技能映射通过析取模型诱导的多分知识结构

孙晓燕，李进金，2

(1.华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021；2.闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州 363000)

知识空间理论(KST)源于Birkhoff[1-2]提出的关于拟序的定理.文献[3-5]结合教育心理学将KST发展完善，并建立了一套反映教育教学规律的数学理论，为知识和学习的评价提供了有效的科学方法[5-7].KST的一个核心的假设是个体对项目的回答可以被二分为正确(用1表示)或错误(用0表示)，这使得KST在对知识和学习进行评价时具有局限性.二分的评价体系仅适用于判断、选择等客观题，而对于解答题、应用题等主观题则无法适用.针对这一局限性，Schrepp[8]首先将KST推广到有2个以上答案的问题，用线性有序集评估解决方案的质量，并提出一个严格封闭的知识结构.Bartl 等[9]讨论了具有分级知识状态的知识空间.Stefanutti 等[10]提出了KST的多分推广，假设项目集上的水平集为完备格，并将严格封闭条件分解为多分知识结构的4个独立性质构成的充要条件集合.Heller[11]在Stefanutti 等[10]的基础上，将拟序知识空间推广到多分情形，提出了多分知识结构的2个条件，并考虑了项目特定的响应尺度.

技能代表潜在的认知能力，是利用知识和经验执行某些活动的能力.Falmagne等[4]首先建立了问题和技能之间的联系.Doignon[12]将技能映射引入KST中.Duntsch等[13]提出的技能函数通过为每个项目分配一个相关的技能子集，将可观察的解决方案与一些潜在的认知结构联系起来.Korossy[14]在技能集上建立相应的技能空间.Heller等[15]探索基于能力的个性化学习的知识结构，并研究了分布式技能函数和知识结构的网格化[16].近年来，人们越来越重视技能和知识的评估及其程序化应用[17-22].在Stefanutti[18]提出的框架中，问题的解决过程被描述为从操作集合中获取操作序列，技能用操作序列表示，操作序列应用于某初始状态，产生一个最终状态，由此定义问题的状态空间，从而诱导出知识空间.

基于Stefanutti等[10]与Heller[11]提出的知识空间的多分推广，及Stefanutti[18]提出的程序性知识的评价，本文提出根据各项目的操作步骤设定响应值集的框架，通过状态转移函数定义项目状态空间，并导出析取的技能映射，证明技能映射通过析取模型诱导的多分知识结构是多分知识空间.

1 预备知识

1.1 技能映射诱导的知识结构

在KST中，知识域Q由一组关于特定主题的项目的集合表示，项目的答案可以被二分为正确(用1表示)或错误(用0表示).知识状态K是Q的子集，表示个人有能力在理想条件下(即假设粗心的错误和幸运的猜对不会发生)正确回答的项目的集合.知识结构是二元组(Q，K)，其中，K是一个由Q的子集构成的知识状态集族，且至少包含Ø和Q.知识结构(Q，K)是并封闭的，当且仅当对任意的F⊆K，∪F∈K.满足并封闭的知识结构(Q，K)称为知识空间.有关KST的详细描述，见文献[5-7].

技能是与项目的解决相关的算法步骤或操作程序.在KST中，通过技能映射将知识域Q中的每个项目与有助于解决这个项目的技能联系起来，并从这个关联中推断出知识状态.由技能映射诱导知识状态的模型有析取、合取与能力模型.在以下的多分推广中，仅考虑析取模型.

设非空的项目集Q，非空的技能集S，技能映射是三元组(Q，S，τ)，其中，τ是从Q到S的非空幂集的映射，τ：Q→2S{Ø}.给定T⊆S，由T通过析取模型诱导的知识状态为

KT={q∈Q|τ(q)∩T≠Ø}.

取遍T⊆S，所有诱导的知识状态的集合是由τ通过析取模型诱导的知识结构.由τ通过析取模型诱导的知识结构是知识空间.有关技能映射及其诱导的知识结构的详细背景，见文献[6-7].

1.2 多分知识状态

在KST的多分推广中，知识域Q中的项目的解决质量由水平集L中的级别l∈L表示.在Schrepp[8]提出的KST多分推广中，L是线性有序集.Stefanutti等[10]设定L是完备格.

设X是非空集，≤是X上的偏序关系(即满足自反性、传递性、反对称性的二元关系)，则称(X，≤)为偏序集.设(X，≤)为偏序集，对于任意的A⊆X，A的最小上界称为A的上确界，记为supA或∨A；A的最大下界称为A的下确界，记为infA或∧A.若∀A⊆X，恒有supA与infA存在，则称(X，≤)为完备格.若∀a，b∈X，恒有sup{a，b}=a∨b与inf{a，b}=a∧b存在，则称(X，≤)为格.有限格是完备格.有关格理论的详细背景知识，见文献[2，23-24].

在Heller[11]提出的KST多分推广中，个体对知识域Q中各项目的掌握程度用有限的响应值集V表示，且设非空有限响应值集V是格，由于V是有限的，所以V是完备格.

多分知识状态是Q到V的映射K：Q→V，表示将Q中每个项目对应V中的一个响应值.这样的映射集合记为VQ=∏q∈QV.多分知识状态有两种表示形式，分别由Heller[11]和Stefanutti等[10]提出.

子集表示法[11]：多分知识状态K是Q×V的一个特定子集，即对于任意K∈VQ，K⊆Q×V.记

pv=(p，v)∈Q×V，

对于任意K∈VQ，规定pv∈K⟺K(p)=v，则

K={pv|p∈Q，K(p)=v∈V}⊆Q×V.

向量表示法[10]：在给定的有限知识域Q中，设|Q|=n，当固定各项目的顺序时，多分知识状态K可以简记为以V中的响应值为分量的n维向量.设Q={q1，q2，…，qn}，对于任意K∈VQ，记

K=v1v2…vn=(v1，v2，…，vn).

上式中：vi=K(qi)，qi∈Q，i=1，2，…，n.

例如，设Q={a，b，c}，V={0，1，2}，多分知识状态K：Q→V定义为K(a)=1，K(b)=2，K(c)=0，则多分知识状态K的子集形式为K={a1，b2，c0}⊆Q×V.固定各项目顺序为q1=a，q2=b，q3=c，则多分知识状态K用向量形式表示为K=120=(1，2，0).

为了避免记号的混乱，在以下论述与推导中，均采用多分知识状态的子集表示法，向量表示法仅出现在图形中.另外，由于文中仅考虑有限知识结构与有限知识空间的多分推广，因此，在以下论述中均假设知识域Q是有限集，且Q中各项目的响应值集是有限集.

2 技能映射诱导的多分知识结构

2.1 项目特定的响应值集

例1设Q={q1，q2}.项目q1为解方程2+x2=x2+2x；项目q2为解方程|x-3|=3.根据项目解答步骤或操作程序的类型设定响应值集，2个项目的响应值集的格结构不同.

q1的解答为

q1的解答步骤是层层递推的.设V1为有限线性序集，即V1={0，1，2}.

q2的解答为

图1 有限格V2={0，a，b，c}的Hasse图Fig.1 Hasse diagram of finite lattice V2={0，a，b，c}

q2的解答步骤中有分类讨论.V2={0，a，b，c}，其中，0≤2a，0≤2b，a≤2c，b≤2c，a与b是不可比较的，且a∨2b=c.有限格V2={0，a，b，c}的Hasse图，如图1所示.由图1可知：V2不是线性序集.

例2设Q={q1，q2}.项目q1：甲用10元购买文具，笔记本的单价为每本6元，甲购买1本笔记本应找回多少元？项目q2：甲用20元购买水果，橙子、苹果的单价分别为每500 g 7元和每500 g 5元，甲购买500 g橙子和500 g苹果应找回多少元？对于层层递推的项目解答或操作，根据步数设定响应值集，响应尺度可能不同.

q1的解答为10-6=4(响应值1).

由于q1的解答只需一步，即计算2个数的差，设定V1为二分的响应值集，即V1={0，1}.

q2的解答为

q2的解答过程分两步，是层层递推的.第1步是“求甲购买500 g苹果和500 g橙子共需多少元？”，即求2个数的和；第2步是求2个数的差.故设定V2为三分的响应值集，即V2={0，1，2}.

2.2 多分知识结构

上式中：vi∈Vi，i=1，…，n.

2) ∪K∈KK=Ω，即对于任意的pv∈Ω，K(pv)={K∈K：pv∈K}≠Ø.

图2 例3的结构(K1，)的Hasse图Fig.2 Hasse diagram of structure (K1，) of example 3

图3 例3的结构(K2，)的Hasse图 图4 例3的结构(K3，)的Hasse图Fig.3 Hasse diagram of structure Fig.4 Hasse diagram of structure (K2，) of example 3(K3，) of example 3

2.3 项目的状态空间与项目的相关技能

设项目集Q={q1，q2，…，qn}.这里提出的框架中，响应值集是根据项目的解答或操作步骤设定的.为了保证操作步骤的有限性，假定各项目的解答或操作是非循环的.对于任意的项目qi∈Q，qi的操作集是由其解答或操作的每个步骤构成的集合，记为Λi.在这里，仅考虑每个项目的某个特定解法，对于一题多解的情形将在能力模型中考虑.

命题1对于任意的项目q∈Q，设q的解答或操作非循环且步骤数有限，则项目q的操作集Λ是有限集.设Λ={λ1，λ2，…，λr}，根据每步操作逐一设定响应值，得到项目q的响应值集V是有限格.

1) 如果项目q的解答或操作是层层递推的，且步骤数为r，记第k步操作为λk，k=1，2，…，r，则q的操作集为Λ={λ1，λ2，…，λr}.设项目q的初始状态为q0，即q的响应值集V的底元为0，根据每步操作逐一设定响应值，即每步操作产生新的项目状态，对应的响应值加1，则项目q的响应值集V为有限线性序集，且V={0，1，…，r}.

2) 如果q的解答或操作中具有n个分支，则V不是线性序集.首先，按各分支的层层递推的步骤数设定各分支上线性有序的响应值集，再将任意k(2≤k≤n)个不可比较的响应值的上确界(称为分支定向并[11])设为新的响应值，并且规定当n=2时，设a1与b1不可比较，a2与b2不可比较，且a1∨b1=c，a2∨b2=d，如果a1≤a2且b1≤b2，则c≤d；否则，c与d不可比较.当n>2时，设A⊆V，B⊆V，若A⊆B，则∨A≤∨B；若∀l∈A，恒有m∈B，使得l≤m，则∨A≤∨B；否则，∨A与∨B不可比较.这样得到的项目q的响应值集V为有限格.

例如，例1中的项目q1的解答步骤是层层递推的，且步骤数为2，所以，设定V1为有限线性序集，且V1={0，1，2}.项目q2的解答有2个分支，2个分支的步骤数均设定为1，所以，2个分支上的响应值分别为0≤2a，0≤2b.由于a和b不可比较，设响应值c=a∨2b，得V2={0，a，b，c}.V2是有限格.

如果将例1中q2的2个分支步骤数均设定为2，即

图5 有限格V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}的Hasse图Fig.5 Hasse diagram of finite lattice V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}

则0≤2a1≤2a2且0≤2b1≤2b2.将{a1，a2，b1，b2}中任意2个不可比较的响应值的上确界设为新的响应值(例如，在实际应用中可以取2个不可比较的响应值的和为它们的上确界)，即

a1∨2b1=c，a2∨2b1=d，a1∨2b2=e，a2∨2b2=f.

由于a1≤2a2，b1≤2b1，所以，(a1∨2b1)≤2(a2∨2b1)，即c≤2d.同理得，c≤2e，d≤2f，e≤2f.由于a2≥2a1，b1≤2b2，所以a2∨2b1与a1∨2b2不可比较，即d与e不可比较.则V2={0，a1，a2，b1，b2，c，d，e，f}是有限格，如图5所示.

项目q的解答或操作中可能具有n(n>2)个分支，例如例4的项目q有3个分支.

将{2a，2b，2c}中任意k(2≤k≤3)个不可比较的响应值的上确界设为新的响应值，即

2a∨2b=3d，2a∨2c=3e，2b∨2c=3f，∨{2a，2b，2c}=4.

图6 有限格V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}的Hasse图Fig.6 Hasse diagram of finite lattice V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}

由于{2a，2b}⊆{2a，2b，2c}，所以，∨{2a，2b}≤∨{2a，2b，2c}，即3d≤4.同理得，3e≤4，3f≤4.由于2b与2c不可比较，所以，2a∨2b与2a∨2c不可比较，即3d与3e不可比较.同理得，3d与3f不可比较，3e与3f不可比较.项目q的响应值集V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}是有限格，如图6所示.

在这里，只考虑由错误操作导致的错误状态.例如，将“计算两个数的和”错误操作为“计算两个数的差”.不考虑由于操作不熟练或粗心计算导致的错误状态.例如，将“7+5”错误计算为“11”.

项目qi的单个操作对项目状态转移的作用可以用定义3中的状态转移函数φi表示.

例5续例2，Q={q1，q2}，考察q1和q2的项目状态转移函数.Λ1={λ1}，Λ2={λ1，λ2}，其中，λ1表示计算2个数的差，λ2表示计算2个数的和.

图7 例2的项目q1的状态转移图Fig.7 State transition diagram of item q1 of example 2

图8 例2的项目q2的状态转移图Fig.8 State transition diagram of item q2 of example 2

定义4[18]设非空有限操作集Λ，由Λ中的s个操作元组成的操作序列λ1λ2…λs∈Λs称为Λ的1个长度为s的操作序列.具有任意长度的所有操作序列(包括空操作程序ε，即s=0)的集合记为Λ*，即

Λ*=∪s∈NΛs={ε}∪Λ∪Λ2∪….

上式中：空操作序列ε是Λ*的单位元，即∀λ∈Λ*，ελ=λε=λ.

定义5设非空有限操作集Λ，操作序列集Λ*，对于任意s∈Z+，任意给定长度为s的操作序列λ1λ2…λs∈Λs，λ1λ2…λs的子序列是操作序列λiλi+1…λi+t，其中，1≤i≤s且0≤t≤s-i.

定义6设非空有限操作集Λ，操作序列集Λ*，对于任意2个非空操作序列σ1，σ2∈Λ*{ε}，规定σ1≤σ2当且仅当σ1是σ2的子序列.

注4[18]设项目集Q={q1，q2，…，qn}，对于任意的qi∈Q，项目qi的状态转移满足以下2个性质.

图9 项目状态转移的传递性Fig.9 Transitivity of item state transition

λ1，λ2，λ1λ1，λ1λ2，λ2λ1，λ2λ2.

如果项目q∈Q的解答或操作中有分支，则需要考虑非空操作组合对给定项目状态的作用.

例7续例1，项目q1的解答是层层递推的，Λ1={λ1，λ2}，其中，λ1表示方程的等价变形，λ2表示解一元一次方程.V1={0，1，2}是有限线性序集，只需考察q1的正确操作序列.与例6的项目q2类似，q1的正确操作序列为λ1，λ2和λ1λ2.

项目q2的解答有分支，V2={0，a，b，c}不是线性序集，需考虑非空操作组合对给定项目状态的作用.项目q2的操作集Λ2={λ3，λ4}，其中，λ3表示当x-3≥0时，解含|x-3|的一元一次方程；λ4表示当x-3<0时，解含|x-3|的一元一次方程.

图10 例1的项目q2的状态转移图Fig.10 State transition diagram of item q2 in example 1

例1的项目q2的状态转移图，如图10所示.图10中：

例8续例6，考察项目集Q={q1，q2}的技能集.V1={0，1}，V2={0，1，2}.由图7可知，q1的所有正确操作程序为λ1，因此，q1的所有相关技能的集合为S1={λ1}.由例6可知，q2的所有正确操作程序是λ2，λ1和λ2λ1，所以，q2的技能集为S2={λ1，λ2，λ2λ1}.因此，项目集Q={q1，q2}的技能集为

S=S1∪S2={λ1，λ2，λ2λ1}.

例9续例7，考察项目集Q={q1，q2}的技能集.V1={0，1，2}，由例7可知，项目q1的所有正确操作程序为λ1，λ2和λ1λ2，所以，S1={λ1，λ2，λ1λ2}.V2={0，a，b，c}不是线性序集，由图10可知，q2的所有的正确操作程序为λ3，λ4和{λ3，λ4}，所以，S2={λ3，λ4，{λ3，λ4}}.项目集Q={q1，q2}的技能集为

S=S1∪S2={λ1，λ2，λ1λ2，λ3，λ4，{λ3，λ4}}.

例10续例4，考察项目q的技能集.

图11 例4的项目q的状态转移图Fig.11 State transition diagram of item q in example 4

项目q的操作集Λ={λ1，λ2，λ3，λ4}，V={0，1，2a，2b，2c，3d，3e，3f，4}.例4的项目q的状态转移图，如图11所示.由图11得到项目q的所有正确操作程序的集合，即q的技能集为

S={λ1，λ2，λ3，λ4，λ1λ2，λ1λ3，λ1λ4，{λ2，λ3}，

{λ2，λ4}，{λ3，λ4}，{λ2，λ3，λ4}，λ1{λ2，λ3}，

λ1{λ2，λ4}，λ1{λ3，λ4}，λ1{λ2，λ3，λ4}}.

2.4 析取的技能映射

K={qv11,qv22,…,qvnn}=i∈IKi,

2.5 由析取的技能映射诱导的多分知识结构

定义16设析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中τ：Ω+→2S{Ø}.给定技能状态T⊆S，T表示个体掌握的技能的集合，由T通过析取模型诱导的多分知识状态为

Kd(Ø)= Ø={q⊥11,q⊥22,…,q⊥nn}.

Kd(S)=Ω+={q⊥11,q⊥22,…,q⊥nn}.

定理2设析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{Ø}.取遍所有的技能状态T⊆S，所有通过析取模型诱导的多分知识状态的集合K是多分知识结构.

{qvi:v≤iw}=qwi,

即∪K∈KK=Ω.所以，K满足定义2的条件2).

综上所述，取遍所有的T⊆S，所有通过析取模型诱导的多分知识状态的集合K是多分知识结构.

定义17设析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{Ø}.取遍所有的技能状态T⊆S，所有通过析取模型诱导的多分知识状态的集合为K={Kd(T)|∀T⊆S}，K称为由技能映射τ通过析取模型诱导的多分知识结构.

定义18[25]称三元组(U，A，I)为一个形式背景，其中U={x1，x2，…，xn}为对象集，每一个xi(1≤i≤n)称为一个对象；A={a1，a2，…，am}为属性集，每个aj(1≤j≤m)称为一个属性；I⊆U×A为U和A之间的二元关系，若(x，a)∈I，则称对象x具有属性a，若(x，a)∉I，则称对象x不具有属性a.

表1 形式背景表Tab.1 Formal background table

形式背景表，如表1所示.若用1表示(x，a)∈I，用0表示(x，a)∉I，则形式背景可表示为只有0和1的表格(或表示为0-1矩阵) .

表2 例13的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表Tab.2 Formal background table of skill map (Ω+，S，τ) of example 13

将Ω+视为对象集，S视为属性集，I⊆Ω+×S是Ω+和S之间的二元关系，规定

由表2可得诱导的多分知识状态为

图12 例13的多分知识结构(K，)的Hasse图Fig.12 Hasse diagram of polytomous knowledge structure (K，) of example 13

于是，取遍T⊆S，由τ通过析取模型诱导的多分知识结构为

注5命题3的兼容性对于通过析取模型诱导多分知识结构是必要的.如果析取的技能映射τ不满足该条件，则由τ通过析取模型诱导的多分知识状态的集合可能不满足定义2的条件2).

例如，在例13中，若定义技能映射τ′为

定理3设析取的技能映射(Ω+，S，τ)，其中，τ：Ω+→2S{Ø}.由技能映射τ通过析取模型诱导的多分知识结构K是多分知识空间.

证明：对于任意的K1，K2∈K，其中，Ki是由技能状态Ti通过析取模型诱导的多分知识状态，即

Ki={qvi∈Ω+|∃t∈τ(qvi):t∈Ti},i=1,2.

根据项目q的解答或操作步骤设定响应值，得到的响应值集V不一定是线性有序集.例如，例1中的项目q2，V2={0，a，b，c}，其中，a与b是不可比较的，且a∨2b=c.

图13 例14的项目q的状态转移图Fig.13 State transition diagram of item q of example 14

例14的项目q的状态转移图，如图13所示.由图13得到过程函数为

记s1=λ1，s2=λ2，s3={λ1，λ2}，s4=λ1λ3，则Q的技能集S={s1，s2，s3，s4}.由过程函数导出析取的技能映射τ为

表3 例14的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表Tab.3 Formal background table of skill map (Ω+，S，τ) of example 14

例14的技能映射(Ω+，S，τ)的形式背景表，如表3所示.由表3可得诱导的多分知识状态为

图14 例14的多分知识结构(K，)的Hasse图Fig.14 Hasse diagram of polytomous knowledge structure(K，) of example 14

注7命题3的差异性对于通过析取模型诱导多分知识结构是必要的.如果析取的技能映射r不满足该条件，则由r通过析取模型诱导的多分知识状态的集合可能不满足定义2的条件2).

例如，在例14中，若定义技能映射τ′为

3 结束语

基于程序性知识的评估，通过项目状态转移函数定义项目状态空间，从而将问题空间推广到多分情形.通过过程函数导出技能映射，证明了技能映射通过析取模型诱导的多分知识结构是多分知识空间.在文中的框架中，仅考虑每个项目的某个特定解法，对于一题多解的情形将在后续的能力模型中考虑.为了保证操作集的有限性，假定各项目的解答或操作是非循环的，所以，对循环解路径的约简可以在后续研究中考虑.另外，由于知识空间的形式背景与形式概念分析密切相关[26-29]，因此，将KST的多分推广与形式概念分析的发展联系起来将是今后研究的方向.