面向智慧海洋的低复杂度方位估计技术

毕守华，赵云江，娄 毅，*

（1.哈尔滨工业大学（威海）信息科学与工程学院，山东 威海 264209；2.中国船舶集团有限公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003；3.清江创新中心，湖北 武汉 430076）

0 引言

作为物联网向水下场景的延伸，水下物联网（UIoT）为探索和开发海洋的各项技术搭建了桥梁，支持智慧海洋的实现。未来UIoT的预期5层系统架构包括传感、通信、网络、融合和应用层，其中传感层将在全球系统的稳健运行中发挥重要作用。特别地，对多个源进行方位估计，从而推进后续任务将是一个关键问题，例如目标跟踪、水下监测和无线通信。

由于精确定位的需要，大规模传感器阵列正在成为主流，但受到了严格的部署条件限制。相比之下，声矢量传感器（AVSs）被视为更灵活的解决方案。这种传感系统由正交取向的速度传感器和全向压力接收器[1]组成，与传统压力测量相比，可选的速度传感器可以捕获额外的粒子速度信息。由于需要对声场信息做更详细的采集，所以AVSs满足智慧海洋的需求。考虑到矢量传感器的多分量输出，人们提出了不同的建模方法来利用阵列数据的固有多维结构，包括长矢量（LV）[1]、四元数[2]、双四元数[3]和张量模型[4]等。然而，随着通道和传感维数的增加，存储和处理大量收集的数据将导致计算高负荷，这违背了提高能效的目的，缩短了电池供电设备的寿命，同时对观测信号的实时处理提出了更高的要求。在已建立的方法中，LV和张量模型的缺点是由估计和分解二阶统计量引起的高复杂性。四元数模型减轻了计算负担，但通常用于对两分量矢量传感器建模，因此难以处理常用的三分量或四分量矢量水下传感器。为此，提出了双四元数模型，但是牺牲了估计精度。因此，能够消耗较少能量并提供效果优良的、计算高效的方位估计算法是智慧海洋的一个有前途的选择。

基于上述原因，我们提出了一种新的酉四元数（UQ）模型，将传统的基于两分量复值数据的四元数形式扩展到了四分量情况。具体来说，通过酉变换矩阵，我们将AVSs不同组件记录的复信号转换为实值数据。随后，基于四元数定义的表达式和数组数据结构之间的相似性，在逻辑上形成 UQ模型。我们讨论了UQ模型的物理含义，表明这个模型是接收信号的一种非常直观的表达。此外，我们研究了相应的二阶统计量的估计和分解。由于UTM 的引入，它们的计算可以以优异的计算复杂性在实数域中完成。最后，我们分析了UQ模型在未来智慧海洋中的潜在优势。

在本文中，实数、复数和四元数的字段表示为R、C和H，粗体小写和大写字体表示向量和矩阵，上标（·）T、（·）*和（·）H分别表示转置、共轭和共轭转置。

1 系统模型

1.1 酉四元数公式

假设K个远场窄带独立信号的方位角为θ=[θ1,...,θK]∊[-π,π)，俯仰角（分别从正x轴和正z轴测量）为φ=[φ1,...,φK]∊[0,π)。规定

作为沿着传播方向｛θk,φk｝的单位向量，其中u（θk,φk）=cosθksinφk,v（θk,φk）=sinθksinφk,ω（φk）=cosφk。那么，第k个信号的空间上同心的AVS的4×1流形向量给定为

当3个粒子速度分量沿x、y和z轴对齐时，压力分量位于原点。在后文中，相关的术语将用下标（·）l,l=x,y,z,p表示，为了表示方便，将使用下标（·）k代替(θk,φk)。式（2）揭示了AVS可以获取k(θk,φk)的3个笛卡尔分量，从而优于仅进行压力测量的标量对应项。

考虑一个采用中心对称配置[5]部署的N元素AVS阵列，令al,k∊CN×1,l=p,x,y,z为第k个信号的不同分量的导向矢量，k=1,2,...,K，他们应满足[1]：

然后，相应的阵列输出可以建模为

当M个快照可用时，我们有测量值Xl=[xl(t1),xl(t2),...,xl(tM)]，其中xl(tm),m=1,2,...,M是在时间t=tm接收的样本。此时｛Xl,l=p,x,y,z｝可以表示为

式中：S=[s(t1),s(t2),...,s(tM)]是采样信号；Nl=[nl(t1),nl(t2),...,nl(tM)]也是采样信号。

受文献[9]的启发，我们引入了以下数据矩阵：

其矩阵形式为中心埃尔米特矩阵。因此，根据酉变换理论可知，可以利用下式变换成实数值形式：

式中，QN,Q2M为酉变换矩阵。式（7）可以进一步表示为

式中，通过x、y和z轴定向速度分量排列接收的数据被安排在如上所述的的3个虚部中。四元数单位i，j和k之间的关系类似于与AVSs相关联的标准正交基之间的矢量积关系。因此，UQ模型符合四元数代数结构，其构造是自然的，并推广了文献[2]中的传统四元数形式。

1.2 四元数空间中的正交性

与酉 LV（ULV）模型[7]相比，我们遵循文献[2]中的分析方法，展示了所提出的UQ模型在正交性方面的优势。这将有助于人们通常需要执行特征分解以获得相互正交的子空间方法[6]。

一般来说，对于 2个四元数向量q，p，其正交性可以描述为

这产生以下4个等式：

然而，当我们将q和p的所有分量连接成2个实值LVs时：

,的正交性仅推出以下等式：

比较式（15）和式（12），我们可以发现在四元数空间中施加了更强的正交约束。它有助于提高信号和噪声子空间的估计精度，从而补偿因减小协方差矩阵大小而导致的性能损失。

1.3 协方差矩阵的估计

根据AVS的中心对称特性数组，我们有[7]

式中，Φ∊CK×K是由实际应用中的阵列几何确定的酉对角矩阵。根据式（16），式（9）中的可更简化的表达为有了足够的快照，不同组件接收到的数据相关性可以通过下式计算：

注意ΠM，Q2M是2个酉矩阵，我们有

式中：δl1,l2是克罗内克δ函数；Rs,Rn是信号和噪声协方差矩阵，可以写成

式中：diag[x]返回对角线元素为x的对角矩阵；是源的功率。

从表1可以看出，美国规范和欧洲规范的设计值平均是中国规范的0.754倍；说明美国规范和欧洲规范相比较中国规范在极限承载力取值方面更趋于保守。不同规范针对无抗剪钢筋开洞板柱节点计算结果的不同，其差异的原因主要体现在临界截面周长的取值方法不同。

然后，让我们将注意力转向式（9）中的UQ模型，其协方差矩阵可以使用四元数代数来估计：

为了简化式（23），我们利用式（3）将流形矩阵｛Al,l=p,x,y,z｝表达为

式中：U,V,W为3个对角矩阵，其对角元素分别为。将式（25）代入式（19），我们得到l1,l2=p,x,y,z的Rl1,l2=Rl2,l1。该性质有助于简化：

这意味着，利用有限的快照，我们可以仅在实数域中计算｛Rl,l,l=p,x,y,z｝来获得R的近似值，从而实现计算的低复杂度。此外，可以使用实值计算来进行式（25）中R的分解。

注意：对应于文献[8]所提出的粒子速度场平滑技术，式（25）中的R可以看作是｛Rl,l,l=p,x,y,z｝的叠加。因此，UQ模型可以用来处理相干源。典型的情况是当传感器部署在反射边界附近时（例如，安装在船体上的声呐、海底系留声呐和浮动声呐阵列），直接信号和反射信号之间可能会出现相干[8]。在这种情况下，如仿真所示，如果不采取额外的处理，传统模型（例如LV、四元数和双四元数模型）的估计性能将会下降。

1.4 协方差矩阵的分解

考虑到式（19）和式（20），我们将式（25）重写为

最后，R写为

当我们对R进行实值本征分解时，结果可以表示为

当成功检测到源数K时，我们可以通过搜索式（30）的前K个最大值来估计入射角度｛θ,φ｝。

1.5 计算的复杂性

我们根据协方差矩阵的估计和分解来评估算法复杂度，其中基本算术运算是实数乘法(R)。对于提出的UQ模型，这2步都可以在实数域中进行。具体来说，协方差矩阵可以通过式（26）来估计，其复杂度为8N2M(R)。那么，分解R大约需要O（N3）(R)。对于LV模型，通过执行4次实数乘法来完成一次复数乘法，因此2个步骤的总复杂度大致为64N2M+4O（（4N）3）（R）。对于双四元数模型，一次双四元数乘法会产生64（R）。因此，总复杂度约为64N2M+4O（（4N）3）（R）。此外，考虑到显示协方差矩阵的内存需求，我们将UQ、LV和双四元数模型要存储的实数项分别总结为N2，32N2，8N2。

显然，由于酉变换和四元数代数，UQ模型在计算量上具有显著优势。在未来的智慧海洋中，许多传感器将被安装在无人驾驶车辆上，因此通常使用电池供电。在这一点上，计算高效的UQ模型可以减少电池消耗，同时延长能量有限系统的寿命。

2 仿真

与 LV[1]、ULV[9]、张量[4]、四元数[2]、双四元数模型相比，所提出的UQ模型的源定位性能在本节进行了评估。为了简单起见，我们假设所有信号都具有相等的功率，则信噪比定义为。

2.1 空间谱

考虑来自｛θ=60◦,φ=30◦｝和｛θ=60◦,φ=50◦｝的2个声源。为了在二维监控区域定位声源，我们在x–z平面采用10单元平面AVS阵列，如图1所示，其中SNR=7dB，M=95。从图2（a）–图2（e）可以看出，所开发的基于UQ模型的算法精确地定位了具有较窄主瓣和低能量旁瓣的撞击源。

图1 AVS阵列配置Fig.1 AVS array configuration

图2 二维源定位结果Fig.2 Two-dimensional DOA results

接下来，我们采用由7个AVS组成的垂直线阵列用于估计仰角。为了减少能量和时间消耗，我们将可用快照的数量设置为M=50。2个源共享相同的方位角θ=50◦,SNR=5dB。考虑了水下物联网中可能出现的2种场景。在图3（a）中，我们假设位于｛φ1=30◦,φ2=40◦｝的2个源在统计上是独立的，这会导致2个间隔很近的源在检测时出现问题。此时，UQ模型显示了位于真实方向的尖锐光谱峰。

但其他方法在分辨能力方面会经历严重的性能损失。在图3（b）中，2个相干源的仰角被调整为｛φ1=50◦,φ2=90◦｝。实验结果表明UQ模型在处理相干信号方面的优越性。

2.2 估计准确度

假设有位于｛φ1=50◦,φ2=40◦｝且具有相同方位角θ=50◦的2个独立源，我们使用基于蒙特卡洛试验计算的均方根误差（RMSE）评估所测试算法的仰角估计准确性。图3给出了RMSE与信噪比的关系，其中快照数为M=100。UQ模型在低SNR中对2个到达方向产生最精确的估计。值得注意的是，对于具有低SNR的场景进行源定位是非常困难的。在这一点上，UQ模型的优越性能通过仿真得到了验证。

图3 真实方位角处的频谱切片Fig.3 Spectral slice on true azimuth angle

图4 算法估计精度比较Fig.4 Comparison of algorithm estimation accuracy

3 结束语

本文提出了一种基于酉变换的UQ模型，该模型具有多种优点，符合智慧海洋的要求。UQ模型可以使用实值计算来估计和分解相应的协方差矩阵，从而具有优良的计算复杂性。在仿真实验中，我们的方法显示了在空间分辨率和消相干方面的优越性。需要指出的是，该方法在低信噪比条件下，提供了比一些已有的方法更精确的到达角估计。