Banach空间一类不连续系统

梁雪峰

(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741000)

考虑一般的不连续系统

x′=f(x,t) ,

(1)

其中，f:G→X具有某种不连续性,G⊂X×R是一个开集.文献[1]和文献[2]讨论了在Lebesgue积分意义下Caratheodory系统和Filippov解的存在性、唯一性和稳定性.然而,有些不连续系统的右端函数f(x,t)在某区间上是非Lebesgue可积的,并且它的解也是非绝对连续函数.文献[3]讨论了广义Caratheodory系统的GC-解,文献[4]和文献[5]探讨了脉冲微分方程和不连续系统的有界变差解.文献[6]和文献[7]首次将Φ-有界变差函数理论与Kurzweil 广义方程理论结合起来,建立了Kurzweil 方程Φ-有界变差解的存在唯一性定理.本文在Banach空间讨论一类不连续系统Φ-有界变差解,并建立存在唯一性定理,这个结果是文献[5]中主要结果的推广.

1 预备知识

设Φ(u)是对u≥0定义的连续不减函数,满足Φ(0)=0,对u>0,Φ(u)>0.后面将用到以下条件

(C1) 存在u0>0及L>0，使得对0

(C2) Φ(u)是凸函数.

设[a,b]⊂R,-∞

G=Bc×(a,b).

定义1[8-9]称函数x∶[a,b]→X[a,b]上Henstock-Kurzweil可积，若存在A∈X,对∀ε>0,存在正函数δ:[a,b]→(0,+∞),使[a,b]的任何δ(τ)-精细分划D={(ξj,[tj-1,tj]),j=1,2,…,k},其中ξj∈[tj-1,tj]⊂[ξj-δ(ξj),ξj+δ(ξj)],有

定义2[10-11]称函数x∶[a,b]→X在[a,b]上H-K-Stieltjes可积,若存在A∈X,对∀ε>0,存在正值函数δ:[a,b]→(0,+∞),使[a,b]的任何δ(τ)-精细分划D={(ξj,[tj-1,tj]),j=1,2,…,k},其中ξj∈[tj-1,tj]⊂[ξj-δ(ξj),ξj+δ(ξj)],有

2 主要结果

定义3 称函数x(t)∶I→X(I表示R中的区间)是系统(1)的Φ-有界变差解,是指

(i)x(t)在区间I的任何紧子区间上是Φ-有界变差函数；

(ii)当t∈I时，[x,t]∈G;

(iii)x′(t)=f(x(t),t)a.e.t∈I.

(i)存在正值函数δ：I→(0,+∞)对每个区间[u,v],满足τ∈[u,v]⊂[τ-δ(τ),τ+δ(τ)]⊂I及x∈Bc,有

(2)

(ii)对每个区间[u,v]满足τ∈[u,v]⊂[τ-δ(τ),τ+δ(τ)]⊂I及x,y∈Bc,有

(3)

其中，h∶I→R是定义于I上单调增加的左连续函数.

(4)

成立.

由于ε>0的任意性,不等式(4)成立.

定理2 设f:G→X满足(2)式条件,若当x∶[α,β]→X,[α,β]⊂[a,b]是系统(1)的一个解,那么x是Φ-有界变差函数且

VΦ(x;[α,β])≤Φ(VΦ(h;[α,β])<+∞.

(5)

此外h在区间[α,β]上的每一个左连续点也是解x∶[α,β]→X的左连续点.

证明设α=t0

(6)

由(6)式,有

通过对[α,β]上所有分割取上确界,可得(5)式.

证明由文献[6]中推论3.8,结论成立.

定理4 设f∈VΦ(G,h)且(x(t0),t0)∈G，那么存在d-,d+使得不连续系统(1)在区间[t0-d-,t0+d+]上存在一个解x∶[t0-d-,t0+d+]→X,满足x(t0)=x0.

同理,存在d+>0,使得如果t∈[t0,t0+d+]且x∈X时有

那么(x,t)∈G=Bc×(a,b).

用Α表示所有函数z:[t0-d-,t0+d+]→X构成的集合,当t∈[t0-d-,t0]时,

下面证明Α是集合BVΦ[t0-d-,t0+d+]的闭子集,设zk∈A,k∈N是BVΦ[t0,t0+d+]上收敛于z的一个序列.由文献[12]中定理3.11,有

VΦ(z-zk;[t0-d-,t0+d+])→0,(k→∞).

因此，zk(t)在[t0-d-,t0+d+]上一致收敛于函数z[12].则对于任意ε>0,当k∈N充分大且t∈[t0,t0+d+]，有

由于ε>0的任意性,当s1,s2∈[t0-d-,t0+d+]时有

即T是一个压缩映射.Banach不动点定理的所有假设都满足,因此存在唯一的x∈A使得x=Tx,即x是不连续系统(1)的唯一的Φ-有界变差解.

3 结论