关于正项级数几个习题的联系与推广

陈 庆， 华梦霞

(南阳师范学院 数学与统计学院，河南 南阳 473061)

做好习题是使学生了解数学思想方法和精神实质的有效途径之一.在教学中若能引导学生发现不同习题之间的联系，进而联系不同章节之间的学习内容，将有助于进一步加深学生对知识的理解，培养其发散思维.本文将对数项级数的两个习题进行联系，同时给出其在无穷积分情况下的表现形式.

文献[1]第169页例3.2.1，文献[2]第26页总练习题分别给出了如下习题：

命题1{an}单调递减趋于0, 则

证明:“⟸” 即为习题1.

若仅知{an}单调递减，不知{an}是否收敛于0，可将命题1结论改写为如下形式.

命题2{an}单调递减，则以下论述等价:

(2)⟹(1) 由{an}单调递减，得{a1-an}单调递增.

数项级数和无穷积分之间存在着密切的联系，利用一般测度的积分，许多时候可将积分与级数统一处理[3-5]. 因此在数项级数、无穷积分中有许多相联系、相对应的知识模块或结论. 这在习题中往往也有体现.在教学中，如果能有意识地加强此方面的引导，将有助于学生理解数项级数和无穷积分之间的联系，同时为更好地学习实变函数、泛函分析等后继课程，从不同课程知识更深地理解部分习题打下基础[6].

如文献[7]第282页有如下习题：

显然习题2与习题3极为相似， 在教学中，可以引导学生思考：既然习题2与习题3关系密切，那么在处理无穷积分敛散性时，能否得到与命题1、命题2类似的结果，并适时地向学生介绍如下结果.

于是对∀N>u，

命题4f(x)在[a,+∞)上单调递减，则以下论述等价:

(2)⟹(1)f(x)在[a,+∞)上单调递减，∃M>0,当u>a+1时，

即

所以

又x∈[a,a+1]，有f(x)≥f(a+1)，从而