群作用的测度可扩性和强测度可扩性

金秋实, 董美花

(延边大学 理学院,吉林 延吉 133002)

0 引言

拓扑动力系统的可扩性是动力系统研究的核心问题之一.可扩同胚作为动力系统中的一个重要概念,因其在遍历理论和连续统理论中有着广泛的应用,因此近年来学者们对其进行了较多研究[1-4].2017年,Cordeiro等[1]研究了强测度可扩同胚和测度可扩同胚之间的关系,并给出了若干关于测度可扩和强测度可扩的定理.基于上述研究,本文利用类比的方法讨论了文献[1]中的部分定理在群作用背景下的扩展,并证明了其在群作用背景下仍然成立.

1 预备知识

设G为一个有限生成群,X为一个度量为d的紧致度量空间,N为一个正整数.用Act(G,X)表示G在X上连续作用T的集合,即T:G×X→X是一个连续映射,使得对于所有的x∈X和g,h∈G都有T(e,x)=x和T(g,T(h,x))=T(gh,x)成立,其中e是G的单位元.记T(g,x)为Tgx,用β(X)表示由X的所有开子集生成的Borel-σ代数[5],并称β(X)中的每一个元素为一个Borel集.称在β(X)上的每一个σ-可加测度为X上的一个Borel测度,并且设每一个Borel测度μ为概率测度,即μ(X)=1.

称T∈Act(G,X)是可扩的,是指如果存在常数c>0,使得对于所有的x∈X,g∈G都有(x)={x}成立,其中(x)={y∈X:d(Tgx,Tgy)≤c,∀g∈G},c为T的可扩性常数.称一个Borel概率测度μ是满支撑的[5],是指对任意x∈X和x的任意邻域Ux都有μ(Ux)>0;称μ是非原子的,是指对任意点x∈X都有μ({x})= 0成立;称μ是原子的,是指存在点x∈X使得μ({x})>0成立;称μ是不变Borel概率测度[6],是指对所有的Borel集B和g∈G都有μ(B)=μ(TgB)成立;称点x∈X是周期点[7],是指集合Tgx|g∈G{}是有限的;记Per(T)为所有周期点的集合;称轨道Tgx|g∈G{}是周期轨道,是指轨道上的点都是周期点x.设M(X)为紧致度量空间X上的所有Borel概率测度的集合,并且记M*(X)={μ∈M(X)|μ是非原子的}.

定义1[7]如果存在常数c>0,使得对于所有的x∈X,始终有μ((x))= 0成立,则称测度μ∈M(X)相对于T∈Act(G,X)是可扩的(或者T是μ-可扩的).如果任何的非原子Borel概率测度μ∈M*(X)相对于T都是可扩的,则称T∈Act(G,X)是测度可扩的.由上述可得:对于任何T∈Act(G,X)的可扩测度μ∈M(X)都是非原子的.此外,任何非原子Borel概率测度μ∈M*(X)相对于可扩作用T∈Act(G,X)都是可扩的.

定义2设N∈N.如果存在c>0,使得对于所有的x∈X,始终有不超过N个元素的集合(x)存在,则称T∈Act(G,X)是N-可扩的.如果存在c>0,使得对于所有的x∈X,始终有可数集合(x)存在,则称T∈Act(G,X)是可数可扩的.

定义3如果存在常数c>0,使得对于所有的不变Borel概率测度μ∈M(X)和x∈X,始终有μ((x))=μ(x)成立,则称T∈Act(G,X)是强测度可扩的.

定义4设X和Y是紧致度量空间,且T∈Act(G,X),S∈Act(G,Y),则称一个有序偶对(X,T)为一个动力系统.如果存在一个同胚Φ:X→Y,使得ΦTg=SgΦ 成立,则称两个动力系统(X,T)和(Y,S)是拓扑共轭的.如果一个动力系统(X,T)具有P性质,则任何与(X,T)共轭的动力系统(Y,S)也具有P性质,并称P为动力性质.称同胚Φ 是T与S间的共轭.

2 主要结论及其证明

定理1测度可扩是动力性质.

证明设X和Y为度量d和d′的紧致度量空间,(X,T)和(Y,S)是拓扑共轭的,由此知存在一个同胚Φ:X→Y,使得ΦTg=SgΦ 成立.若T是测度可扩的,则由定义1可知:存在可扩常数c>0,使得对于所有的x∈X和μ∈M*(X),始终有μ(x))= 0成立,即x=y.由于X和Y是紧致的,Φ-1是连续的,所以Φ-1是一致连续的.由一致连续的定义可知:对于任意的c>0,存在常数c′>0,使得对任意的x,y∈Y,只要d′(x,y)

由于当定义1中的非原子Borel概率测度μ是不变非原子Borel概率测度时,T∈Act(G,X)仍是测度可扩的[1],因此可得如下定理2.

定理2设T:G×X→X是没有周期点的连续映射,T是测度可扩当且仅当T是强测度可扩.

证明由测度可扩和强测度可扩的定义可知:如果T是强测度可扩的,则T是测度可扩;如果T是测度可扩的,则存在可扩常数c>0,使得对于所有的x∈X和μ∈M*(X),始终有μ((x))= 0成立.如果μ是不变原子的Borel概率测度,则μ在周期轨道下是满支撑的.由于T没有周期点,故由周期点的定义可知μ不是在周期轨道下,这与假设矛盾.如果μ是不变非原子的Borel概率测度,则对于所有的x∈X,始终有μ(x))= 0=μ(x)成立;因此,T是强测度可扩,定理2证毕.

定理3设T:G×X→X是一个连续映射,如果T是强测度可扩的,则T|Per(T)是可扩的.

注1由可扩定义和强测度可扩的定义可知,可扩等价于1_可扩,且由该可扩能推出强测度可扩;由N-可扩的定义可知,由1_可扩能推出N-可扩;由可数可扩的定义可知,由N-可扩能推出可数可扩.