最优冗余线阵欠定信号双重构DOA估计方法

王 庚, 李 浩, 何 翼, 冯明月, 陈昌孝,*

(1. 空军预警学院, 湖北 武汉 430019; 2. 海军研究院, 北京 100161)

0 引 言

在阵列信号到达角(direction of arrival, DOA)估计中,当信号数超过阵元数,称为欠定DOA估计。稀疏线阵可以实现欠定DOA估计,因此稀疏线阵DOA估计问题成为了研究热点。早在1968年,Moffet就提出了最小冗余线阵[1],相同阵元数量条件下,在所有差值虚拟阵列连续的稀疏线阵中,最小冗余线阵孔径最大。尽管最小冗余线阵已经被证明可有效增加阵列自由度,但由于限制条件过于苛刻,多数孔径条件下不存在相应最小冗余线阵结构,因此难以用于实际的阵列设计中。直到2010年,Ma提出了利用Khatri-Rao积对于欠定信号DOA估计问题的解决思路[2],基于此,有学者陆续提出多种具有严格解析式的稀疏线阵,包括嵌套类稀疏线阵[3-5]、互质类稀疏线阵[6-8]以及它们的混合型[9]。但相同阵元数量下,上述稀疏线阵孔径都小于最小冗余线阵,而阵列测向精度主要取决于阵列孔径,因此如何设计一种性能接近最小冗余线阵且孔径连续的稀疏线阵,是稀疏线阵设计的一个研究方向。

稀疏线阵可以利用阵列接收数据构造Toeplitz协方差矩阵,进而实现更高精度的DOA估计。基于差分虚拟阵列,文献[10]通过空间平滑重构出Toeplitz协方差矩阵,该方法计算速度快,但估计精度低。为提高Toeplitz协方差矩阵估计精度,文献[11-12]提出了基于低秩矩阵去噪模型的协方差矩阵重构算法,文献[13-14]提出了基于迹范数最小化的协方差矩阵插值方法,文献[15-17]提出了基于协方差矩阵拟合的重构方法。上述Toeplitz矩阵估计方法的估计精度较高,但计算量大,因而如何在保持估计精度的同时,降低计算量是协方差矩阵估计的关键。

稀疏重构算法无需信号个数信息即可实现欠定DOA估计,因此成为新兴研究热点。在文献[18]中,Malioutov提出了基于L1范数的奇异值分解(L1 based singular value decomposition, L1-SVD)算法。在文献[19]中,Liu结合估计误差限制提出了协方差矩阵稀疏表示算法。文献[20]将采样协方差矩阵进行向量化处理并进行稀疏表示,结合误差限制提出了基于L1范数最小化的稀疏重构类算法。以上3种稀疏重构类DOA估计算法直接利用稀疏线阵采样协方差矩阵,因此都受协方差估计精度不足的限制,难以实现高精度欠定DOA估计。

针对上述阵列设计和DOA估计方法中的问题,本文提出了最优冗余阵结构,实现了在保持低冗余低耦合的同时,便于阵列设计。为提高DOA估计精度,本文提出了快速协方差向量稀疏表示(fast covariance vector sparse representation, FCVSR)算法。该方法利用凸优化理论近似最优解条件,推导出了Toeplitz协方差矩阵的解析计算式。进而构造无冗余协方差向量稀疏表示模型,通过稀疏重构稀疏信号功率向量,最终实现了低计算复杂度下的高精度欠定信号DOA估计。

1 最优冗余阵列设计

稀疏线阵可以视为对等孔径均匀线阵进行阵元稀疏选择后所得的等效线阵结构,本文将与稀疏线阵孔径相等的均匀线阵称为初始均匀线阵。

1.1 最优冗余阵

阵元数为M的初始均匀线阵的阵元位置为

PU={ud, 0≤u≤M-1}={pu1,pu2,…,puM}

(1)

式中:d为相邻阵元的最小阵元间距,通常设定为信号载频的半波长；pui表示为第i个阵元的位置坐标。

拥有i个物理阵元的稀疏线阵的阵元位置为

PS={ps1,ps2,…,psS}

(2)

稀疏线阵的差值虚拟阵列定义和文献[10]中相同:

PD={psi-psj=md}, ∀i,j=1,2,…，S

(3)

相应的差值虚拟阵元数和权值函数分别为

(4)

w(m)=|M(m)|

(5)

如文献[21]所述,阵列耦合系数矩阵Cc模型为

(6)

式中: 1=c0

最小冗余线阵的差值虚拟阵列连续,且相同阵元数条件下阵列冗余度最小。阵列的冗余度定义为

(7)

式中:ρmax表示阵列孔径与单位阵元间距的比值。

现有文献通过穷举法搜索出了阵元数不超过17的所有最小冗余线阵,具体如表1所示。

表1 不同阵元数下最小冗余阵的阵列孔径

由表1可知,最小冗余线阵的阵列孔径不连续,大部分孔径无对应最小冗余阵结构,因此很难用于阵列设计中。基于上述最小冗余阵的定义,本文提出了一种固定孔径条件下冗余度最小的稀疏线阵。

定义 1固定阵列孔径下,拥有连续差值虚拟阵列且冗余度最小的稀疏线阵为广义最小冗余阵。

相同孔径下存在多个广义最小冗余阵结构,尽管这些广义最小冗余阵具有相同的冗余度,但由于物理阵元的分布不同,阵列耦合效应也不同。考虑到阵列耦合效应对DOA估计的不良影响,本文提出了耦合影响最低的最优冗余线阵。

定义 2同一孔径下阵元耦合影响最小的广义最小冗余阵为最优冗余线阵。

由式(6)可知,阵元间的耦合影响主要与阵元间距相关,随阵元间距扩大而迅速降低,因此可以按照相邻阵元间距由小到大的顺序,比较相应阵元间距下的阵元对数,选择其中相同阵元间距下阵元对数最少的广义最小冗余阵,即为最优冗余线阵。

本文提出的最优冗余线阵只限于阵列孔径为101d以内小型稀疏线阵,40d以内的具体阵元位置如图1所示。最优冗余线阵包含了最小冗余线阵。

图1 最优冗余线阵的阵元位置示意图Fig.1 Schematic diagram of array element positions of optimal redundancy linear arrays

1.2 接收信号模型

由稀疏线阵和相应初始均匀线阵孔径相等的内在关系可得psS=puM。

基于稀疏线阵和初始均匀线阵的阵元位置关系,可得稀疏选择矩阵Γ∈{0,1}S×M,其各列的计算公式为

(8)

式中:ρj∈{0,1}S×1只有第j个元素为1,其他为0。

假定PS={0,d,4d,7d,9d},则对应稀疏选择矩阵Γ为

(9)

假定K个互不相关的远场窄带信号分别以-π/2<θ1,…,θK<π/2的入射角度照射到初始均匀线阵上,则相应的阵列输出为

(10)

式中:A=[a(θ1),…,a(θK)]为阵列流型矩阵;a(θk)=[1,…,e-jπ(M-1)sin θk]T为阵列方向向量;信号s(t)和噪声n(t)为非相关零均值高斯白噪声,满足E[s(t)s(t)H]=Rs和E[n(t)n(t)H]=δn,其中δn为噪声功率,信号功率Rs=diag(δ1,…,δK)。

若考虑阵列耦合,则初始均匀线阵阵列输出为

x(t)=CcAs(t)+n(t)

(11)

相应地,稀疏线阵的阵列输出表示为

(12)

式中:aCS(θk)代表考虑阵列耦合影响后的稀疏线阵的阵列方向向量。

2 基于双重构的FCVSR方法

基于稀疏线阵和初始均匀线阵之间的对应关系,可以将稀疏线阵的欠定DOA估计问题转化为初始均匀线阵的DOA估计问题。初始均匀线阵的协方差矩阵具有Toeplitz性,本文将其称为Toeplitz协方差矩阵。

2.1 Toeplitz协方差矩阵重构

基于信号和噪声相互独立的假定,可以得到初始协方差矩阵Rx的理论值为

(13)

相应的无噪初始协方差矩阵为

Tx=Rx-δnIM=ARsAH

(14)

式中:IM为M维单位矩阵,如文献[15]中所述;Rx和Tx同为Toeplitz矩阵和Hermitian矩阵。

相应的稀疏线阵的协方差矩阵为

Ry=ΓARsAHΓH+δnIS=ΓTxΓH+δnIS

(15)

基于L次快拍的协方差矩阵的估计值为

(16)

(17)

因此可以推得

(18)

式中: Asχ2(|S|2)代表服从自由度为|S|2的卡方分布。由卡方分布的性质可得

(19)

综上所得,可以将无噪初始协方差矩阵Tx的求解问题转换为下面的范数最小优化问题[22]:

(20)

由于L0范数是非凸的NP难问题,为了便于实际计算,将L0范数凸松弛为迹范数。

(21)

当快拍数超过天线阵元数的3倍时,估计得到的协方差矩阵在很大概率上为半正定矩阵,因此去掉该限制条件,对Tx的估计效果影响不大。

2.2 快速计算方法

将迹范数最小化模型进一步转化为拉格朗日形式为

(22)

将E=Ry-ΓTxΓT代入式(22)并进一步推导可得

(23)

T[J]=T[JTxJ]

(24)

式中：T[·]表示对矩阵进行压缩处理,按照Toeplitz矩阵结构将矩阵CM×M压缩为向量C(2M-1)×1。

式(24)实质为含有2M-1个变量的线性方程组。为求得该线性方程组的解,首先将等式右边转化为

(25)

(26)

式中:t=[t1, …,tM-1,tM]T。

为将线性方程组中的矩阵转化为分块矩阵,将一个零向量插入到矩阵H的第M列,从而得到下列等式:

(27)

(28)

式中:R(·)表示复数的实数部分;I(·)表示虚数部分。进而可得

(29)

最终可求得向量t,基于Tx的Toeplitz性和Hermitian性,可以得到

(30)

2.3 协方差向量稀疏表示模型

根据式(13)和式(30),可得向量t的元素值为

(31)

进而可以推导出:

(32)

通过对协方差向量t进行稀疏表示可得

(33)

其中估计误差向量来源于信号采样数的有限性,空域离散化后的阵列流型矩阵AG由向量a(θGi)组成。

利用凸优化方法,基于L1范数对初始协方差向量进行稀疏重构,求解后可得稀疏功率向量和相应信号的DOA估计值。具体优化模型如下:

(34)

式中:门限β是用于约束初始协方差向量的估计误差,可以查表或利用Matlab数学软件中的命令函数chi2inv(1-w,M)求得,本文中,置信参数w与文献[23]中相同,采用参数值0.001。

通过求解凸优化问题,可以得到基于信号功率的稀疏向量δG,通过对δG进行峰值搜索,可以得到目标信号功率和相应DOA的估计值。

综上所述,基于双重构的FCVSR算法的详细步骤如下所示:

步骤 2基于式(29)求得协方差向量t;

步骤 3基于协方差向量稀疏表示模型式(33),对信号功率稀疏向量δG进行稀疏重构;

步骤 4对估计出的稀疏向量δG进行峰值搜索,得到的峰值功率和相应网格对应的DOA值,即为信号功率和DOA的估计结果。

3 仿真实验分析

为了对最优冗余线阵测向性能、FCVSR算法的估计性能进行仿真分析,本文设计了两个仿真实验。假定K个等功率非相关远场窄带信号照射到稀疏线阵天线上,其中DOA均匀分布于区间[-53°,53°]。实验中,峰值搜索步长为0.1°,网格间距设定为1°。

本文对每种仿真条件进行了I=500次蒙特卡罗实验,并计算出相应的均方根误差(root mean square error, RMSE),具体公式为

(35)

3.1 稀疏线阵性能对比分析

为验证最优冗余线阵相对于其他等阵元数的稀疏线阵的耦合效应更小,耦合条件下的欠定估计能力更强,本节针对阵元数为10的4种稀疏线阵,利用经典的基于空间平滑的多信号分类(spatial smoothing-multiple signal classification, SS-MUSIC)进行欠定信号DOA估计。与文献[21]仿真实验中的仿真条件相同,假定耦合系数c1=0.5ejπ/4,c2=0.5ej0.7π/2,c3=0.5ej0.7π/3,B=3。仿真实验中4种对比稀疏线阵的阵元位置如图2所示。

图2 4种稀疏线阵的阵元位置示意图Fig.2 Schematic diagram of array element positions of four sparse linear arrays

4种不同仿真条件下的空间谱如图3所示,其中信号个数、信噪比(signal to noise ratio, SNR)和快拍数的具体取值标记在每幅图的下面,图中的黑色虚线对应真实DOA值。

图3 阵元耦合时不同条件下4种稀疏线阵的归一化空间谱Fig.3 Normalizational spatial spectrum of four sparse linear arrays under different conditions with mutual coupling

观察图3可知:① 对比4种稀疏线阵的归一化功率谱可发现,绿色部分功率谱中产生了最多的伪峰,说明嵌套阵列的耦合效应最强;② 其次,红色部分的估计结果也产生了较多的伪峰,蓝色部分的估计结果与紫色部分大致相近,但当信号个数K=15时,紫色部分的估计结果要远好于蓝色部分,说明最优冗余线阵较超级嵌套阵列,受耦合影响的程度更小,耦合条件下的估计欠定信号DOA估计能力更强,远超广义互质阵列和嵌套阵列;③ 4种不同条件下,紫色部分的峰值与黑色虚线的距离最近,说明4种稀疏线阵中,最优冗余线阵的测向精度更高。综上,仿真结果验证了最优冗余线阵的优越性。

3.2 条件变化对估计效果的影响分析

前文的欠定DOA估计功率谱仅为一次仿真实验结果,为进一步分析FCVSR算法的欠定估计能力,并与已有算法进行性能对比,本文设计了不同接收SNR、快拍数和角度间隔下的蒙特卡罗仿真实验,分析提出的FCVSR算法与已有L1-SVD[18],基于L1范数的阵列协方差向量稀疏表示(L1 norm based sparse representation of array covariance vector, L1SRACV)[23]和基于L1范数的协方差矩阵稀疏重构(L1 norm based covariance matrix sparse reconstruction, L1CMSR)[19]算法的DOA估计精度受条件变化的影响,以及算法在不同SNR条件下的单次DOA估计运算时间。仿真结果如图4所示,其中,当SNR从-10 dB增加到10 dB时,信号个数K=11,快拍数L=100;当快拍数从20增加到220时,信号个数K=11,SNR=0 dB;当信号个数从2增加到22时,SNR=0 dB,快拍数L=100。

图4 估计效果随不同SNR、快拍数和信号个数的变化情况Fig.4 Estimation effect varies with different SNR, number of snapshots and angular interval

观察图4可知:① 提出的FCVSR算法相对于其他3种算法的RMSE更低,说明其估计精度更高;② 通过提高协方差估计精度,可以实现更高精度的DOA估计;③ FCVSR算法与已有的L1CMSR算法的计算时间相近,小于L1SVD和L1SRACV。

4 结束语

本文提出了阵列孔径连续的最优冗余阵结构和一种高精度欠定DOA估计方法。该方法通过构造矩阵重构模型,实现了协方差矩阵的高精度估计,进而提高了DOA估计精度。仿真结果证明,所提阵列的阵列耦合更低,相同阵元数下的测向精度更好;本文提出的算法较现有方法具有更高的欠定信号DOA估计精度,同时保持了较低的计算复杂度。该方法无需信号个数的先验信息,通过提高协方差的估计精度,实现了更高精度的DOA估计,后续可以将该解决思路应用到稀疏贝叶斯学习等稀疏重构类方法中。