材料科学与工程中分析-综合思维方法的探讨

卢金斌， 秦艳芳， 彭 漩， 马振武， 齐芳娟， 谢 鸥

(苏州科技大学 机械工程学院， 江苏 苏州 215009)

材料是人类生存的物质基础，随着科学技术的发展，人们对材料的认识已经发生了极大的变化。物理是研究物质结构、物质相互作用和运动规律的自然科学，因此，材料科学也可以认为是不同历史阶段的物理概念和数学理论的再构造。在物理世界中有三个层次：第一层是宏观世界，基本遵循牛顿力学法则；第二层是热力学世界，遵循热力学法则，在材料中遵循材料热力学法则，主要研究材料在外场(如温度、压力)作用下显微结构的演化；第三层是量子世界，主要研究材料电子结构、物理性能等。材料结构按尺度可分为宏观结构、介观结构、微观结构。在不同尺度下，物质由相应作用力结合成材料，然后按人类的要求成为有用的材料。针对不同的尺度，要依据主要矛盾和次要矛盾进行不同的近似，这需要采用不同的物理概念和力学理论。分析与综合是辩证唯物主义的基本思维方法之一，也是形式逻辑的方法之一[1]。按照哲学的观点，分析是把整体事物分解为各个部分、方面、阶段或要素，用相对静止、孤立的观点逐个加以研究的思维方法，包括定性分析、定量分析、结构分析、功能分析等。综合则是在分析的基础上，将事物各个部分有机整合的思维方法，用来把握对象宏观本质的性质[2]。

材料的组成、结构、物性和反应都是有一定层次性的，非常适于采用分析-综合的思维方法进行考察。材料结构的尺度从宏观到介观再到微观，宏观物质由组织、晶粒、位错、分子、原子、原子实、电子组成，采用的是分解的思维方法，然而其逆过程，并不是简单的相加，而是经过有机的结合形成了各种结构直到整体，其每一个层次都呈现全新的性质，这就是综合的方法。所以，借助于材料科学、物理、力学、数学的知识，基于分析-综合思维方法来理解材料科学与工程，有助于人们对材料本质的认识。笔者在十几年的材料科学教学过程中，发现许多大四的学生只是在孤立地学习每门课中的解题、应试方法，并没有充分意识到物理、数学、化学只是描述同一个自然世界的不同方法，而这些课程是普遍联系和自洽的。这种普遍联系的思维方法同样适用于描述和理解材料科学领域，而部分学生却不能很好地综合应用所学的相关知识解决实际问题。因此，在材料类专业高年级教学中，要善于培养学生将材料科学、物理、力学、数学、化学相结合，从宏观到微观，再从微观、局部进行整合，获得材料综合性能的思维方法，使学生的思维得到启发，形成独立思考的能力，以实现知识的综合应用。

牛顿在研究距离、速度、力之间的关系时就是采用分析与综合的思维方法，首先将距离、速度在某一段时间的变化用直线替代曲线，取影响最大的部分，忽略其他部分(即微分)，来研究变量增量与因变量增量之间的关系。然而，将复杂的函数线性化，似乎只能得到近似的结果。其实当变量趋于无穷小时，其距离、速度在一瞬间的变化就是速度、加速度，这种基于某一瞬间变化的思维方法，在数学上就是对时间求导，是一种分析的思维方法。而将速度、加速度在时间上进行累积求和获得距离、速度的过程，在数学上就是积分，这是综合的思维方法。由此可以看出，微积分对待大问题并不是将其分成有限的部分，而是将大问题分成无穷多个最微小并且可以想象的部分[3]。我们可以认为微积分将这种分而治之的策略发挥到了极致，并用这种思维方法推动了科学革命。在材料力学、弹性力学、流体力学、电磁场、传热学、扩散中，经常使用将研究对象在空间和时间上分别划分成某一单元、某一瞬间的研究方法，考察某一点和与该点无限接近的下一个点，或者某事物在某一刻和下一刻之间的差异，并基于微元平衡建立方程组，这是分析方法的进一步应用。进入综合阶段，在认识单元、瞬间的基础上，对其在空间和时间上进行积累，就是整体平衡，也就是综合，在数学上就是积分的方法，反映了复杂宏观的行为。在计算机高速发展的时代，针对大规模计算，以有限代替无穷小，对某一点和某一事物开发了大量的数值计算软件，如有限元、有限差分软件等，在时间和空间进行划分，形成简单而又相互作用的单元，最后用有限数量的未知量去逼近真实系统。

1 基于连续材料的分析与综合思维方法

结构材料通常用于制造受力构件，其在传递或承受各种载荷时，主要考虑其受力及力学响应，在宏观上即力学性能。当考察固体材料的宏观受力时，通常可将结构材料认为是连续介质，固体所占有的空间可近似地看作连续地无空隙地充满着“质点”，质点指的是微观上充分大、宏观上充分小的分子团，其服从连续介质力学。

一部机器是由各种金属和非金属部件组装成的装置，通常会消耗能源，可以运转，并对外产生有用功。其设计过程包括系统设计、零部件设计、精度设计、装配设计等过程，采用的也是分析和综合的思维方法。首先对要求的功能、所需的性能进行分析，将机器分解为部件设计，然后将部件再分解为零件、零件结构、尺寸、精度等；最后再由零件组装成部件，进一步装配为机器，评价其综合性能。由此可以看出，结构简单的零部件经组合后形成了功能复杂的机器，这就是有机整合，其实质也是综合的过程。

在系统设计中，设计机器零部件间的运动关系，就是分析零部件相对运动的规律。通常会忽略零部件内部的受力情况，采用理论力学、分析力学、机械原理进行分析计算。在对零部件进行运动学及动力学计算时也是采用微积分方法获得运动关系、动力学关系。在动力学基础上获得零部件整体受力后，需要进一步考虑零部件内部结构的受力和变形，最终获得所需材料类型、零部件结构和尺寸。这个过程属于机械设计，当设计的零部件可近似为杆件，并仅受到拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转及其因组合等而发生变形时，通常将其所用材料看作均匀、连续且具有各向同性的线弹性物体，结合相关材料的力学性能，采用材料力学即可计算应变、应力。材料力学的主要研究对象是杆件系统，其中对于梁的受力问题，采用的是基于平截面假设的近似一维微分方程，沿杆的方向进行微分，分析每一片单元之间的应力、应变以建立常微分方程，获得截面的应力、应变，其实质也是分析的思维方法。最后经积分获得零部件总的受力、挠度等，这是基于截面法的整体与局部的结合。

当设计形状复杂的零部件时(如齿轮、键、轴、链、螺纹连接等)，为方便工程，应采用一些经验公式、图、表等进行工程计算，获得合理的结构、尺寸、材料，以满足需求。但当需要设计形状复杂的三维零件的受力时，在没有塑性变形的情况下，可将材料看作均匀、连续、各向同性的线弹性物体，且在其符合微小变形和位移的条件时可采用弹性力学计算其受力和变形。弹性力学研究的对象可以是形状复杂的零部件，从空间三个维度把研究对象分解成为连续的微元，因其足够小，可以认为是一个被正方体包裹的点；但也不能太小，不能小到分子、原子，也可以说材料力学不考虑分子、原子。最小的物质就是这个微元，基于力平衡、本构方程、变形连续规律建立三维的偏微分方程进行描述，求解获得应变、应力。然而在实际制造过程中，很难保证零件没有缺陷或裂纹，当材料中存在裂纹时，可以采用断裂力学计算其中裂纹开始扩展的条件和扩展规律，其实质是建立裂纹处微单元平衡，将其简化，分析有裂纹材料的局部应力、应变、裂纹的扩展，最后通过在空间尺度的积分计算，确定裂纹的容许尺寸、评定零点和构件的承载能力。基于分析的微观裂纹扩展，在时间尺度经积分计算，估算裂纹扩展时间，用于估算其使用寿命，从而提出零件和构件的损伤容限设计方法。

在传热学、电磁场、流场、扩散场中依据分析对象的温度、电场、磁场、速度场、浓度等是否随时间变化，分为两种情况。一种称为“稳态”“定态”等；另一种称为“非稳态”“瞬态”“时变”等。为分析瞬态对象随时间的变化，通常需对空间、时间进行微分，获得偏微分方程并求解，以获得温度、电磁场强度、速度、浓度等的分布。这些方法在材料科学与工程中也一直有应用。

2 材料微观结构的分析与综合思维方法

从宏观的角度，通常可将材料看作是均匀连续的“质点”，但实际材料的结构可进一步分解为晶粒、晶胞、分子、原子，其中原子结构可再进一步分解为电子和原子核，不同质子和电子的组合构成了各种元素，再进一步形成复杂的材料。材料按使用性能可分为结构材料和功能材料。结构材料主要考察的是分子、原子之间的结合力。分子、原子间的相互作用主要是电荷间的电磁力，静止的电荷是电场力，运动的电荷相互作用包括电场力和磁力，磁力实质上是电场力的一种相对论效应。相互接触的物体之间的弹力、剪切力、摩擦力、分子力、压力、黏结力等都是相互靠近的原子或分子之间电磁力的宏观表现。功能材料是指通过光、电、磁、热、声等作用具有特定功能的材料，而这些特定功能主要与电子结构及其运动有关，因此对功能材料微观结构的研究需达到电子、原子核的尺度，主要关注微观粒子的能量、动量在时间与空间的分布以及动量与能量之间的关系，对其研究主要采用量子力学与电动力学。

常见固体材料按原子排列有序程度分成晶体、非晶体和准晶体三类。晶体中的原子在空间按周期性排列，具有平移周期性特点，可分解成原胞。结合布洛赫定理，大块晶体的性质可通过分析一个很小的原胞实现。晶体的周期性使其物理量也是空间的周期函数，因此利用傅里叶级数进行展开，从实空间变换到倒易空间，有利于材料物理性能的分析，这种思维方法与牛顿著名的将白光分解为彩色光带的思维方法是极其类似的，可认为是光信号在时域上进行了傅里叶变换转变成频域，再经过合成转变为白光，这也是分析-综合的方法。

2.1 分子尺度的分析与综合

在热力学状态(如压力、温度等)纳米尺度下，当研究对象尺度达到分子、原子时，通过考虑分子、原子之间的相互作用分析其动力学过程，可认为其在微观尺度依然遵循牛顿力学、拉格朗日方程或哈密顿方程原理，用于描述分子、原子的运动，其中相互作用力依据不同的体系采用不同的经验势来描述，如Lennard-Jones势、Morse势、ESFF势、UFF势等[4]，这种将宏观分解为微观的思想就是分析。在获得大量分子、原子等系统微观物理状态后，通过配分函数与宏观物理量统计规律的连结，将微观的过程量进行综合，获得温度、体积、压力、应力等宏观量，这就是统计力学的方法，其实质也是一种分析-综合的思维方法。但由于分子动力学中采用的是经验势，需要依靠经验来确定。而经验势并不考虑局域电子间的强相关作用，得不到原子动力学过程中的电子结构，不能精确求解材料物理性能，如导电、磁、光学性能。

2.2 基于量子的分析与综合

功能材料主要关注导电、光学、磁学等性能，其信息来源于分子、原子的电子结构，因此研究尺度需达到价电子、原子实、内层电子、原子核尺度，采用量子力学才能精确描述。在量子微观世界，由于电子的质量远远小于原子实，因此原子间的相互作用是通过电子移动实现，其受力分析需采用基于薛定谔方程的量子力学，研究的是多体体系中的原子位置和电子的状态变化，但由于多体的数量巨大，直接求解薛定谔方程几乎不可能。随着20世纪90年代密度泛函理论和计算机的飞速发展，目前已实现第一性原理的计算。将电子密度取代波函数作为研究的基本量，通过单电子近似，将多电子体系转化为单电子体系，实现只需要5个基本常数(电子质量、电子电量、普朗克常量、光速和玻尔兹曼常量)的第一性计算，从晶体材料的化学组成和晶体结构出发，通过求解薛定谔方程并经结构优化，得到其各种基本性能，如能带结构、态密度、光学性质、力学性质、磁学性质等[5]。尽管这种计算方法十分复杂，但也是基于分析-综合的思维方法。目前第一性原理计算已经开发有成熟的软件，如materials studio中的Castep、Vasp等。在材料科学与工程中，分析与综合互相渗透和转化，在分析基础上综合，在综合指导下分析。

3 结语

只有通过创新，才能真正突破我国科技发展瓶颈的制约，进一步推动我国经济高质量发展。科学和技术发展史也表明，创新能力的培养依赖于科研思维和创新思维的训练[6]。但传统教学模式注重知识的传授，往往忽略科研思维的训练[7]。分析-综合思维方法的重要性已被大家广泛认可，该方法不仅是解决材料类专业的有效思维方法，也是通用的科学思维方法。然而如何在课程教学、实习、毕业设计等各个教学环节中运用这种思维方法仍然需要不断探索。在材料科学的教学过程中，要启发学生主动尝试在微观的尺度应用分析思维，综合后解释宏观的特征，并认识到分析与综合是互相渗透和转化的，在不同尺度可以多次应用分析-综合。分析一定要有严密的逻辑性，前后相呼应，像剥“葱头”一样层层深入，找出深层次的原因，在此基础上建立合理的数学模型，进行综合，使材料微观组织与宏观性能建立关系。教师在讲课时，要将各种事物的表象进行抽象，使学生明白各种事物都隐藏着物理、力学、数学等科学知识，并严格遵循物理、数学等理论，进一步采用数学中微积分、线性代数等进行描述，培养学生的分析-综合思维能力，这将是今后课程教学、实习、毕业设计等教学环节改革的重要方向。