浅谈数形结合在小学数学课堂教学中的应用

2023-01-23顾晨

读写算(下) 2022年12期

顾晨

（江苏省昆山高新区吴淞江学校，江苏昆山 215300）

小学时期的学生正处于形象性思维阶段，而数学学科是一门逻辑性很强的学科，具有较强的抽象性特点，这时的学生在数学学习过程中难免会遇到难题。数形结合是连接形象思维与抽象思维的桥梁。运用数形结合的教学方法，可以将抽象的数学关系借助具象的图形进行解读。教师在教学过程中可以应用数形结合方法，将抽象思维和形象思维相结合拓展学生思路，简化数学解题程序，有效降低学生的数学学习难度，让学生更快、更好地理解掌握抽象的数学知识，提高学生数学兴趣，增强学习数学效率。

一、数形结合思想概述

数形结合教学思想是将数学中的数量关系与空间二者结合起来，对其进行考察思考的一种认知学习的思维方式。数学科学中有两个最基本的概念，一是“数”一是“形”，它们二者保持着相对对立而又和谐统一的关系。数学几何图形中往往可以表现出它们的形状、位置和大小之间的数量关系。而这种数量之间的关系，也可以通过几何图案直观、形象地反映。比如，以“圆面积的公式推导”为例，理解较难的公式推导S=πr²，如果借助“数形结合”，将一件件教具摆在学生面前，再辅以现代信息技术的课件演示，将整个圆切分开来，拼成一个近似长方形。切分的份数越多，则越接近长方形。当切分至无限多时，就形成一个方方正正的长方形。这时再让学生由学过S长方形=长×宽，就可以得到S圆=πr²。这样清晰地由“形”抽象出“数”。

由此可见，数形结合基本概念就是将抽象的数理逻辑思维与形象直观的图形结合起来，抽象思维与形象思维巧妙联结。学生在解答代数习题时，可以从相应的几何图形得到启发，通过形象思维找到解题的途径。反之，也可以在探求图形类的问题时，利用代数方法加以解答。这种互通互换的思路，将抽象思维与形象思维融为一体，将难题简化，将抽象的问题变为形象的问题，这样对促进学生思维的发展具有重要的意义。

二、数形结合思想在课堂教学中应用的意义

（一）数形结合，有利于降低学生的数学学习难度

数学作为一门逻辑思维很强的学科，致使许多学生对数学课程抱有深深的畏难心理，他们觉得数学内容太抽象，数学教材太难学。抽象的数学公式令他们难以理解，复杂的数学问题使他们退避三舍，敬而远之。如果教师在数学教学课堂上巧妙运用数形结合的思想，可以使原本抽象的数学知识变得具象可感，使学生在数学学习过程中更容易走进数学，让枯燥无味的数学内容显得不那么晦涩难懂，思考问题也变得更形象、直观了。这样无疑可以有效拓展小学生的解题思路，简化解题过程，帮助他们减少对数学课程的畏难情绪，极大地降低学生的数学学习难度。

（二）数形结合，有利于学生巧解实际难题

数学科学是一门探究数量的关系和空间形式的学问。简而言之，就是研究自然界中的“数”与“形”之间关系的学问。小学数学教材中的数形结合帮助学生在解决问题的过程中，将生活中抽象的数量关系和具象的几何图形有机联系，将学生们的所学与其所见有机地联系起来，将他们的所见与所思有机地联系起来，以强化小学生对新知识的理解，对旧知识的温习、巩固。这样，就可以让小学生的数学素养得以逐步提升，使小学生解决问题的能力稳步提高。可见，引导学生掌握数形结合思想，有利于他们在解决实际问题的时候取得事半功倍之效。

（三）数形结合，有利于学生推导数学公式

小学数学学习随着学段的逐步升高，小学生会陆续接触到很多计算公式和运算律。有些公式如果仅仅只是靠学生的机械记忆，死记硬背后的他们始终难以真正掌握，知其然却不知其所以然，容易遗忘。而如果教师利用数形结合的方法，引导学生由形到数一步一步呈现公式的推导，整个过程直观、形象、清晰地呈现在学生眼前，就会使学生对公式的理解与掌握便显得清晰、容易起来。这是因为单纯由数字、字母与符号组合而成的数学公式，学生难记、难用、难理解，而利用图形辅助公式的推导，公式便具体、鲜活起来，便于学生理解、掌握和记忆。

三、数形结合思想在小学数学教学中的应用途径

（一）以形辅数，建立数感——帮助学生理解

在数学课堂教学过程中培养学生的数感是小学数学教育的重要任务。所谓“数感”指的是人们对数学的感觉、感受乃至感情。简而言之，数感是人们理解数字、理解数学、理解抽象和具象之间关系的能力，是对数字与数量关系、运算结果估算等方面的感悟。在小学数学教学的实施过程中，如果小学数学教师在课堂上仅仅只是利用数字或其数量关系给学生讲解，这样往往会使学生们难以理解。如果巧妙地运用数形结合的教学方法——以形象辅助数字，“以形辅数”，可以帮助学生形成良好的数感。“以形辅数”是指在数学课堂教学中借助具体的几何图形将教材中涉及的数学知识加以具体化、直观化，让学生们便于理解，而培养学生的数感。

培养学生数感的途径很多，一般可以采用联系生活实际方法培养学生的数感。数学来源于生活，生活中处处有数学。教师在数学课堂上可以用学生感兴趣的生活问题吸引他们的注意力，使他们在旧知与新知之间建立起横向联系，用数学知识解决生活中的问题。

例如，《认识分数》是苏教版三年级的教学内容，主要是对分数进行大小比较。因为此时学生刚刚接触到分数，由于受到“前摄抑制”的影响，学生会用比较整数大小的方法比较分数。如在比较和两个分数的大小的时候，一般都会认为大于；依据是4 比2 大。如果教师这时直接告知大家，要用“分子都是1 的情况下，分母越大，分数值就越小”这条定律进行比较，因此比大。这样的教学方法就是让学生死记硬背。这种机械化记忆法，不利于学生理解、掌握数学新知，也使学生难以灵活地运用。对此，教师应摒弃传统教法，采用数形结合的方法教学。即利用两个大小相同的圆片分一分、剪一剪，比一比。这时就可以使学生很直观、很形象地感受有多大，又是多大，顺理成章地得出大于的正确答案。至此，教师再让学生们用刚才相同的方法自行比较与的大小，得出正确答案后，继续比较与的大小。这样，一步步地比较，一步步地深入，不仅让学生们生动、形象地理解了分子同是1 的分数之间大小的比较方法，而且还有效促进了学生数学科学的逻辑思维能力和空间想象能力，与此同时学生数感得以有效培养。

例如，《一亿有多大》是苏教版四年级下册的教学内容。一般而言，小学生对“十、百、千”的数感还是比较清晰的：一个班的同学数可以十计，一个年级学生可以百计，一个学校的学生数以千计，但超过万以及亿的数，则远远超出了小学生的感知范围，学生对这些数的认识就显得较抽象甚至模糊了。教师在课堂上可以让学生联系自己熟悉的生活进行探索和感知，以形象地感知一亿这个数字的大小。具体做法是让学生以自己的数学课本为参照物进行比较观察：一本数学书约50 页，两本数学书是100 张纸的厚度，20本数学书厚度约1000 张纸厚，即10 厘米；由此再推算出1 亿张纸层叠起来的厚度约1 万米，比世界最高峰珠穆朗玛峰（8844.43m）还要高一些。这样，学生对一亿这个不常用数的感知，就从抽象的数字转化为具体可感的一张纸、一本书、一座山峰常用数的感知了。

教师利用学生熟悉的生活，帮助他们构建数与数之间大小关系，从而让学生直观、形象地感受大数，可以有效培养学生对大数的数感。

（二）以数解形，描述图形，培养空间观念

数学科学的空间观念是由长、宽、高三个维度表现出来的客观事物给人们的整体的形象。这里的“形”虽然直观、形象，学生易懂、好理解，但多多少少也隐含数学语言及数量关系等一些抽象的成分在内。数学课程标准要求小学生借助一定的空间想象力观察事物。由此可知，观察是培养学生空间观念的最基本、最重要的学习方法。小学生的空间知识来源于生活中的原型，其与学生生活环境密切关联。教师只有让学生认真观察生活中的各种实物原型，重视生活中一切和空间与图形有关的现象，通过视觉感受空间观念，让学生在数学实践活动中亲自动手操作，动脑感知，通过摆摆、折折、拼拼等观察、比较活动，“以数解形”才能形成初步的空间观念。“以数解形”教学方法就是运用符号化的数学语言，如数字、算式等，将其“形”中包含的内容表现出来。借助简洁的数学语言描述抽象的图形，就可以使图形的表象更清晰、简明，可以更好地提升学生空间想象力，培养学生的空间观念。

培养空间观念，不仅要让学生学会以数学的眼光进行观察，还要让学生学会用语言概括描述。如推导长方体的体积公式时，教师可以先让学生用几个体积是1 立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并将结果填入表格。再通过表格发现并总结出规律：长方体的长×宽×高=小正方体的个数。这里小正方体的个数与拼出的长方体的体积是相关的，借此得出长方体体积也可用“长×宽×高”进行表示。由此可见，学生通过“以数解形”动手操作，自主观察过程中推导出长方体的体积公式，充分发挥了学生的自主、自能，有效培养了学生的空间观念。

例如，苏教版六年级的“平面图形面积公式推导”教学中，教师可以准备相关学具让学生通过“摆一摆、拼一拼”等活动推导出面积公式，如用两个完全相等的三角形可拼成一个平行四边形。教师设置问题：①平行四边形的底和三角形的底是什么关系？②三角形的高与平行四边形的高又是什么关系？③三角形的面积与平行四边形的面积有什么关系？顺着这条思路，学生很快就推导出三角形面积公式。学生通过观察找出三角形和平行四边形之间的关系及三角形面积的计算公式，借此形成了初步的空间观念。

（三）数形融合，拓展解题思路，提高思维能力

在数学活动中，“数”与“形”二者互补互立，缺一不可。缺“形”难直观，缺“数”难入微。数学教师在课堂上要善于将“数”与“形”二者密切结合，融会贯通。由于小学生的形象思维有余，而抽象思维不足，学生更擅长学习形象的知识。借此，在小学数学课堂教学过程中，教师应该综合运用数形结合的教学方法促进学生思维发展，提高学生解决问题的能力。

例如，苏教版四年级下册的“用画图的策略解决实际问题”一课的教学重点是用画直观示意图的方法解决有关面积计算的实际问题。教师在黑板上出示了例题：“小明家的长方形花圃长8 米，爸爸把长度增加3 米后，花圃面积就增加了18 平方米，花圃原来的面积是多少吗？”面对此题，小学生抽象思维能力不足，根据例题所给的基本条件，他们难以想到原来花圃的宽应该怎么求。这时教师如果能够引导学生画出一个“长方形花圃”示意图，接着再将这个长方形的长度相应延长3 米。在宽度不变的情况下，花圃增加的面积是18 平方米。根据示意图，学生便可迅速算出原来长方形的宽是：18÷3=6（米），再根据面积＝长×宽的公式求得原来长方形的面积为：6×8=48（平方米）。可见，数形结合使原来例题中的隐形条件变得清晰了，题目的数量之间关系也愈加分明。这样在教学中数形融合，有效拓展了学生的解题思路，他们的思维能力也得以相应的提高。