中国古代数学教材研究

赵颖霞，吴洪成

（1.保定学院 经济管理学院，河北 保定 071000；2.河北大学 教育学院，河北 保定 071002）

中国古代数学学科极其发达，“从前3世纪至14世纪初居于世界先进水平1 700余年，属当时世界数学发展的主流”[1]3，因之，数学教材的编纂也卓有成就。汉代的太学和书馆、乡塾等中央和地方官学已将《九章算术》作为了数学教育的教材，《九章算术》这部中国古代数学著作，自汉代至清代中叶，其间近两千年，都是中国古代数学教育的核心教材；魏晋南北朝时期，除《九章算术》外，《海岛算经》《缀术》《五经算术》数学教材编纂完成；唐宋时期，历史上著名的《算经十书》得以产生，成为此后一千多年被广泛使用的教材；明清时期，数学著作和教材，如比较具代表性的《几何原本》和《数理精蕴》则在吸收中国传统数学教育成果的同时也借鉴了国外的数学元素。

一、中国古代数学教材的历史嬗变

（一）中国古代数学教材的编纂始于秦汉时期成书的《九章算术》

汉代在“罢黜百家，独尊儒术”背景下构建的学校制度，包括中央官学、地方官学及私学。学校课程教学尽管突出儒学经典及伦理纲常，但并非排斥数理科技的知识内容，《九章算术》就体现了秦汉时期数学教育的进步和成就。《九章算术》是汉代数学教育的主要教材，成书年代大约在公元前1世纪，经过西汉早期丞相张苍（约公元前200年）和后期大司农中丞耿寿昌（约公元前50年）的整理，大体成为定本。三国曹魏时数学家刘徽在《九章算术注》的序言中曾讲：“周公制礼有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉张苍、耿寿昌皆善算，因旧文删补，故校其目，与古或异，而所论多近语。”[2]可见，《九章算术》是在《周礼》“九数”的基础上发展起来的，在东周列国时已经成书，经过秦火后，已经残缺不全，后经张苍、耿寿昌等整理、补充，遂成定稿，即《九章算术》[3]23。该书总结了秦汉的主要数学成就，也记录了秦汉社会经济活动中数学的广泛应用。《九章算术》共9章246个例题，内容大致包括土地田亩、粮食交换比例、等差和等比数列、开平方与开立方、各种土木工程体积、纳税和运输、盈亏、线性方程式、勾股定理等。

（二）魏晋南北朝数学教材编纂的显著发展

魏晋南北朝教育体制的一个重要特点是冲破了“独尊儒术”的藩篱，先后涌现了史学、文学、律学、书学、医学、数学、玄学、道学等专科教育，形成了多学科并存的教育格局。数学专科教育从形式、规模及体制上均不够成熟或完善，但其科技教育的意义十分突出，由此促进了数学学科的研究及教材的编纂。这一时期不仅《九章算术》，记述勾股定理及其在测量上应用的《周髀算经》都成了官学数学教育的主要教材。而且除了《九章算术》《周髀算经》之外，还有几部数学著作也是在魏晋南北朝时期成书，虽然魏晋南北朝时期这些著作是否作为数学教材使用尚缺乏明确记载，但为后来数学教育发展和学校教材的选用奠定了基础。

《海岛算经》，魏晋时期刘徽撰，初名《重差》，附于《九章算术注》。《重差》1卷9题，记古时测望之术，因第一题以海岛立表设问测量高远，唐朝时遂改称《海岛算经》，独立成书，列为数学教材《算经十书》中的一部。《海岛算经》以应用问题集为体例，用垂直关系连接起来的测竿与横棒，通过两次或多次测量所得数据，推算物体的高度和距离。

《缀术》，南齐祖冲之撰。祖冲之是一位伟大的数学家、科学家。早年便以博学著称，其最大的贡献就是将圆周率计算为3.141 592 6与3.141 592 7之间。《缀术》主要记载观察与计算天象历法的算法，唐朝时被收录于《算经十书》，成为官学数学教材。

《五经算术》，北周甄鸾撰。甄鸾对《易》《诗》《书》《周礼》《仪礼》《左传》《论语》等儒家经典中有关数学知识、计算方法的原文加以注释、解读，编纂成独立的数学著作。全书共四十条数学解释，在隋唐以后被列为官学数学教材。

上述数学著作彰显了魏晋南北朝数学教育的成就，这些著作大多在唐代被纳入《算经十书》，成为唐代及之后中国传统数学教育的重要教材。

（三）隋唐数学教材的系统化

在隋唐时期，数学教育已具规模，数学教材编纂逐渐系统化。隋唐数学教材编纂成就突出的应推《算经十书》，该书由唐代数学家李淳风等注释、编定，包括《九章算经》9卷、《海岛算经》1卷、《孙子算经》3卷、《五曹算经》5卷、《张丘建算经》3卷、《夏侯阳算经》3卷、《周髀算经》2卷、《五经算术》2卷、《缀术》5卷、《三等数》1卷、《数术纪遗》1卷、《缉古算经》4卷。唐高宗时令国子监算学等官学教育机构教学中采用，这是我国历史上第一次由皇帝下令颁行的数学教材。这套系列教材虽然并非完全唐代原创，但最终成书于唐代，是自西周以来1 600年左右的长期探索、积累而成的数理知识及技能的集大成者，是唐代经济实力强大和科技成就辉煌的综合反映。隋唐时期，各册教材之间的衔接以及数学知识内容逻辑体系尚不严密、清晰，唐代数学家经过加工、整理，使之便于数学课程的教学及实践，是数学教育史上的一大贡献。

（四）宋代数学教材在隋唐基础上的进一步完善

宋代是我国古代教育成熟发展的时期。数学教材的编纂继承了唐代传统，以《九章算经》《周髀算经》《海岛算经》《孙子算经》《五曹算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》等为主。除此之外，宋代数学家杨辉编纂的《习算纲目》可称为这一时期数学教材的突出成就，“是世界上已知的、现存的最早的数学教学大纲和教学法指导书，堪称古代的数学教育学”[3]99。《习算纲目》作为凝练杨辉数学教育思想的一本数学教学大纲，主要有几个方面的特点：第一，完善的数学知识体系。由“九九合数”开始，将加减乘除四种算术运算以及开方等运算组成一个完整有序的知识体系。第二，可行的学习进度日程。不仅安排了各个学习阶段的“温习”项目，还在每一学习课题中都明确标有时间进度，甚至温习项目也有日常进度。第三，明确规定的教材。以《五曹算经》《应用算法》《详解九章算法》作为基本教材。第四，精辟的教材层次分析。呈现数学知识内容的纲要，对教学内容作了教学法分析，学习方法指导，提出学习数学要循序渐进、熟思、熟读、精思。第五，加强计算能力提升，重视培养学生一丝不苟的学习态度。由此可见，“《习算纲目》是古代数学教育的一份不可多得的数学课程指导教科书”[4]，它对现代中小学的数学教育仍具有一定的指导意义。

（五）明清（鸦片战争之前）数学教材吸收国外数学文化元素

明清（鸦片战争之前）作为封建社会最后的专制统治王朝，也是中国社会近代化转型的前夕，以明代徐光启、李之藻和清代梅瑴成等为代表的一批数学家开始对古代传统科学遗产进行总结性的研究，并在明清之际第一次西学东渐过程中，顺应历史潮流，努力将眼光投向古希腊、中世纪大学和近代人文主义教育的科学成就，从中吸取先进的、与我国传统科学成果相补充的因素。如古希腊数学家欧几里得撰写的数学专著《几何原本》，明代时由利玛窦口译、徐光启笔录将其前六卷翻译刊刻，成为了重要的数学教材。清代数学家梅瑴成、陈厚耀、何国宗等人奉康熙帝玄烨之命编纂的《数理精蕴》，是我国古代著名的数学百科全书，成书之后即为清代的数学教材，《数理精蕴》既传承了中国传统数学教育成果，也吸收了西方数学教育内容。

二、中国古代数学教材举要

中国古代数学教育的发达使数学教材的编纂也很有成就。自汉代就被广泛应用于数学教育实践的《九章算术》最具代表性，唐代整理而成的《算经十书》、明清时期编纂的《几何原本》《数理精蕴》均是中国古代重要的数学教材。深入研究与分析典型教材，可以说是审视中国古代数学教育和教材的重要视角。

（一）《九章算术》的内容及编纂体例

《九章算术》是中国古代最具代表性和使用时间最久的数学教材。“从汉代至清代中叶，其间近2 000年，都采用《九章算术》作为教科书，培育了一代又一代的数学教育工作者和数学大家。祖冲之、王孝通、李淳风、贾宪、杨辉、秦九韶、朱世杰、吴敬、程大位、梅文鼎、戴震、梅瑴成、阮元等，都受到了《九章算术》的启迪，他们的著作大都是采取《九章算术》应用问题集的形式，展示各自的创造成果，形成了中国独具特色的数学教育传统”[3]25。

1.《九章算术》的内容

《九章算术》是《算经十书》中最重要也是流传下来最早的一部综合性数学教材。中国古代数学专著都是在不断总结生活实践经验基础上而成的，《九章算术》也不例外，其内容集中体现了数学知识在生产生活实践中的应用。如《九章算术》的内容极为丰富，按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，这些内容主要关乎农业生产中极具应用价值的数学知识。“方田”是指土地形状，涉及各种形状地亩面积的计算，包括计算各种形状面积的公式及分数四则运算法则；“粟米”指谷物品种，主要阐释各种谷物交换的比例算法；“衰分”指分配比例，涉及比例分配算法；“少广”指边长问题，包括面积与体积的运算，提出了世界上最早的开平方与开立方运算方法；“商功”为工程计算，涉及各种体积公式和土方工程工作量的分配算法；“均输”意为平均输送，包括人口多少、路途远近、谷物价格和赋税负担的运算方法；“盈不足”是盈不足术的代称，涉及盈亏类问题的算法；“方程”指方程术，涉及当今数学中的线性方程组解法等；“勾股”指直角三角形，涉及直角三角形的理论。

另外，在实践应用的基础上，《九章算术》含有近百条十分抽象的术文，即公式、解法以及246道例题。其中比例和比例分配、盈不足、开方等算法及分数理论、线性方程组解法、正负数加减法则、解勾股形方法等都超前其他文化传统几百年甚至千余年，是具有世界意义的重大成就[1]5。

2.《九章算术》的编纂体例

《九章算术》采用了以应用问题集的形式加以组织，按照问题的性质进行大的分类，形成章节，每一类为一章节。再依照问题的解法（《九章算术》中称为“术”）进行具体分类，形成每一章节的多个小类。每一小类都有解题步骤，包括数学公式、推理等。这种结构体系，是以算法为中心，根据算法组建理论体系。依此编纂体例，《九章算术》全书246个问题被分为九类，每一类为一章，全书共九章。每一类问题的解析通过例题、答案和术来演示，依照术的不同，每一章的问题又进一步被分为不同的小类。编纂体例主要有两种，第一，一术解一题的类型，以勾股章的一题为例：“今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问：广几何？答：二尺四寸。术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘减之，其余，开方除之，即广。”[5]410这种类型中术文只适用于该题目，可以说是一术一题，具体的术解析具体的题目，《九章算术》衰分、均输、勾股等章的部分题目采用了此编纂体例。第二，一术解一类题的类型，即一类问题只有唯一术文解析，术文抽象、严谨且具有普适性，而每一题只有题目和答案，不再有术文，如《九章算术》方田一章：“今有田广十五步，纵十六步。问：为田几何？答曰：一亩。又有田广十二步，纵十四步。问：为田几何？答曰：一百六十八步。术曰：广纵步数相乘得积步。”[5]9这种类型，两例题都只有题目和答案，两例题后的术文是对两例题的共同解析。当然这种类型的具体形式还可以多样，除了上面的先题后术的形式，还可以先术后题，一题一答。如《九章算术》商功一章有关“城、垣、堤、沟、堑、渠”面积计算的例题及术文：“术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问：积几何？答曰：一百八十九万七千五百尺。”[5]176也可以先总术后例题，每道例题一题一答再分术。这种编纂形式是先给出抽象的总术，再列举多道例题，但和第二种编纂形式不同之处在于每道例题除题目和答案外还分别都有一条具体术文，阐释总术在本例题中的具体应用方法，如《九章算术》粟米一章的一题：“术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法。今有粟二斗一升，欲为粺米。问：得几何？答曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。”[5]70-71

数学教材的编写紧密结合当时的社会生活实况。《九章算术》生动地记录了汉代社会经济状况，涉及了汉代人日常生活的方方面面，它用一个个数字、一道道例题清晰地解读了汉朝百姓的衣食住行、柴米油盐。例如，“今有人共买琎。人初半，盈四，人出少半，不足三。问：人数、琎价各几何？答曰：四十二人，琎价十七”[5]308，证明汉代已经有了“团购”；“今有人持米出三关，外关三取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三”[5]259，记录了汉代税务计算；而“今有素一匹一丈，价值六百二十五。今有钱五百，问：得素几何？答曰：得素一匹”[5]113，则记录了汉代的物价情况。这一道道例题反映了千百年前的汉代社会生活。

（二）《几何原本》的内容及编纂体例

《几何原本》是欧洲古代一部杰出的几何学教科书，其中归纳了几何学的概念、定义、公理，并以形式逻辑的方法运用定义、公设、公理对相关几何问题、图形进行演绎、推理，形成定理，通过这些定义和公理探讨几何问题，建立起一套数学理论体系。《几何原本》经明代利玛窦口译、徐光启笔录翻译后成为了中国古代数学教育的重要教材。

1.《几何原本》的内容

《几何原本》是代数几何化，内容包括初等几何（点、线、面、圆和球）、初等数论（高等算术）、几何代数等。《几何原本》开篇即给出了23个定义、5个公设和5个公理，然后用这些公理、公设演绎推理证明命题，而每一命题往往就是一个定理。第一章包括48个命题，如命题47：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形的和”[6]24，即著名的勾股定理；第二章包括14个命题，如命题4：“如果任意两分一个线段，则在整个线段上的正方形等于各个小线段上的正方形的和加上由两小线段构成的矩形的二倍。”[6]27这个命题是用几何的语言叙述代数的恒等式；第三章有37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形；第四章有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形；第五章25个命题，主要涉及比例论；第六章共33个命题，主要内容为平面图形研究；第七、八、九三章分别有39、27、36个命题，主要是数论；第十章包含115个命题，主要讨论无理量；第十一章讨论空间的直线与平面的各种关系；第十二章证明“圆面积的比等于直径平方的比”；第十三章着重研究5种正多面体。《几何原本》几乎不涉及计算，也不强调几何的实用性，其数论问题都是通过严格的逻辑证明来具体解决的。

2.《几何原本》的编纂体例

《几何原本》的编纂体例与《九章算术》不同。其内容编排包括两部分，第一部分为数理原理，这一部分包括定义、公设和公理。尤其是第一章，首先给出包括点、线、面等的23个定义，之后阐述了5个公设，其中包括被称为“欧几里得平行公设”的第五公设，公设之后是5个公理，这些是全书所有命题逻辑演绎推理的基础，因此，在第一章后的各章只设定义，不再列出公设和公理。第二部分是命题，每一道命题都相当于一条定理，因此，每一道命题都包含证明过程和推论过程。可见，《几何原本》编纂体例的特点是将逻辑推理进行系统化归纳，形成数学体系中的逻辑演绎系统。这有别于中国传统数学以算为中心，侧重解决实际问题的数学教材内容编排特点。《几何原本》主要是将逻辑推理系统化，数论问题都是通过严格的逻辑推理、证明解决。徐光启对《几何原本》十分推崇，也有深刻的理解，他曾评价到：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材而心思缜密，即中材有用，能通几何之学，缜密甚矣！故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也。”[7]《几何原本》内容包含数学定理、公式，数学原理，都是通过严密的推理、论证、数理演绎证明的，表明数学是一种遵循数学概念—定理—公式—例题—练习程序的教学活动过程。

（三）《数理精蕴》的内容及编纂体例

《数理精蕴》是清代编纂的数学教材。康熙五十二年（1713）设算学馆，至乾隆四年（1739），算学馆隶属国子监，称国子监算学。康熙时钦定《数理精蕴》为算学馆的主要教材，乾隆时则将《数理精蕴》的线、面、体三部分重新编写作为国子监算学的教材。《数理精蕴》在清代流传很广，成为当时数学教育和学习的主要教材和参考书。

1.《数理精蕴》的内容

《数理精蕴》共五十三卷，上编五卷主要阐明数学原理，包括《周髀经解》《算术原本》等；下编四十卷主要介绍实用算术，包括线、面、体等；最后八卷为附表四种。

《数理精蕴》上编五卷“立纲明体”，由《河图》《洛书》及《周髀算经》的部分经文组成，编撰者将它们视作中、西数学的共同起源。其后，则是按欧洲数学几何和算术两类内容的分类法分为《几何原本》和《算法原本》。《数理精蕴》中的《几何原本》是根据清代数学家张诚译自法文的版本修订的，它与徐光启的《几何原本》文字稍有不同。《几何原本》是“数论”，《算法原本》是小学算术的理论基础，它们性质不同。将数学分为《几何原本》和《算法原本》，表明编撰者意在将数学的“体”建构在欧洲数学分类法之上。

《数理精蕴》下编四十卷“分条致用”，主要介绍从17世纪初年以来传入中国的欧洲实用数学，分为首部、线部、面部、体部和末部。首部首列度、量、衡单位及换算法，其后为欧洲笔算定位及四则运算方法、分数及其计算方法和各类比例算法。线部讲解线性运算，如其中卷二至卷七详细讨论各种比例的运算方法，不仅涉及现代数学意义的比例计算法，还包括等比数列和等差数列的求和方法。卷十一至卷二十二为面部，主要讨论与平面图形相关的问题。如卷十一讲开平方及开带纵平方。卷十二、卷十三讲勾股，解决有关直角三角形三边的二次方程应用问题。卷二十三至卷三十为体部，主要解决立体问题。如卷二十三讲开立方，卷二十五讲柱体、棱锥体、棱台体的体积，卷二十六讲圆柱、圆锥、球、截球体、椭圆体的体积。卷三十一至卷四十为末部。卷三十一至卷三十六共六卷为《借根方比例》，介绍当时传入中国的代数学知识。卷三十七为杂题，卷三十八介绍“对数比例”，卷三十九和卷四十为比例规解。另外，《数理精蕴》下编之后的八卷有四种数学用表，即素因数表、对数表、三角函数表和三角函数对数表。

2.《数理精蕴》的编纂体例

《数理精蕴》是对中国传统及欧洲数学知识的总结。虽然以“西学中源”作为纲纪，并收入了一些传统数学内容，但其整体内容基本是按欧洲数学分类法编排的，而且以欧洲数学方法重新阐述部分传统数学内容。该书的体例为：先给出算法和几何学的一般性描述，即“明体”，然后再对具体内容进行详细论述，即“分条致用”。全书内容由浅入深，以线性问题、二次问题和高次问题为脉络，以比例算法为联系，构成了一个知识整体。

三、中国古代数学教材变革的影响因素

中国古代数学教材的变迁是传统教育变迁的缩影，中国传统教育是在封建社会主导教育思想即儒家教育思想影响下变化发展的，中国古代数学教材的变迁也深受儒家“经世致用”思想的浸润。同时，古代的教育制度，尤其科举制度对数学教材也产生了非常重要的影响。此外，明清时期中西文化的交流也促进了中国数学教材的变革。

（一）儒家“经世致用”思想使古代数学教材凸显实用性

“经世致用”是中国传统数学教材编写的指导思想。如汉代奉行“罢黜百家，独尊儒术”的文教政策，使教育呈现了儒学化。儒学讲究“经世致用”，学习知识是为了解决实践问题。在这一思想指导下，数学教育的内容是从社会生产和日常生活的需要中产生并为社会生产和生活服务。中国社会自古就是农业经济社会，农业与手工业生产是社会主要的经济活动，数学教材的内容也相应地以应用于农业生产实践的数学知识为主，如表1所归纳《九章算术》的内容[3]24。

表1 《九章算术》内容

《九章算术》是汉代完成的承前启后的古代数学教科书典范，从表1可见，《九章算术》所涉及的内容主要是社会生产及生活应用领域的数学知识或数学模型，涵盖了土地丈量、粮食分配、赋税缴纳、面积与体积计算、土方工程、谷物运输等社会生产生活各方面的数学应用。《九章算术》奠定了中国古代数学教育和教材的基础，在《九章算术》的基础上，唐代又进一步编纂了《周髀算经》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》等数学教材，这些教材的内容也多反映了当时科技和经济发展对数学知识的迫切需要。如《夏侯阳算经》共3卷，收录83个问题，大多数问题都是来自于社会经济活动，为地方官吏和广大百姓解决经济问题提供适用的数学知识和计算技术，体现了生产生活实践对实用数学的需要。由此可见，中国古代数学教育与教材受儒学“经世致用”思想影响而服务与应用于社会生产生活实践的应用性特征。

（二）科举制度影响古代数学教材的编纂

科举考试制度在隋朝确立之后，不断完善，逐渐成为中国古代教育的指挥棒，科举考试考什么，官学、私学、书院几乎就教什么。数学是具体学科的教育，因而教育制度对其有更为直接的影响，科举考试制度所规定的内容可以说影响了数学教育的形式及教学内容。如唐代的科举制分常科和制科，常科为每年举行的考试，其中就设有明算科。明算科的内容与官学中数学专科教育机构考试一样，分两大专业类：第一个专业考《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《五曹算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《周髀算经》《五经算术》；第二个专业考《缉古算经》《缀术》；二者共同加试《数术记遗》《三等数》。考试以明数造术、详明术理为标准，以问答的形式考核教材的基本内容。如第一个专业选《九章算术》中的任意三题，其他教材各任意一题，共十题进行考试，答对六题以上为及格；第二个专业选《缀术》中的任意七题，《缉古算经》中的任意三题进行考试，答对六题以上为及格。另外，以帖经的形式考《数术记遗》和《三等数》，帖十题对九题为及格。考生问答和帖经都及格就可以及第授官。正因为科举明算科对考试内容和形式如此明确的规定和设置，唐代国子监以及地方官学和私学才严格围绕科举考试组织教学，将科举考试指定的教材进行了统一编纂，完成中国数学教育史上最具代表性，也是最完善的一套教材——《算经十书》。《算经十书》可以说是专门为科举考试量身定做的一套数学教材，既是对之前数学教育成果的总结，也为后来数学教育的发展完善提供了保障。从唐到五代，300多年间一直有明算科举，每年要有若干生徒和乡贡考数学，“后唐天成五年（公元930年），宋延美明算科及第；是年明算五人，而延美为之首。天成五年二月，改元长兴。长兴元年（公元930年）夏四月，国子司业张溥请复国子学八馆，广揽生徒，以兴绝学，而算学居其一”[8]。由此可知，正是通过明算科的科举考试，促进唐代数学教材的普及和发展。而到了明清时期，科举考试逐渐取消了数学应试内容，传统数学教材的编纂也呈现衰微。可见科举制度对数学教育的重视程度对古代数学教材的编纂有重要影响。

（三）民间对数学教育的传承丰富了古代数学教材

古代数学教材编纂的成就除了取决于官方对数学教育的重视与推动，民间对数学教育的传承也丰富和促进了古代数学教材的编纂。比如元代，因为私学数学教育比较盛行，所以涌现出了像朱世杰这样出色的专业数学教育家，美国著名的科学史家G·萨顿称朱世杰“是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”[9]，他所作《四元玉鉴》是中国数学史同时也是整个世界中世纪最杰出的数学著作之一。为了给数学初学者讲授数学知识，朱世杰又专门编著了《算学启蒙》教材，共3卷20门，259个问题。其知识内容大都与当时的社会生活有关。从数学学科分析，从简单的四则运算入手，逐步深入，直到高次开方、天元术等较高深的内容，形成了比较完整的体系，是一部很好的数学启蒙教材。再比如清代，清代私学数学教育比较兴盛，很多数学家、历学家都接受过私学数学教育，也曾私授数学。如“梅文鼎……儿时侍父士昌，及塾师罗王宾，仰观星气，辄了然于次舍运转大意。年二十七，师事竹冠道士倪观湖，受麻孟璇所藏台官交食法”[10]459。梅文鼎学成之后，广授门徒，曾自言，“吾无为此学，竭力最艰苦之后，而后得简易。有从吾游者，坐进此道，而吾一生勤苦，皆为若用矣。吾惟求此理大显，使古绝学不致无传，则死且无憾，不必身擅其名也”[10]465，体现了这位清代数学家为数学教育竭心尽力、义不容辞的精神。正因为梅文鼎致力私学数学教育，才培养了李焕斗、潘天成、刘介锡、李光地等数学人才。另外，乾嘉学派的代表人物戴震在数学教育方面也颇有成就。他一方面赐惠后学，培养了像阮元、焦循、汪莱等很多的数学人才，另一方面，在任《四库全书》天文算法类的分校官时，先后校对编刻了《海岛算经》《五经算术》《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《缉古算经》《数术记遗》等数学著作，并将之合编在一起成为了清代的《算经十书》，通过戴震的努力，中国传统数学在清代又重新受到重视，也为清代数学教育提供了教材。以上可见，古代民间对数学教育的传承也丰富和促进了古代数学教材的编纂。

（四）欧洲数学教材的引入推动了明清时期数学教材的编纂

欧洲数学教材的引入对明清时期数学教材的编纂影响比较突出。明朝的经济政策促进了农业、工商业经济的提升以及对外贸易的推进，尤其是商品经济有所发展，甚至明中叶后产生了资本主义生产方式和资本主义生产关系的萌芽。同时，明朝重视科学技术的作用，涌现了李时珍、宋应星、徐光启等一批著名的科学家。但明代出于加强封建集权专制的需要，特别强调培养忠君的文臣，对官私学中的科学技术教育尤其是数学教育相对漠视。明代国子监不设算学，也不像唐宋时期开设数学专科学校，这导致了明代数学教育的衰微。本国数学教育的衰微反倒促使人们将目光转向国外数学教育。如明代，朝廷命礼部侍郎徐光启督修历法，编译《崇祯历书》。在这过程中，徐光启专门挑选了一批学生一边参加修历工作，一边学习西方天文历法和数学基础知识。1607年以后，徐光启主持编译完成了137卷的《崇祯历书》。这部历书主要介绍了欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础，希腊的几何学、欧洲的三角学和纳皮尔的算筹等也引起了徐光启等人的关注。由此，徐光启主持翻译了代表西方数学发展成就的《几何原本》，这部西方几何学著作就此成为了中国古代数学教材。

通过中国古代数学教育嬗变过程的透视，以及对以《九章算术》和《几何原本》《数理精蕴》为典型的中国古代数学教材内容和编纂体例的分析可知，中国古代数学教材的编纂凸显了一定的特点和成就：一是数学教育是实践教育，数学教材体现实践性和应用性。中国古代数学教育自产生之初就与社会生产生活实践紧密相关，可以说数学知识大多来自于社会活动，也应用于社会实践活动，解决生产生活中的实际问题，具有很明显的实用性特征。无论是汉代的《九章算术》，还是唐代的《算经十书》，可以说都是社会生产生活实践中形成的数学知识的总结，其所呈现和演绎的数学原理与计算方法等主要应用于生产生活实践。数学是一个动态学科，是一种实践教育，数学教育应将理论与实践相结合，从实践中总结理论，依照理论解决实际问题，创新并实施情境化教学模式。二是数学教育也是科学教育，应尊重数学教育规律。以《几何原本》《数理精蕴》为代表的中国传统社会末期的数学教材借鉴了欧洲古代数学成果，强调数学内部的逻辑结构，体现出数学学科知识的抽象性和严密性特征，从某种意义上切中中国传统数学教育的时弊，弥补了传统数学教育的不足，完善了传统数学教育。