非线性不确定微分系统的期望稳定性

陶娜娜, 刘 扬， 王 婷

(1.开封大学 信息工程学院,河南 开封 475004； 2.中国化学工程第十一建设有限公司 仪电公司,河南 开封 475004； 3.南阳师范学院 数学与统计学院，河南 南阳 473061)

0 引言

在实际生活中,非确定性的情况我们经常能遇见,例如我们经常使用的电灯泡,它们的寿命就很难精准的预知，还有市场中物品的收益情况、新出现的股票价格变动情况等.很多情况下,系统中的不确定因素不能用模糊性也不能用随机性来描述.这个时候,我们不得不邀请此领域的专家对各种事件发生的可能性进行评估.不确定性理论就是为了描述这类不确定现象,该理论是由清华大学的刘宝碇[1]教授于2007年提出的一种处理主观非确定性的公理化体系,且已经成为一门公理化的数学分支.不确定分布是研究不确定变量的一个重要工具,文献[2]推导出了一个有关不确定分布的充分必要条件,为了模拟不确定现象的变化,LIU[3]提出了不确定过程的概念.随着研究的深入,不确定理论越来越完善[3-5].

2010年,CHEN等[6]研究了不确定微分方程具有唯一解的充分条件.紧接着,GAO[7]在更弱的条件下给出了存在唯一性定理.而TAO等[8]于2015年研究了不确定微分方程的吸引性和判定方法并扩充了稳定性理论. 2016年,TAO等[9]研究了不确定微分系统依乐观值吸引性.随着应用的广泛,不确定微分方程也得到了越来越深入的研究[10-13].

本文中,我们主要研究三类非线性不确定微分系统的依期望稳定性,并给出判定条件和证明过程.

1 预备知识

定理1[1]令(Γ,L)是可测集，L是Γ的σ-代数，称Λ∈L为一个事件，用M(Λ)来表示相信一个事件Λ会发生的信度.若M满足以下几条公理:

(1)(正规性)M(Γ)=1；

(2)(自对偶性)对任意事件Λ，有M(Λ)+M(Λc)=1；

则称M为不确定测度，并且称(Γ,L,M)为一个不确定空间.

不确定变量用来描述非确定现象[3]，我们下面先看一下它的概念．

定义1[3]不确定变量是从不确定空间(Γ,L,M)到实数集R的一个可测函数，也就是说，对于任意R中的Borel集B，集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}是一个事件.

定义2[3]设ξ为一个不确定变量，则ξ的期望值可以定义为

假设两个积分中有一个是有限的.

文献[4]定义了一种特殊的不确定过程，该过程的增量服从正态分布，并且还满足稳态和独立性，下面先列出了它的具体定义.

定义3[4]假设不确定过程Ct满足下面三个条件：

(1)C0=0，并且几乎所有的轨道Lipschitz连续；

(2)Ct具有独立稳态增量；

(3)对于时间t，增量Cs+t-Cs是一个具有期望值为 0 和方差为t2的正态不确定变量，其不确定分布是

则称不确定过程Ct为典范过程.

2008年，不确定微分方程首次在文献[3]中被定义出来.

定义4[3]设Ct是一个典范过程，f和g是两个给定的函数，Xt是一个未知的不确定过程，则称方程

dXt=f(Xt,t)dt+g(Xt,t)dCt

(1)

是由典范过程驱动的，并且满足该方程的解也是不确定过程.

定义5[11]假设Xt和Yt是不确定微分系统(1)分别以X0和Y0为初始值的两个解. 对任意ε>0，如果有

则称不确定微分方程(1)是依期望稳定的.

定理2[10]设Ct是不确定空间(Γ,L,M)上的一个典范过程，则对于每一个γ，存在一个不确定变量K，满足K(γ)是Ct(γ)的一个Lipschitz约束且

定理3[1]设ξ为一个不确定变量，那么对任给的t>0,p>0，有

2 不确定微分系统的期望稳定性

定理4如果函数f满足Lipschitz条件

|f(t,x)-f(t,y)|≤L(t)|x-y|, ∀x,y∈R,t≥0,

其中，L(t)是[0,+∞)上的有界可积函数，那么非线性不确定微分系统dXt=f(t,Xt)dt+σtdCt是依期望稳定的.

证明：假设Xt和Yt是微分系统dXt=f(t,Xt)dt+σtdCt的分别以X0和Y0为初始值的两个解，则对每一个γ，有

d|Xt(γ)-Yt(γ)|≤|f(t,Xt(γ))-f(t,Yt(γ))|dt≤L(t)|Xt(γ)-Yt(γ)|dt.

我们容易得出

例1假设非线性微分系统为

dXt=e-tcosXtdt+t2dCt.

易知f(t,x)=e-tcosx，满足Lipschitz条件，且

|f(t,x)-f(t,y)|≤e-t|x-y|, ∀x,y∈R,t≥0，

则非线性不确定微分系统满足定理4的条件，所以dXt=e-tcosXtdt+t2dCt是依期望稳定的.

定理5如果函数g满足Lipschitz条件，

|g(t,x)-g(t,y)|≤L(t)|x-y|, ∀x,y∈R,t≥0,

证明：不妨设Xt和Yt是该非线性不确定微分方程的分别以X0和Y0为初始值的两个解，则对每一个γ，有

d|Xt(γ)-Yt(γ)|=|g(t,Xt(γ))-g(t,Yt(γ))dCt|≤K(γ)L(t)|Xt(γ)-Yt(γ)|dt.

其中，K(γ)是样本轨道Ct(γ)的Lipschitz约束.我们容易得出

因为当|X0-Y0|→0,

E[|Xt(γ)-Yt(γ)|]→0,

所以非线性不确定微分系统dXt=σtdt+g(t,Xt)dCt是依期望稳定的.

例2考虑下面的不确定微分系统的期望稳定性：

|g(t,x)-g(t,y)|≤e-2t|x-y|, ∀x,y∈R,t≥0.

|f(t,x)-f(t,y)|≤L(t)|x-y|, ∀x,y∈R,t≥0,

其中,L(t)是[0,+∞)上的有界可积函数，那么非线性不确定微分系统dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt是依期望稳定的.

于是，可以得到

d(UtXt)=XtdUt+UtdXt=-XtUtσtdCt+Utf(t,Xt)dt+UtσtXtdCt=Utf(t,Xt)dt.

的解.

我们令Xt和Yt是非线性不确定微分系统的分别以X0和Y0为初始值的两个解，则有

和

对每一个γ，由Gronwall不等式，容易得出

于是，我们能得出

其中，K(γ)是样本轨道Ct(γ)的Lipschitz约束.那么

例3分析下列不确定微分系统

显然f(t,x)=e-tcosx满足Lipschitz条件，且

|f(t,x)-f(t,y)|≤e-t|x-y|, ∀x,y∈R,t≥0.

推论1如果不确定微分系统dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt是依期望稳定的，那么该微分系统是依测度稳定的.

证明：假设Xt,Yt是分别以X0,Y0为初始值的不确定微分系统dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt的两个解，则由不确定微分系统依期望稳定的定义5得出

则对任给的ε>0,我们由Markov不等式容易得出

所以不确定微分系统dXt=f(t,Xt)dt+σtXtdCt是依测度稳定的.

3 结语

文章研究了三类非线性不确定微分系统的依期望稳定性,给出了判定条件,丰富了不确定理论的内容,并为以后研究非线性不确定微分系统几乎必然稳定和依分布稳定提供依据.