基于“模型认知”的小学数学深度学习

王长友

［摘  要］ 学生对模型的认知，是逐步清晰、逐步深化的过程。在小学数学教学中，教师要创设情境，激活学生认知，引导学生建构数学模型，并对数学模型进行意义赋予。基于“模型认知”，教师可以引导学生进行深度学习。数学建模不仅是一种意识，还是一种能力、一种素养。基于“模型认知”的数学深度学习，能不断提升数学学习力，发展学生的数学核心素养。

［关键词］ 数学模型；模型认知；深度学习

模型是人认识世界的基础，一个人在学习中储备的模型越丰富，他解决现实问题的能力就越强。基于“模型认知”，教师可以引导学生进行深度学习。学生对模型的认知，是逐步清晰、逐步深化的过程。所谓“数学模型”，是指“将事物的特征、关系等抽象、提炼出来，用数学语言来概括、描述的一种结构”。广义地说，一切的数学概念、法则、定理等都是数学模型。所谓“数学建模”，是指“建立数学模型并用它解决问题的过程”。数学建模不仅是一种意识，还是一种能力、一种素养。

[?]一、创设情境，匹配“数学模型”

数学模型，按照认识过程，可以分为描述性模型和解释性模型；按照模型对象，可以分为概念性模型、方法型模型和结构性模型。在数学教学中，教师要创设情境，注意要让学生匹配数学模型。换言之，情境要具有一种适切性，能催生学生的建模内需，引发学生的建模兴趣，激发学生内在的认知冲突，引导学生积极主动地建模。

创设情境，就是要从学生数学学习的“最近发展区”出发，引导学生从现实向数学进行有效过渡。好的数学建模离不开情境，更离不开关联数学与现实问题。由于小学生的生活经历比较有限，因而对一些实际问题的认识比较模糊，容易被纷繁复杂的现实干扰。情境就是对现实问题的简化、纯化。置身于情境之中，学生应当能提出问题、分析问题。比如教学“相遇问题”，教师就必须创设情境，以便学生能在情境中感知、感受到相遇问题的特征，进而通过分析建构出关于相遇问题的数学模型。我们知道，现实中的相遇问题是复杂的，还有许多干扰因素，而情境中的相遇问题往往舍弃了许多非本质性的、干扰性的因素，仅仅呈现与相遇问题相关的一些量。显然，情境较之于现实更数学化一些。当然，教学中，教师也可以创设更贴合生活的情境，让学生从情境中自主地选择一些条件，并借助这些条件解决问题。

情境认知是一种介于现实认知和数学认知中间的一种认知。教学中，教师可以借助情境，引导学生与现实互动、与数学互动。通过情境，假设现实与数学之间的关联。在数学教学中，教师要根据数学知识的特质以及学生的具体学情，精心设计情境，让情境真正成为学生数学建模的重要载体与媒介。

[?]二、激活认知，提炼“数学模型”

“认知冲突”是激活学生数学思维，促进学生思维碰撞，生成学生原有认知的重要手段。在小学数学教学中，教师要激活学生的原有认知，让学生的原有认知与新知之间产生认知冲突。激活学生的认知，要引导学生用数学化的眼光观察，用一般化的思维概括，用结构化的视角审视。只有激发了学生的认知冲突，才能诱发学生参与、融入数学新知的再创造过程中。

激活学生的认知，就是要让学生用数学化的方式来对相关内容进行表征，引导学生经历从“境”到“型”的过渡。激活学生的认知，一般有两种方式：其一是引导学生感知，其二是引导学生操作。比如教学“间隔排列”这一部分内容，笔者先呈现日常生活中的一些现象，比如电线杆的间隔排列、地砖的间隔排列、丝绸花纹的间隔排列等，从而丰富学生的感知。接着引导学生观察：两端物体是什么？中间物体是什么？引导学生思考：两端物体相同，两端物体和中间物体之间有怎样的关系？两端物体不同，两端物体和中间物体之间有怎样的关系？在感知的基础上，引导学生操作：摆一摆，让两端物体比中间物体多一个；摆一摆，让两种物体的个数相同。通过感知、操作，有效地架构学生的已有知识与数学新知的关联。由此激活了学生的认知，引导学生经历了数学知识的再创造过程，就能让学生自主建构数学模型。这样建构的数学模型与学生的生活、实践有着密切的关联，因而这样的模型是有生命力的模型。

经历数学知识的再创造建构数学模型，教师要有意识地将学生的已有知识经验融入其中，从而引导学生将数学模型建好、建深。借助数学模型，学生能更深入地理解数量之间的关系，能解决更多的数学问题。同时，在数学建模的过程中，能有效地发展学生的思维能力、实践能力。

[?]三、意义赋予，丰富“数学模型”

当一个数学模型建立以后，教师可以引导学生针对这样的数学模型进行意义赋予。所谓“意义赋予”，就是“给一个抽象的数学模型以现实性的意义”。借助数学模型，学生零散的、琐碎的数学知识就能有效地整合，相关的现实问题就能得到生动的诠释。数学模型是对现实生活中的一类现象的概括，因而其具有一定的概括性。如果说，建构数学模型是对现实的抽象、提纯，那么，意义赋予就是对数学模型的应用，就是促进学生应用数学模型对相关问题解决进行迁移。

尽管学生掌握的数学模型是有限的，但教师在教学中完全可以利用有限的数学模型，激发学生的想象，因为学生的想象力是无限的。学生喜欢异想天开，这对数学模型进行意义赋予是十分有益的。作为教师，要调动学生进行数学模型意义赋予的积极性，发掘学生对数学模型进行意义赋予的创造性，鼓励、激发学生对数学模型的意义赋予。比如教学“相遇问题”，在引导学生建构出相遇问题的数学模型——“速度和×相遇时间=路程和”这一部分内容之后，学生积极主动地举例并说明这一模型的应用，这就是学生对数学模型进行意义赋予的过程。如有学生说，甲、乙两辆车同时从A、B两地出发，相向而行，已知两辆车的速度，它们经过多长时间相遇？有学生说，甲、乙两辆车同时从A地出发，相背而行，已知两辆车的速度，经过多长时间两车相距多少千米？有学生说，两辆车在一条环形的公路上行驶，从同一点出发，相背而行，已知两辆车的速度，经过多长时间两车可以相遇？同一个数学模型，激发了学生的无限想象力，让学生生发出不同行驶路径、不同行驶方向等的现实解释。这样的意义赋予，不仅能培育学生的数学思维、想象，而且能促进学生对数学模型的灵活应用。

值得注意的是，学生的“意义赋予”有可能会出现一些偏差，甚至会出现一些错误。在小学数学教学中，教师要抓住学生闪光的地方多加激励、表扬，从而对学生的数学意义赋予进行鼓励，而对于学生的错误，教师要委婉地进行批评，引导学生认识到错误的本质，从而规范学生的意义赋予。在这个过程中，学生能更深刻地认识数学模型。

[?]四、协同会话，评价“数学模型”

当学生建构数学模型之后，教师还要引导学生反思数学模型、评价数学模型。教学中，教师要引导学生协同会话，了解彼此对数学模型的阐释，从而逐步学会评价数学模型。在評价的过程中，学生能不断地比较每一个数学模型的优点、缺点，从而对彼此的数学建模进行点评，了解其中的缺点和优点。这样的协同会话，能促进学生数学学习力的提升，促进学生数学核心素养的生成。

建构数学模型之后，只有引导学生协同会话，才能提升学生的凝练、解释能力，从而让数学模型不断完善。尤其对于数学模型中需要弥合的地方，教师更要引导学生进行深度研讨。比如教学“梯形的面积”这一部分内容，在引导学生建构了梯形的面积计算模型之后，笔者引导学生评价模型。学生联系自己的已有知识经验，从各个视角展开评价。有学生说，可以将平行四边形看成特殊的梯形，也就是梯形的上、下底相等，这样，梯形的面积计算模型也适用于平行四边形的面积计算；有学生说，可以将三角形看成特殊的梯形，也就是梯形的上底为0，这样，梯形的面积计算模型也适用于三角形的面积计算；还有学生说，梯形的面积计算模型可以演变成我们已经学习的长方形、正方形、平行四边形、三角形等图形的面积计算模型，梯形的面积计算模型的本领真大啊！正是在对梯形的面积计算模型评价的过程中，学生对梯形的面积计算模型有了更为深层次的认知。

数学模型是人类认识世界、改造世界的重要工具。在小学数学教学中，教师要以学生的已有认知作为模型建构起点，引导学生提炼、概括、建构、丰富、评价数学模型。作为教师，要拥有数学建模的眼界，引导学生超越素材、情境的表面。不仅要引导学生建构数学模型，还要引导学生应用数学模型、创新数学模型。基于“模型认知”的数学深度学习，能不断提升数学学习力，发展学生的数学核心素养。