Gronwall不等式的推广

石 婷，孙 甜，张 辉

（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）

Gronwall不等式是一类非常重要的不等式，其广泛应用在数学的各个分支。该不等式主要通过微分或积分等方式获得未知函数的数值估计，在利用偏微分方程进行能量估计方面尤为重要。然而，经典的Gronwall不等式在具体应用时有一定的局限性。许多学者对该不等式进行了改进和推广[1-8]。例如，文献[1]研究了具有多个奇异点的广义Gronwall不等式。文献[2]将经典的Gronwall不等式应用到由实际问题所提出的偏微分方程组。文献[4]通过构造辅助函数，得到了证明Gronwall不等式的一个新方法，拓宽了学术思维。也有学者运用多种数学方法对一般的Gronwall不等式进行延拓，推广了高阶线性不等式、一阶线性Gronwall 不等式等，且其推广结果有着广泛应用[6-8]。本文从经典的Gronwall 不等式出发，对其基本结构进行了改进并获得相应结果。与其他文献相比，本文推广方式没有改变不等式的基本结构，而形式也没有变复杂，可以使读者更好理解其基本思想，为开展深入研究提供了有益参考。

1 经典Gronwall不等式

经典的积分型Gronwall不等式可以表述如下[9]：

定理1设E(t)是定义在[0,T]上的一个非负连续函数，且满足不等式

其中，c、M均为正常数，则对任意的t∈[0,T]，有E(t)≤Mect。

2 Grownwall不等式的推广

通过改变经典的积分型Gronwall 不等式条件，如定理1 的不等式（1），考虑被积函数的幂次发生改变、常系数换成变系数，以及被积函数再乘以一个函数的多种组合情况，可得到定理2-8。

2.1 对积分号内E(t)的次数进行改进

文献[10]推广了n维空间下的Gronwall不等式，但其被积函数的幂次为1。在本文中，我们将讨论被积函数的幂次不再是1时，即当E(t)的次数满足0<α<1与α>1的两种情形（此时讨论的是一维空间，n维空间可以类似推导），分别得到如下两个结论。

定理2设E(t)是定义在[0,T]上的一个非负连续函数，且满足不等式

由定理2可知，当被积函数E(t)的次数为0<α<1时，E(t)可以找到一个控制函数。

定理3设E(t)是定义在[0,T]上的一个非负连续函数，且满足不等式

2.2 对常数c和M进行改进

同时改变定理1中c、M的条件，利用分离变量的方法，找到合适的积分因子，从而也能够找到一个E(t)的控制函数。

定理4设E(t)是定义在[0,T]上的一个非负连续函数，c(t)、M(t)为正连续函数，且满足不等式

2.3 对积分号内E(t)乘以一个正连续函数来改进

在定理1基础上将被积函数乘以一个正连续函数k(t)，推导发现，利用变量分离和通过找合适的积分因子的方法，也可以得到类似于定理1的结论，即找到一个E(t)的控制函数。

定理5设E(t)是定义在[0,T]上的一个非负连续函数，k(t)为正连续函数，且满足不等式

以上只是对定理5证明的一种思路。事实上，通过不等式（7）直接变形，然后对变形后的结果直接积分，也可以得到定理5的结论。以下给出定理5的另一种证明。

2.4 对积分号内E(t)乘以一个正连续函数与其次数来改进

文献[11]建立了函数矩阵中的一个Gronwall型积分不等式，另外文献[12]对Gronwall不等式进行了推广并应用在一阶常微分方程Cauchy 初值问题研究中，但被积函数幂次均为1。因此，本文考虑了当E(t)的次数为0<α<1和α>1时的结果，并分别得到定理6和定理7。

定理6设E(t)是定义在[0,T]上的一个非负连续函数，k(t)为正连续函数，同时0<α<1，且满足不等式

2.5 对常数c、M以及积分号内E(t)乘以一个正连续函数来改进

同时改变定理5中不等式（7）的c、M条件，利用分离变量的方法找到合适的积分因子，也能够找到一个E(t)的控制函数，从而得到定理8。

定理8设E(t)是定义在[0,T]上的一个非负连续函数，k(t)、c(t)、M(t)为正连续函数，且满足不等式

同时对上式两边t积分，得

由条件可知E(t)≤cI(t)+M，则不等式可转化为

3 结束语

通过对经典Gronwall不等式诸多条件运行推广来得到了更为一般性的结论，同时由条件给出的函数和积分的不等式关系，结合分离变量和积分求解等方法得到函数E(t)的控制函数，并对E(t)值大小进行了上限估计。