基于联系数集对势置信区间估计的旱灾风险分析模型

周戎星，金菊良，崔 毅，周亮广，周玉良，白 夏，张宇亮

(1.合肥工业大学土木与水利工程学院, 安徽 合肥 230009;2.合肥工业大学水资源与环境系统工程研究所, 安徽 合肥 230009)

集对分析是用于研究两个集合间确定性与不确定性关系的系统数学理论，已在众多领域得到广泛应用[1-4]。联系数集对势的概念在联系数的基础上提出，用来反映联系数同一度a、差异度b和对立度c间的差别[5]，其实质是对联系数所表达的研究对象确定性整体发展趋势的描述。对于三元联系数，赵克勤[5]提出用a/c构造集对势，但存在未考虑差异度的影响、对立度不能等于0，且当对立度趋近于0时计算结果失真等问题。为此，周家红等[6]考虑了差异度在极端取值条件下对集对势的影响，提出将所有差异度转化为对立度的悲观势和同一度的乐观势；为解决对立度不能等于0的问题，李德顺[7]和潘争伟等[8-9]借助指数函数改进传统集对势，分别提出了广义集对势和集对指数势；金菊良等[10]和Chen等[11-12]提出将差异度按差异度系数的比率取值法进行分配，分别构造了三元联系数的减法集对势和五元联系数的减法集对势，根据联系数值确定集对势序(集对势之间大小关系的次序)；金菊良等[13]又借鉴万有引力定律重新分配不确定项，提出了引力减法集对势，并根据偏联系数的思想，进一步构造了半偏减法集对势[14-15]。分析发现，现有的研究在构造集对势时，或未考虑不确定项bI(I为差异度系数)对集对势的影响，或着力于如何合理地把差异度分配到同一度和对立度中，得到确定性的总体发展趋势，却忽略了联系数能同时反映研究对象确定性和不确定性的优点。为此，本文在已有联系数和集对势理论研究的基础上，提出将集对势看作一个服从正态分布的随机变量，根据差异度系数的变化特性和三元联系数的集对系统结构[16]，提出该随机变量概率分布的估计方法，进一步构建基于联系数集对势置信区间估计的旱灾风险分析模型，并以宿州市为研究区域进行实例验证。

1 模型构建

1.1 集对势概率分布参数的估计

三元联系数的一般表达形式为

u=a+bI+cJ

(1)

其中a+b+c=1a,b,c∈[0,1]I∈[-1,1]

式中J为对立度系数，一般取J=-1。为计算该联系数对应的研究对象的相对确定状态和发展趋势，金菊良等[10]提出根据比率取值法把不确定项按比例分配到确定的同一项和对立项中，得到减法集对势s1(u)：

s1(u)=a-c+ba-bc=(a-c)(1+b)

(2)

考虑减法集对势的不确定项b2I，将s1(u)变化为

s2(u) = (a-c) (1+b) +b2I

(3)

若基于乐观势[6]将不确定项b2I全部分配到同一项中，即取I= 1，可得到s2(u)的最大值：

s2max(u) = (a-c) (1+b) +b2

(4)

若基于悲观势[6]将不确定项b2I全部分配到对立项，即取I=-1，可得到s2(u)的最小值：

s2min(u) = (a-c)(1+b) -b2

(5)

根据中心极限定理[17-18]，如果一个事物受到多种因素的影响，无论各因素本身是什么分布，它们总和结果的平均值符合正态分布。联系数所描述研究对象的发展趋势通常受多种因素影响，而联系数集对势正是描述研究对象发展趋势的随机变量，为此，本文将集对势看成是一个服从正态分布的随机变量X。若已知X的数学期望x和标准差σ，可得到该随机变量的概率分布。根据正态分布的“3σ原则”，随机变量X落在区间(x-3σ,x+3σ)外的概率小于0.3%，在实际问题中可视为基本不会发生，因此可以把(x-3σ,x+3σ)看作是随机变量X实际可能的取值区间[19]。因此可得：

x-3σ= (a-c)(1+b)-b2

(6)

x+3σ=(a-c)(1+b)+b2

(7)

联立式(6) (7)可得：

x= (a-c)(1+b)

(8)

σ=b2/3

(9)

据此，可将三元联系数u的集对势视作服从数学期望为(a-c)(1+b)、标准差为b2/3的正态分布的随机变量，可通过随机模拟估计一定置信水平下的置信区间。

1.2 旱灾动态风险分析模型构建

将该方法应用于旱灾风险的动态分析中，建立基于联系数集对势置信区间估计的旱灾风险动态分析模型，建模过程主要包括以下5个步骤：

a.指标体系的建立和评价等级的划分。根据自然灾害风险系统理论，建立旱灾风险系统的子系统，根据指标选取的原则，结合文献调研、实际调研和专家意见，建立旱灾风险评价的指标体系Xj(j=1, 2, …,n)和对应的等级标准，相应的样本集记为{xij|i= 1, 2, …,m;j= 1, 2, …,n}，其中m、n分别为评价样本数和评价指标数。

b.建立评价指标值xij和评价标准等级间的联系数uij[20]：

uij=aij+bijI+cijJ

(10)

式中aij、bij、cij分别为联系数uij的同一度、差异度和对立度。aij越接近1，说明该指标值xij对应的旱灾风险越小；cij越接近1，说明该指标值xij对应的旱灾风险越大。

c.对uij加权可得评价样本i的联系数ui[20]：

(11)

式中：ai、bi、ci分别为联系数ui的同一度、差异度和对立度；wj为指标j的权重。类似的，ai越接近1，说明样本i对应的旱灾风险越小；ci越接近1，说明该样本i对应的旱灾风险越大。

d.确定指标值xij和评价样本i联系数集对势的置信区间。本模型采用95%置信水平下的置信区间(以下称95%置信区间)作为评价结果。将样本i联系数集对势记为si，si～ N[(ai-ci) (1 +bi),bi4/9]，对si随机模拟104次，得到95%置信区间，记为(s1i,s2i)。类似地，可得指标值xij联系数集对势的置信区间(s1ij,s2ij)。根据均分原则，可以将集对势s划分为5个势级[10]：反势s∈[-1, -0.6)，偏反势s∈[-0.6, -0.2)，均势s∈[-0.2,0.2]，偏同势s∈(0.2,0.6]，同势s∈(0.6,1]。当某指标值的集对势处于反势或偏反势时，可将该指标识别为系统脆弱性指标，作为旱灾风险调控的主要对象[10]。

e.计算评价样本i的评价等级区间。根据级别特征值法[21-22]计算得到评价等级h(本文中h取值范围为[1,3])和集对势s的对应关系(h=1时，s=1；h=1.5时，s=0.75；h=2.5时，s= -0.75；h=3时，s=-1)，h值越大，表示旱灾风险程度越高。当h∈[1,1.5]时，表示旱灾风险处于微险状态；当h∈(1.5,2.5)时，表示旱灾风险处于轻险状态；当h∈[2.5,3]时，表示旱灾风险处于重险状态。利用线性内插法，建立集对势和评价等级的关系[22]：

(12)

根据式(12)可得样本i评价等级的95%置信区间(h1i,h2i)，该置信区间的长度可以反映评价结果不确定性的大小，区间长度越小，不确定性越小。

2 实例验证

宿州市位于安徽省淮北地区，受季风性气候影响，降水在时间上分布不均，导致干旱频发。根据对宿州市1957—2010年5个气象站点的统计资料分析发现，宿州市短期干旱、中期干旱、秋冬连旱的概率在63.0%～81.5%之间，干旱发生频率较高[23]。作为安徽省冬小麦的主产区，频发的干旱灾害严重威胁着粮食安全，有必要对宿州市的旱灾风险开展研究。本文选择宿州市作为研究区域，通过集对势的置信区间估计方法对旱灾风险进行动态评估，分析具体指标与旱灾风险等级之间的联系，进而识别旱灾风险脆弱性指标，以期为区域旱灾风险评估和诊断提供新的有效途径，通过将研究结果与现有结果对比，验证本文提出方法的合理性和有效性。

2.1 评价指标体系的确定和评价等级的划分

根据自然灾害风险系统理论，将旱灾风险系统分为危险性、暴露性、灾损敏感性和抗旱能力4个子系统，根据指标选取的原则，结合文献调研、实际调研和专家意见，建立宿州市旱灾风险评价的指标体系如图1所示，并确定各指标评价等级标准[20,24]。采用基于遗传算法的模糊层次分析法(AGA-FAHP)确定各指标权重(图1括号中的数值)[20]。

图1 宿州市旱灾风险评价指标体系Fig.1 Drought risk evaluation index system for Suzhou City

2.2 结果与讨论

利用基于联系数集对势置信区间估计的旱灾风险分析模型计算宿州市2007—2017年每个样本年对应的联系数集对势的数学期望和95%置信区间(表1)，根据式(12)计算得到宿州市2007—2017年旱灾风险评价等级的95%置信区间(图2)。

表1 宿州市2007—2017年旱灾风险评估样本联系数集对势数学期望及95%置信区间Table 1 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level for connection number set pair potential of drought risk assessment samples in Suzhou City from 2007 to 2017

图2 宿州市旱灾风险评价等级数学期望和95%置信区间Fig.2 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level of drought risk evaluation grade in Suzhou City

由图2和表1可以看出，宿州市2007—2017年旱灾风险评价等级值总体变化不大，在1.9～2.3之间波动，除少数年份95%置信区间的下限值小于2，其余均大于2，总体处于轻险状态。其中，2010年宿州市旱灾风险评价等级值最大，2016年风险评价等级值最小；2007—2017年，每年的置信区间长度均小于0.15，可见评价结果的精度较高。与文献[20]的计算结果相比，一方面，文献[20]的评价结果包含在本文得到的置信区间内，且置信区间长度较小，验证了文献[20]中减法集对势、半偏减法集对势的计算结果，说明本文的方法具有较高的可靠性；另一方面，本文得到的评价结果是一置信概率区间，相较于某一确定数值的评价结果，提供了关于评价结果可靠性方面的更多信息，可以反映受多种不确定因素综合影响的旱灾风险评价的实际情况。

为进一步分析导致宿州市旱灾风险变化的原因，对宿州市旱灾风险评价系统中4个子系统的评价结果和各指标联系数集对势的置信区间进行分析。各子系统旱灾风险评价等级的数学期望和95%置信区间如图3所示，图中实线表示各子系统旱灾风险评价等级的数学期望，相同颜色的虚线表示该子系统评价等级95%置信区间的边界值。

图3 各子系统旱灾风险评价等级数学期望和95%置信区间Fig.3 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level of drought risk evaluation grade of each subsystem

由图3可以看出，2007—2017年宿州市旱灾风险评价的4个子系统中，评价等级值变化最大的是危险性子系统，呈现先上升后下降的变化趋势；暴露性子系统评价等级值呈逐年下降的趋势，从2007年的2.282～2.496下降到2017年的1.892～2.077；灾损敏感性子系统和抗旱能力子系统评价等级值波动较小，相对较为平稳，其中抗旱能力子系统评价等级值基本在2.2～2.5之间波动，抗旱能力较差；灾损敏感性子系统评价等级值基本处于1.6～1.7之间，评价结果稳定，其风险程度在4个子系统中最低。

对比图2宿州市旱灾风险评价等级曲线和图3中危险性子系统旱灾风险评价等级曲线发现，宿州市旱灾风险评价等级的变化趋势与危险性子系统的评价等级变化趋势基本一致，但变化幅度较小，可以推断危险性子系统是宿州市旱灾风险波动的主要原因，其余3个子系统则一定程度上减小了宿州市旱灾风险评价等级的波动幅度。例如，2010年危险性子系统的评价等级值达到峰值，而其他3个子系统的评价等级值相对上一年变化均较为平缓，可见危险性子系统的评价等级值突然增大是导致2010年宿州市旱灾风险评价等级较高的主要原因；2007—2010年危险性子系统评价等级值逐年上升且变幅较大，而宿州市旱灾风险评价等级值虽也逐年上升但幅度明显较小，与此同时暴露性子系统评价等级值逐年下降，这在一定程度上减小了宿州市旱灾风险评价等级的上升幅度。

要厘清各子系统的变化原因，还需进一步对各指标进行分析，进而识别旱灾风险系统的脆弱性指标，提出有针对性的旱灾风险管理对策。图4中实线表示各指标联系数集对势的数学期望，相同颜色的虚线表示该指标联系数集对势95%置信区间的边界值。从图4(a)可以看出危险性子系统的6个指标中，除降雨负距平百分率联系数集对势大部分处于同势外，其余5个指标联系数集对势大部分时间均处于反势，尤其是相对湿润度指数、土壤相对湿度和土壤类型联系数集对势在2007—2017年均处于反势。分析发现，这些指标主要决定于水文气象条件或本身的自然条件，可见，宿州市干旱灾害危险性较大，且较难人为降低。

(a) 危险性子系统

(b) 暴露性子系统

(c) 灾损敏感性子系统

(d) 抗旱能力子系统图4 各指标联系数集对势数学期望值和95%置信区间Fig.4 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level of connection number set pair potential for each index

由图4(b)可以看出暴露性子系统的4个指标中，宿州市人口密度联系数集对势在2007年处于均势和偏反势之间，到2017年已经完全处于偏反势，总体呈下降趋势；耕地率联系数集对势变化不大，一直处于反势；复种指数联系数集对势在2007—2013年一直处于反势，2014年突变为同势；农业GDP占比联系数集对势在2007—2017年稳步上升，从介于反势和偏反势之间上升为同势。由此可见，暴露性子系统旱灾风险评价等级值逐年降低主要受农业GDP占比影响，而2013—2014年出现较大幅度下降则是由于复种指数的改变。

由图4(c)可以看出灾损敏感性子系统中水田面积比、万元GDP用水量和森林覆盖率这3个指标联系数集对势一直处于同势，而农业人口比例联系数集对势却一直处于反势，因此要想进一步降低灾损敏感性，就必须从减小农业人口比例着手，例如通过提高农业机械化水平，发展第二、三产业等方法来达到减小农业人口比例的目的。

由图4(d)可以看出在抗旱能力子系统中水库调蓄率、单位面积现状供水能力、灌溉指数、单位面积应急浇水能力联系数集对势均一直处于偏反势或反势；节水灌溉率联系数集对势虽在前几年处于偏同势和均势之间，但2012后也下降为反势，这些都是宿州市抗旱能力总体表现较差的原因。监测预警能力虽自2012年起有较大改善，但在抗旱能力子系统中未能体现，分析原因可能是因为监测预警能力权重较小。相对其他几个子系统，抗旱能力子系统的指标最易调控，因此，要降低宿州市旱灾风险，最便捷的方法就是提高宿州市抗旱能力，结合宿州市抗旱能力现状，可以采取修建水库、增加水库调蓄率、兴建灌溉系统、发展节水灌溉、加大水利建设投入等方法来提高宿州市抗旱能力。

3 结 语

本文提出将联系数集对势构造为服从期望为(a-c) (1+b)、标准差为b2/3的正态分布的随机变量，建立了基于联系数集对势置信区间估计的旱灾风险分析模型，采用95%置信区间作为评价结果，以置信区间的长短反映评价结果不确定性大小。以宿州市为例对该模型进行验证，模型分析结果表明，2007—2017年宿州市旱灾风险评价等级值总体变化不大，在1.9～2.3之间波动，总体处于轻险状态；4个子系统中，对宿州市旱灾风险评价等级影响较大的是危险性子系统和暴露性子系统；宿州市抗旱能力较差，有必要通过采取修建水库、增加水库调蓄率、兴建灌溉系统、发展节水灌溉、加大水利建设投入等方法来提高宿州市抗旱能力，进而降低旱灾风险。该结果与已有研究结果相一致，说明基于联系数集对势置信区间估计的旱灾风险分析模型合理有效。与已有研究相比，本文模型评价结果不再是一个数值，而是一置信概率区间，提供了关于评价结果可靠性方面的信息，能够反映受多种不确定因素综合影响下的旱灾风险实际情况，在复杂系统动态分析评价中具有应用前景。。