入射信源信息无丢失,其结构如下:

(18)

构造加权矩阵并进行平滑处理,构造加权矩阵W：

W=(B·B)+

(19)

(20)

利用平滑处理后的加权矩阵WS,对前后向阵列协方差矩阵Rij进行加权,得到新的协方差矩阵Rm wf：

(21)

式中:wsij表示加权矩阵WS中第i行第j列的元素。

采用传播因子算法(propagation method, PM)进行分布源的中心DOA估计。PM无需特征值分解,因此复杂度较低,具体步骤如下:

将分布源方向矩阵B分块:

(22)

式中:B1是K×K维的矩阵;B2是(N-K)×K维的矩阵,两个矩阵之间存在一个线性算子,可以表示为

B2=PcB1

(23)

(24)

定义矩阵P为

(25)

根据式(22)～式(25)可得

(26)

分别用Pa和Pb表示P的前N-1和后N-1行;用Ba和Bb表示B的前N-1和后N-1行。式(26)可以表示为

(27)

则存在以下关系：

(28)

(29)

式中:λk表示Φ的第k个特征值。估计出相干分布源中心DOA后,同样用传播算子估计出分布源的角度扩展：

[PH,-IN-K]B=QHB=0

(30)

根据式(30)构建空间谱函数:

(31)

(32)

本文算法的基本步骤可归纳总结为:

(1) 利用共轭虚拟阵列扩展技术构造新的信号模型;

(2) 通过Toeplitz矩阵重构方法对目标方位进行预估计;

(3) 根据预估计值建立加权矩阵W,并通过式(20)对加权矩阵进行平滑处理;

(4) 通过式(21)构造协方差矩阵Rmwf;

(5) 采用PM估计信源的中心POA和角度扩展。

3 算法仿真及性能分析

本节对FBSS算法、IWSS算法、MWSS算法以及本文算法进行比较,并分析了4种算法的解相干能力,估计精度和计算复杂度。实验中均设置均匀线阵的阵元数为8,子阵阵元数为5,阵元间距为半波长,空间分布方式为高斯分布,假设信源之间完全相干,仿真实验结果均由300次蒙特卡罗实验得出。

定义均方根误差(root mean square error， RMSE)作为衡量估计精度的指标,RMSE的计算公式如下:

(33)

实验 1算法的解相干性能对比

设置快拍数为100,信噪比变化范围为-10 dB至20 dB,变化间隔为5 dB,假设空间中存在两个相干分布源,信号入射中心DOA为30°和40°,角度扩展分别为1°和2°,仿真实验结果如图3所示。

图3 不同算法的分辨成功率Fig.3 Resolution success rate of different algorithms

根据图3可知,信噪比越高,每个算法的分辨成功率越高。其中IWSS-PM算法和MWSS-PM算法的解相干能力相同,都高于FBSS-PM算法。而本文算法由于具有更大的阵列孔径,并且充分利用的子阵的自相关与互相关信息,因此分辨成功率明显高于其他算法,在低信噪比时也有不错的解相干性能。

实验 2不同信噪比条件下的算法性能

设置快拍数为300,信噪比变化范围为-10 dB至10 dB,假设空间中存在3个相干分布式信源,入射角度分别为-30°,-10°和40°,角度扩展分别为1°,3°和2°。图4为信噪比对4种算法估计精度的影响。

图4 不同算法RMSE随信噪比变化Fig.4 RMSE of different algorithms varies with signal to noise ratio

根据图4可知,信噪比增加,4种算法的估计精度均有提升,本文算法相比于其他3种算法的RMSE更低,说明其估计精度更高,在低于0 dB的信噪比条件下也能较好地估计目标方位,RMSE小于3°,抗噪鲁棒性较强。

实验 3不同快拍数条件下的算法性能

设置信噪比为-10 dB,入射角度分别为-30°,-10°和40°,角度扩展分别为1°,3°和2°,总阵元数为8,快拍数变化范围为300～1 000,图5为快拍数对4种算法估计精度的影响。

图5 不同算法RMSE随快拍数变化Fig.5 RMSE of different algorithms varies with snapshots

由图5可知,在信噪比不变的情况下,快拍数增加,4种算法的测向精度随之提升。在快拍数量一定时,本文算法的RMSE明显小于其他算法,具有更优的估计精度。

实验 4角度扩展对算法性能的影响

设置信噪比为0 dB,快拍数为300,入射角度分别为-30°,-10°和40°,阵元数为8,角度扩展变化范围为1°至10°,图6表示了角度扩展对4种算法估计精度的影响。

图6 不同算法RMSE随角度扩展变化Fig.6 RMSE of different algorithms varies with spread angular

由图6可知,4种算法的估计精度均随扩展角度的增大而降低。其中,IWSS-PM算法和MWSS-PM算法受角度扩展的影响较大,FBSS-PM算法的估计精度最低,本文所提算法的估计精度随角度扩展变化曲线平稳,由于通过共轭阵列扩展,增大了阵列孔径,并对加权矩阵进行修正,有效降低了信号多径的影响,因此受角度扩展影响较小。

实验 5计算复杂度比较

假设真实阵元总数为M,通过共轭虚拟阵列扩展后的阵元总数为N=2M-1,快拍数为T,真实子阵的阵元数为m1,则子阵个数为L1=M-m+1,经过共轭虚拟扩展后的子阵阵元为m2=2m1,则子阵个数为L2=N-m2+1,计算复杂度如表1所示。

表1 计算复杂度

设置信噪比为-10 dB,空间中存在3个相干分布源,入射角度分别为-30°,-10°和40°,角度扩展分别为1°,3°和2°,设置信噪比为0 dB,子阵列的阵元数为4。图7表示了4种算法在不同阵元时的计算复杂度。

图7 不同算法计算复杂度对比Fig.7 Computational complexity comparison of different algorithms

如图7所示,FBSS-PM算法只进行了空间平滑处理,因此计算复杂度最低;IWSS-PM算法计算了权值,复杂度略高于FBSS-PM算法;而MWSS-PM算法由于进行了二次加权平滑,所以计算复杂度比前两种算法更高;本文算法基于MWSS-PM算法,扩展了阵列孔径,同时增加了Toeplitz矩阵重构方法的预估计,提高了估计精度,但是却增加了计算的复杂度,运行时间是4种算法中最长的。

4 结 论

针对相干信源,现有的空间平滑类算法阵列孔径损失严重,在低信噪比时估计性能较差。本文在相干分布源模型下,提出一种基于虚拟阵列扩展的VWSS算法,来弥补子阵划分造成的阵列孔径损失,并充分利用子阵的自相关和互相关信息,更有效地建立加权矩阵的权值,提高了角度估计精度。计算机仿真结果证明,本文算法具有更好的估计性能,在低信噪比时具有较好的鲁棒性,并且受角度扩展的影响较小,但是计算复杂度相比传统算法更大,因此运行时间更长。