一类混合Hadamard型分数阶微分系统解的存在性

李耀红，张海燕

（宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000）

近年来，分数阶导数已成为用来描述分数阶微积分理论[1]、力学与工程建模问题[2]、控制和同步[3]的重要工具，与之相关的分数阶微分方程的可解性问题备受关注，如解的唯一性[4]、解的存在性[5]、正解的存在性[6]、解的迭代逼近序列[7-8]、解的可控性和稳定性[9]。另一方面，作为分数阶边值问题的一种推广，Riemann-Liouville分数阶混合微分方程两点边值问题[10]、Caputo分数阶混合微分两点边值问题[11]，以及Caputo-Hadamard分数阶混合微分方程两点边值问题[12]也引起了数学工作者的关注。混合微分方程是指方程的导数项中含有线性、二次摄动，以及线性与二次摄动的组合项。而二次摄动在非线性振动问题、非牛顿流体力学、复合材料结构分析中有重要应用。

分数阶混合微分问题最初由Dhage和Lakshmikantham[13]于2010年提出，并基于摄动应用背景，给出了一个新的不动点理论，其能有效解决一类分数阶混合微分边值问题中出现的多算子问题，弥补了常见不动点定理仅处理单个算子方程问题的不足。

2014年，Ahmad和Ntouyas[15]提出了一类混合Hadamard型微分方程边值问题

并研究了其解的存在性。随后，获得了下列混合Hadamard型微分方程边值问题[16]

的解的存在性，这里右侧边界条件比文献[15]更具有一般性。文献[17]对Hadamard型微分方程、系统和微分包含等问题进行了系统研究，将文献[16]推广到微分系统的情况，边界条件不具有耦合性。同时，在非局部的热弹性学[2]、控制系统[3]、工程力学建模[18]等交叉学科领域应用问题中，出现了许多耦合的分数阶微分系统，对其进行研究具有重要价值。

受上述文献启发，本文考虑一类具有耦合边界条件的混合Hadamard型分数阶微分系统

本文通过定义一个新的乘积范数，构建新的Banach空间，将系统（1）转化为等价积分方程系统，通过引入多个积分算子，在适当的非线性条件下，应用Dhage不动点定理，获得该系统解的存在性充分条件。

1 预备知识

定义连续函数空间X=C([1,e],R)，其在范数||x||=sup{|x(t)|:t∈[1,e]}下是一个Banach 空间，在乘积定义(x,y)(t)=x(t)⋅y(t),t∈[1,e]下是一个Banach代数。

定义1[1]Hadamard型α>0分数阶导数的定义为

其中g:[1,+∞)→R为连续函数，[α]表示α的整数部分，n=[α]+1。

定义2[1]Hadamard型α>0分数阶积分的定义为

其中g:(0,+∞)→R为可积函数。

定义3[19]设是Banach空间，如果存在一个常数LA>0，对任意的x,y∈，满足

引理1[14]（Dhage）设S是Banach代数中的一个非空有界凸闭集，若算子Α:→和Β:S →满足下列条件：（C1）A是Lipschitz的，且存在Lipschitz常数LΑ；（C2）B是全连续的；（C3）若x=ΑxΒy，则对任意y∈S，必有x∈S；（C4）LAMB<1，其中MB=||B(S)||=sup{||Bx||:x∈S}，则算子方程x=ΑxΒx在S中至少有一个解。

2 主要结果及证明

引理2令f1∈C([1,e]×R×R,R{0})，g1∈C([1,e]×R×R,R)，则Hadamard型分数阶微分方程

等价的积分表达式为

证由文献[15]知，方程（2）的一般解为

注记1混合分数阶微分方程（2）在[1,e]上有解等价于积分方程（3）在[1,e]上有解。混合分数阶微分系统（1）在[1,e]上有耦合解等价于积分系统（5）在[1,e]上有耦合解。

为方便后续证明，给出如下假设：

下面仅需讨论系统（5）解的存在性。令

则积分系统（5）可以改写为A(x,y)(t)B(x,y)(t)=(x,y)(t),t∈[1,e]，即有

下面分四步证明算子A和B满足引理1的所有条件。

于是，由算子A的定义可得

故算子Α=(A1,Α2)在中是Lipschitz的，其中Lf=Lf1+Lf2是Lipschitz常数，所以引理1的条件（C1）满足。

第二步。先考虑算子B在S上是紧算子。令(x,y)∈S，由假设（E2）和（E3）可知

接着证明{Β(xn,yn)}是S上的等度连续函数序列。令∀τ1,τ2∈[1,e],τ1<τ2，则

当τ1→τ2时，对任意的(x,y)∈S,|Β1(x,y)(τ1)-Β1(x,y)(τ2)|→0，即Β1(S)是等度连续的。同理，对任意的(x,y)∈S,|Β2(x,y)(τ1)-Β2(x,y)(τ2)|→0，即Β2(S)也是等度连续的，即Β(S)是等度连续的。因此算子B是从S到的一个紧算子。

最后考虑算子B 的连续性。取(xn,yn),(x,y)∈S 且(xn,yn)→(x,y)，结合算子B 的一致有界性，由Lebesgue控制收敛定理有

因此算子Β(xn,yn)=(Β1(xn,yn),Β2(xn,yn))在[1,e]上收敛于Β(x,y)，故算子B是连续性的。

综上所述，由Azela-Ascoli定理知算子B在S中是全连续的。故引理1的条件（C2）满足。

因为||(x,y)||=||x||+||y||，即有||(x,y)||≤ρ，因此引理1的条件（C3）满足。

第四步。因为

故由假设条件（E4）知Δ=LfMB<1，引理1的条件（C4）满足。

综上所述，算子A和B满足引理1的所有条件，由Dhage不动点定理知积分系统（5）至少有一个解，即混合Hadamard型分数阶微分系统（1）在[1,e]中至少有一个解。定理1得证。

3 应用实例

例1考虑下列混合Hadamard型分数阶微分系统

故由定理1可知，混合Hadamard型分数阶微分系统（6）至少存在一解。

4 结论

本文借助Dhage不动点定理和新的乘积范数定义，在Banach空间中获得了一类具有耦合边界条件的混合Hadamard型分数阶微分系统解的存在性判定充分条件。并通过一个具体实例说明了所得结果的正确性和可行性。需要指出的是，Dhage不动点定理是解决微分方程中多算子问题的有力工具，本文的思路方法为后续其它混合型分数阶微分系统的研究提供了参考。