“三会”视角下二次函数的认识与思考

文／黄秀旺（特级教师）

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）提出，数学课程着力发展学生的核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界这三个方面，简称“三会”。那么，对于“二次函数”这一章，我们该如何认识“三会”呢？这主要包含学习什么（内容与任务），以及怎么学习。

会用数学的眼光观察现实世界

苏科版数学教材通过探究水滴激起的波纹所形成的面积与半径的关系、小兔活动的面积与长方形的长的关系、制作一面镜子的总费用与镜面宽的关系，获得了相应的数量关系，并引入字母，对数量关系进行符号表示（S=πr2、y=-x2+8x、y=240x2+180x+45），在此基础上抽象概括为y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），以上就是通过抽象得到数量关系以及二次函数的一般式。当然，由y=x2、的性质得

会用数学的思维思考现实世界

到y=ax2（a＞0）和y=ax2（a＜0）的性质也是抽象的思想，同样，通过抽象得到二次函数y=ax2+bx+c的性质。

由之前学习一次函数和反比例函数，我们能感受到函数的图像在探究函数的性质、运用函数解决问题中的重要作用。类似的，我们也是借助函数图像探究二次函数的性质，借助二次函数的图像探究一元二次方程的问题，以及运用二次函数解决实际问题，感受到借助图像解决问题的直观性，体现形与数的联系。新课标特别提出“知道二次函数的系数与图像形状和对称轴的关系”这一要求，加强了几何直观的要求。

此要求在本章中主要表现为运算能力和推理能力。我们知道，运算能力是学习数学必备的基本能力，在二次函数的学习过程中，也表现得非常丰富。比如，探究二次函数的图像和性质，获得y=a（x+h）2+k的性质后，对于任意二次函数，如教材例题提到的y=-x2-4x-5，就需要通过变形得到y=-（x+2）2-1。这样，利用函数表达式可以得到函数图像的顶点坐标是（-2，-1），对称轴是过点（-2，-1）且平行于y轴的直线，结合图像开口向下，获知当x=-2时，y的值最大，最大值是-1。因此，我们要会对所给的函数表达式进行熟练的变形。一般地，我们可以将二次函数y=ax2+bx+c变形为（教材上呈现了详细的变形过程）。如果没有扎实的运算基本功，仅知道有关二次函数的结论，我们是无法学好本章内容的。

推理能力是学习数学必备的核心能力之一。在本章的内容中，充满了数学推理。比如，在获得二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的基本性质后，指出一个具体的二次函数的性质，这就是演绎推理的思想，即从一般到特殊的推理。又如在探究“二次函数与一元二次方程”的关系时，数学推理也体现得非常清晰。教材例题如下：

例不画图像，判断二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点？

解：因为一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判别式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）＜0，所以方程-x2+5x-8=0没有实数根。二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴没有公共点。

这个解答过程中，包含了两个数学推理，它们分别是：

①因为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式b2-4ac＜0，所以方程ax2+bx+c=0没有实数根，

又因为一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判别式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）＜0，

所以方程-x2+5x-8=0没有实数根。

②因为“如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，那么二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴没有公共点”，

又因为方程-x2+5x-8=0没有实数根，

所以二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴没有公共点。

以上两个推理在形式上是不是与几何推理类似呢？这需要我们细细地品味。

会用数学的语言表达现实世界

教材呈现了一些实际问题，其中变量之间的关系可以用二次函数来表示，进而利用二次函数的图像和性质来研究，最后解决了实际问题。例如，在“用二次函数解决问题”中，可以将问题分为两类，一类是求在什么条件下收益最大、总产量最大、毛利润最大等问题，这类问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值，具体求解过程：实际问题（情境）→提出问题→用字母表示两个变量并用符号表示问题中的数量关系，得到二次函数的表达式（建立模型）→对函数的表达式进行变形得到顶点式，指出最大值或最小值（求解模型）→检验结果（是否符合实际）→实际结果（解决实际问题），这就是数学建模的基本过程；还有一类是建立平面直角坐标系，把实物的示意图看作一个二次函数的图像，进而写出函数的表达式，利用函数的表达式解决问题。比较这两类问题，一类是通过问题中的数量关系得到函数的表达式，一类是借助二次函数的图像得到函数的表达式，但都是通过建立二次函数来解决问题的，体现了数学知识的应用性。

通过以上“三会”视角下的分析，我们感受到，学习二次函数的概念、图像与性质，可以发展抽象、运算、推理等多种能力，以及运用二次函数解决实际问题的能力。事实上，“三会”的“会”就是“学会”，“眼光”“思维”“语言”告诉我们数学课程要学什么，“观察”“思考”“表达”告诉我们怎么才能学会。因此，我们在学习二次函数的过程中，不仅要获得基本结论，更要关注如何获得这些结论。