把握本质 类比关联 生成路径——以苏科版数学七（下）“不等式的基本性质”教学为例

■佘丹王平

推理能力一直以来都是数学教育的重点关注对象。从推理类型来看，初中推理有几何推理和代数推理。几何推理以图形为载体，形象直观；代数推理侧重数和式的变形和转换，相对比较抽象，是学生数学思维向更高层次发展的必备能力。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：要关注基于代数的逻辑推理，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神。因此，教师在初中数学教学过程中，有必要进行点面结合、系统推进，逐步渗透代数推理。下面，本教学案例立足于代数内容的自身特点，把握代数推理的本质，类比几何推理的思维方式，在发展学生代数推理能力的路径与策略上做出了一些探索，现与读者分享。

一、教学过程

1.类比探究

师：生活中除了有相等关系，还有许多的不等关系。从相等关系中我们抽象出了等式的概念，从不等关系中我们抽象出了不等式的概念。那么，等式有等式的性质，不等式有哪些性质呢？

师追问1：我们先回顾一下，等式有哪些性质？它的符号语言是什么？

师追问2：类比等式的基本性质，你觉得不等式的基本性质可能是什么？

师追问3：这些都是大家的猜想，请举例来证明。

［设计意图］在学生回顾等式的基本性质的符号语言时，教师从命题的角度引出用“条件……，结论……”的形式，帮助学生明确性质中的条件和结论，为不等式的基本性质的条件和结论作铺垫。类比等式的基本性质，猜想不等式的基本性质，这样的类比猜想是对知识的迁移与拓展，是研究新问题的重要思想方法。

师：通过刚才的探索，我们发现了不等式有两个性质。你能尝试着用自己的语言去归纳这两个性质吗？

师追问4：我们类比等式的基本性质，猜想得到了不等式的基本性质。那么，它们之间有什么相同点和不同点呢？

师追问5：同学们能用“条件……，结论……”的形式，写出不等式的基本性质的符号语言吗？

［设计意图］学生在初步理解不等式的基本性质的基础上，尝试用自己的语言去归纳不等式的两个性质，自主建构不等式基本性质的内容，再通过与等式的基本性质的对比，完善了对不等式基本性质的认识。学生用“条件……，结论……”的形式书写不等式基本性质的符号语言，明确性质中的条件与结论，对后续演绎推理起到了奠基的作用。

2.简单应用

练习1已知a＞b，用“＞”或“＜”填空。

（1）a+2b+2； （2）a-5b-5；

（3）4a4b； （4）-a-b。

练习2判断下面题目的正确性。

（1）如果a＜b，那么a+2＜b+1；（2）如果a＜b，那么；（3）如果a＜b，那么ac＞bc；（4）如果a＞b，那么3+2a＞3+2b。

［设计意图］练习1是对不等式基本性质的直接运用，有利于加深学生对不等式基本性质内涵的理解；练习2是对不等式基本性质中关键字眼的辨析，有利于加深学生对不等式基本性质外延的理解，其中以第（4）小题为着眼点，引导学生从熟悉的命题角度切入，要说明它是一个真命题，根据以往几何学习的经验，格式应为“∵a＞b，∴2a＞2b。（两边都乘2，不等号方向不变）∴3+2a＞3+2b。（两边都加上3，不等号方向不变）”，自然地得出代数推理的基本形式“因为……，所以……（依据）”。

3.例题探究

例1（1）请用不等式的基本性质说明a+3＞a+1；（2）请用不等式的基本性质说明a+3＞a。

例2已知a＞1，请用不等式的基本性质说明

［设计意图］例1难度较大，教师可以以问题串的形式启发学生思考“解决这个问题的困难在哪（没有条件）？题目中隐含条件是什么？怎样找到隐含条件？”，从而一步步解决问题，让学生体会到代数推理是要有条件和结论的。对于例2，学生可以说出自己的思考过程，画出思维框图并利用思维框图（如图1）来分析问题，展现自己的思考路径，找到思考问题的方向，培养和发展代数推理能力。

图1

二、教学反思

1.重视符号语言

用数学符号表达事物性质、关系和规律，是学生初步形成抽象能力和推理能力的重要载体。本节课教材中没有给出等式和不等式的基本性质的符号语言，只有文字表述。因此，本节课从一开始在写等式的基本性质和不等式的基本性质符号语言时，教师就有意识地引导学生用“条件……，结论……”的形式书写，并将“条件是什么，结论是什么”贯穿于整节课的教学之中，让学生明确每个代数推理问题都应该是有条件和结论的。纵观整节课，符号语言就像是一条暗线，将回顾、探索、性质、应用这四个教学板块有机地串联起来，为后续代数推理起到奠基的作用。

2.层层推进，掌握演绎推理表征

根据对《义务教育数学课程标准（2022年版）》的研读，结合学生学情，“‘数与代数’课程中发展学生推理能力的教学研究”课题组集体研究确定了本节课的教学重点：一是探索不等式的基本性质，二是能运用不等式的基本性质进行两步以内的推理。其中，运用不等式的基本性质进行两步以内的演绎推理是本节课的重点，也是难点。为突破重难点，教师分三个层次推进：第一层次是一步推理，由填空题和判断题的前三小题构成题组。在学生刚刚对不等式的基本性质有了初步认识后，教师设计一步推理有利于加深理解，为多步推理奠定基础。第二层次是条件明确的两步推理，由判断题第（4）小题承载。学生除了要会判断出该命题的真假，还要在教师的指导下学会用符号语言完整证明。由于其条件明确，加上教师之前所做的有关符号表达的准备工作充分，学生完成该推理并不困难。第三层次是蕴含隐藏条件的推理，由例1和例2承载。在解决问题时，学生出现了明显的不适应，此时通过教师引导，学生逐步明确思考的方式方法，整个课堂被推向高潮。

3.绘制框图实现思考路径可视化

思维框图是思维可视化的有效工具，它的结构很好地呈现了大脑自然思考问题时联想到的相关知识，让整个推理过程得到全面的考虑，让学生能更清晰、准确地将相互关联的知识联系起来，找到解决问题的思路，提高解题能力。在分析例2时，学生画出思维框图，展示自己的思考路径。从条件到结论、从结论到条件以及同时从条件和结论出发的“两头凑”都是思考问题的重要途径，这些思考路径必将在学生的脑海中留下深刻的印象。需要说明的是，教师在之前教授几何中的演绎推理时，一直采用思维框图的方式进行。因此，学生对于几何中利用思维框图分析问题、进行演绎推理已经非常熟练，看到这个思维框图能自然地调出以往几何学习的经验，顺利掌握思维框图分析代数问题的方法，提高演绎推理能力。

重视符号语言、分层推进推理内容、强化推理表征、绘制思维框图是教师在寻找发展学生代数推理能力的路径与策略上做的积极探索。本节课可以作为一个典型的代数推理教学课例供读者研究，也期待更多的教师进入这一领域进行深入研究，全面提高初中生代数推理能力。