教而后记，学之有成——由教学后记引出的教学思考

江苏省南京市钟英中学 季 伟

教学后记，受限于时间和空间，只简短地记录教学中的感受，很多时候上课时感触很多，课后教案上也只是留下只言片语，很容易遗忘。但如果养成阶段性整理和思考的好习惯，就会使我们受益良多。

写教学后记能帮助教师迅速接收课堂中的反馈信息，克服教学中的干扰因子；有助于找出教学设想在具体实施过程中的成功和不足之处，为调整教学提供可靠依据；有助于加深对课程标准的领会、教材的理解和加大教法的改革力度。它是促进自己教学水平、教学能力提高的有效途径。

笔者在整理近日的教案时，对教学后记及相应的教学片段进行了整理和思考。笔者强烈地感受到，教师要在课余认真读书，学习先进的教学理念，教学设计要提出好的问题和自然的教学过程，使得教学优质高效，尊重学情，能适度进行调整，发挥教师的教学机智。

一、研究课标，精读教材，更新教学理念

十年树木，百年树人，树人大计，教师为本。教师要想课堂优质高效，教出优秀的学生，首先要有先进的教学理念，而更新教学理念的最有效的方法就是静下心来读书。读什么书？《义务教育数学课程标准》（以下简称《课标》）和教材是首选。研究《课标》，能使我们清晰数学的本质、数学课程的性质、基本理念、设计思路、数学课程目标和内容等；而教材作为实现数学课程目标、进行课堂教学的重要素材，凝结了教育专家们的心血，是教师备课的不二之选。它不仅值得，更是需要我们认真精读、反复研读。

在“同底数幂的乘法”这节课中，笔者根据课堂教学过程，写下教学后记：“本节课在运算性质的探究上，花费了较多的时间，导致后面的巩固提升环节时间不够，但个人认为是值得的，也是必要的。同底数幂乘法的运算性质是幂的运算中第一个运算性质，本节课的探究，既获得这个性质，也是为后续研究其他运算性质提供范式。在探究的过程中，由于临时增加了两个问题，用时超出了预期。但对学生而言，在学习过程遇到困难时，能借助教师具有启发性的问题，自己解决困难，这样的学习过程，有效地积累了数学活动经验，增强了学习的信心，积攒了学习的宝贵财富。”教学片段如下。

PPT展示：一种电子计算机，每秒可进行1014次运算，工作103秒可进行多少次计算？

笔者提问：“怎样解决这个问题？”学生答：“用1014×103。”

笔者追问：“用乘法进行运算，你能得出这个算式运算的结果吗？请同学们在草稿本上先试着算一算。”（巡视一圈发现，只有少数几个同学能够正确进行运算，大多数同学束手无策）

笔者发现这个问题有难度，先让学生回答这样一个问题：“102是什么形式？105呢？”

生：“是有理数幂的形式。”

笔者：“我们在七年级学习有理数的运算时，知道乘方运算是特殊的乘法运算，那么你能写成乘法的形式吗？”

学生齐答：“10×10，10×10×10×10×10。”

笔者继续提问：“你能计算出102×105的结果吗？结果能写成幂的形式吗？”

生：“102×105＝10×10×10×10×10×10×10＝10000000＝107。”

笔者：“请用相同的方法计算103×106，结果写成幂的形式。”

生：“103×106＝10×10×10×10×10×10×10×10×10＝1000000000＝109。”

笔者：“那你现在会计算1014×103吗？”

生：“是1017。”

经历上述两个运算，让学生进一步思考：如果将指数一般化，10m×10n(m、n是正整数)等于什么呢？

生：“等于10m＋n。10m有m个10相乘，10n有n个10相乘，所以10m×10n一共有（m+n）个10相乘，写成幂的形式就是10m＋n。”

笔者追问：“再进一步，将底数也一般化，am×an(m、n是正整数)又等于什么呢？大家会算吗？”

教学后记中写道“花费了较多的时间”是因为笔者本来的教学设计是问完1014×103的结果之后，直接提问10m×10n等于什么，但巡视时发现大多数学生对于计算1014×103束手无策，所以停下预设追问的脚步，临时增加了两个问题——“102×105”和“103×106”。前一个问题，教师引导学生思考并完成（回顾乘方的意义）；后一个问题，学生独立思考并完成。附加的问题显然给了学生启发，使得学生思考10m×10n时有方法可以类比。学生回答出10m×10n＝10m＋n，笔者追问：怎样得到的？学生已经能从乘方的意义出发，进行代数推理了。最后，学生自己推理出同底数幂的乘法运算性质am×an＝am＋n（m、n是正整数）。同底数幂的乘法运算性质是学习幂的运算其他性质的基础，其探究过程也与后续几种幂的运算性质的探究过程类似，所以本节课笔者不吝时间，让学生深刻地感受探究的“套路”，让后续的探究有法可循。在探究过程中，笔者不断追问学生为什么，意图让学生不仅要知道算法，还要明晰运算的原理。

上述的这则教学后记，涉及学生的探究活动，以问题为引领，以充足的时间做保障，使得学生的探究活动真实而有意义。笔者发现后，及时思考，做出调整，尽可能减少学生的损失。从教学片段中可以看出，教师已然成为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，关注学生的学习过程、思维过程，并在教学过程中反复渗透特殊与一般、归纳、类比等数学思想方法，这些教学行为都来源于平时研读的《课标》和教材，反映了教师先进的教学理念。就在前几天，笔者听了一位教师的“同底数幂的除法”这节课，教师开课就在黑板下写下“am÷an＝?”，并用时6分钟就和学生一起得到了运算性质，然后进入例题操练。听完那节课，笔者深深地感受到这种不关注过程、不关注学生思维、偏离《课标》精神的课堂教学是真实存在的，其背后的主要原因，是教师教学理念的落后。所以，教师必须认真读书，及时更新教学理念，与时俱进。

二、问题精致，过程自然，有效设计教学

教学设计是在教育教学理论和思想的指导下，根据教学对象和教学内容，制定教学目标，设计教学问题、活动以及具体步骤的完整过程。有效的教学设计是课堂优质高效的前提，是学生学有所得的保障，是所有教师孜孜不倦的追求。曹才翰、章建跃博士在《中学数学教学概论》中提出，优质的教学设计有两个关键点：提出好的问题和设计自然的过程。所以，我们平常的教学设计在问题的提出方面需多花心思，大胆设计，精心打磨，教学过程尊重教学规律，重视数学原理，打造问题精致、过程自然的优秀教学。

在“同底数幂的除法”这节课中，笔者根据课堂教学过程，写下教学后记：“本节课情境的设计感觉不好，主要的原因是‘26÷24＝22’这个等式得出，对下面运算性质的探究活动有负面影响，学生似乎掌握了套路，仅从情境中的式子就猜到了同底数幂除法的运算性质，但是并没有真正理解同底数幂除法的运算性质，所以后续通过计算来探究性质这一教学活动没有落到实处，探究有了掺假的成分。好在第二节课做了及时调整，修改了情境中的数据，同时增加了对运算过程的要求，效果好多了。”教学片段如下。

PPT展示：一个长方体的体积是26cm3，底面积是24cm2，求这个长方体的高。你能解决这个问题吗？

学生马上回答道：“用26÷24＝22。26是64，24是16，64÷16＝4＝22。”

笔者：“那‘26÷24’是怎样的运算？”

学生齐答：“同底数幂的除法。”

此时表面上来看，学生能够做出正确解答，并且能够用自己的语句模仿描述出同底数幂的除法名称。但自习分析后，笔者发现26÷24这个引例起了负面作用，部分学生是在利用有理数的乘方运算法则，将26÷24这个算式转换成64÷16这个算式后，利用有理数的除法运算得出的结果。

PPT展示：问题1，计算下列各式。

（1）28÷23＝______ ，25＝_______；

（2）（-3）5÷（-3）2＝______ ，（-3）3＝______ ；

笔者巡视时发现学生的运算速度大大出乎自己的意料，非常快。学生普遍出现了这样的解答方式：28÷23＝28-3＝25＝32，下面两题也是这样算的。突如其来的情况让笔者有点接不上话，笔者提问：“为什么可以这样算？”学生类比同底数幂的乘法答道：“同底数幂相除，底数不变，指数相减。”

……

课间的十分钟，笔者对教学设计做了一些调整，来到另一个班。

PPT展示：一个长方体的体积是310cm3，底面积是34cm2，求这个长方体的高。

学生回答：“是310÷34。”

笔者：“这是怎样的运算？”

学生回答：“同底数幂的除法。”

PPT展示：问题1（同上）。

笔者让学生写出计算的过程。之后再观察这三个小题，有什么发现？

第一节课的情境引入可谓失败，备课时，设计长方体的情境，原本希望给学生一个好算一点的式子，既能感受同底数幂除法的必要性，又能初次感受同底数幂除法的运算性质，没想到学生却借此“经验”，快速解决探究中的计算问题，使得运算性质的探究名不符实。调整之后，情境中的数字较大，不好计算，学生感受到同底数幂除法运算的必要性，却无从知道运算的结果，设置了一个悬念。对于后面探究活动中的计算，笔者做出明确要求——要有过程，学生只能脚踏实地、按部就班地进行计算，使得探究有了实效。尤其是计算第三个式子，学生给出了两种算法，后一种算法正是同底数幂除法的运算性质的推理过程的特殊形式，为运算性质的得出做了铺垫。

“幂的运算”这一章，主要是基于运算性质的教学，而运算性质的得出有它们的共性——归纳。结合两个教学片段可以看出，两节课都设计了问题情境，让学生感受运算的必要性，然后都是从特殊、具体的例子出发，用问题或者问题串激发学生思考探究，从而得出一般、抽象的运算性质。不同之处在于，同底数幂的乘法作为幂的运算中的第一个运算性质，遵循学生的认知规律和最近发展区理论，教学的问题和问题串设计“小而碎”，从具体的“1014×103”，到指数一般化、底数一般化，一步一步走向最终的高度抽象的运算性质，其间，每一步都追问其原理，体现了运算教学中知算法、明算理的教学原则。同底数幂的除法是本章最后一个运算性质，学生已经积累相当的经验，所以问题的设计“大而整”，给出三个式子让学生计算，通过式子结构和计算结果，学生自己观察、思考、猜想、归纳，再进行代数推理论证，得出运算性质。从上述的“同和异”不难看出备课时细腻的心思，即对精致问题和过程自然的追求，对教学设计高效、教学效益最大化的渴望。

三、尊重学情，适度调整，发挥教学机智

《课标》在课程基本理念中指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，这里“学生的认知发展水平和已有的经验”就是指学生的学情。好的教学，教师心中一定对学生的学情充分掌握，并在教学设计中体现出对学情的尊重。

在“平行四边形（3）”这节课中，笔者根据课堂教学过程，写下教学后记：“本节课是平行四边形的第三课时，在前两课时中，学生已经了解并掌握平行四边形的性质及判定方法，因为平行四边形有四种判定方法，学生在解题过程中如何选择，并如何优化选择最便捷的判定，是本节课的重点也是难点。所以如何让学生发现，并逐步归纳优化选择方案，成为笔者头疼的问题。幸运的是，笔者在本节课中精选了两题，让学生有了充分且充足的时间进行思考并探究，辅以小组合作学习，让学生充分参与学习与研究，积累了数学活动经验。”教学片段如下。

图1

笔者巡视一圈，发现个别学生无法解决，笔者适当点拨，让学生能用一种方法解决此题。完成之后，笔者先不讲解例题，让学生再用另一种方法解决，目的是让学生进一步回顾平行四边形的四种判定方法之间的内在联系。在学习判定时，每一种判定方法在证明时，都可以转化为平行四边形的定义，所以四种方法之间存在相通性，但是碍于学生的学情，可能无法用自己的语言组织出这样的结论，所以安排这样的提问。

有的学生用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明，有的用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来证明。笔者继续追问：“能用‘一组对边平行且相等的四边形是平行四边形’来证明吗？‘对角线互相平分的四边形是平行四边形’呢？四种方法皆可，你有什么发现呢？”学生答道：“四种方法都能用，但是用‘对角线互相平分的四边形是平行四边形’最方便。”

在此时本节课推至高潮，学生不仅从直观上发现平行四边形的判定方法之间的内在联系，并且能有效找出最优化的解决方法。

（笔者灵机一动，再出一题）

PPT展示：如图2，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，求证：四边形DBCF是平行四边形。

图2

笔者问：“最优化、最便捷的方案又是什么呢？”

学生答道：“用‘一组对边平行且相等的四边形是平行四边形’这个判定方法最快。”

笔者追问：“再小组讨论一下，如何优化选择方案？”

学生答：“看条件，条件给在哪里，就选择哪种判定方法。”

安静的自学氛围，激烈的讨论，充分调动着学生学习数学的热情，学生在解决第一题时，往往只愿意用一种方法解得答案即可，但是笔者在语言的引导与要求中，不断“逼迫”学生进一步思考探究，不断将分裂的知识融合为一个有序的链条。在小组合作学习中，学生找到了自身价值，也树立起挑战困难的信心，原本需要大量练习来归纳的内容，仅仅两道题，就迎刃而解。

在本节课的教学片段中，学生已经掌握所有平行四边形的判定方法，所以提出第一个例题学生是可以解决的，是可行的，这属于尊重学情。但是当学生束手无策，教师附加过渡性问题，或者附加合作学习形式，给予学生帮助，这也属于尊重学情。重视学情的教师，是机智的教师；尊重学情的教学，是有效的教学。

教师通常在备课时完成教案，教案中的教学设计就是教师在课堂教学中将要实施的方案。这样的方案是静态的，而学生是个性的、发展的，教学过程是动态的，所以课堂上经常有教师始料不及的问题和现象发生，教育学中的专有名词叫“预设和生成”。在同底数幂的乘法中，学生算不出“1014×103”是意外的生成，这个意外却促成了教师的教学机智，接连附加两个问题，帮助学生解决困难。在同底数幂的除法中，教师的预设不够充分，情境的设计不够优质，导致后续的教学出现尴尬的场面，而课间十分钟的思考和调整，使得教学的有效性显著提升，体现了教师的教学机智。在平行四边形的判定中，学生对于方法之间的联系感到陌生，根据学情，教师增加解决方法的多样性，并结合合作学习模式，让学生在探讨中，发现并掌握相关知识间的联系，达到举一反三的效果。

综上所述，无论从笔者的教学后记，还是从真实的教学片段都可以看出，教师的教学要尊重学情，并且在教学过程中，要因地制宜、适度调整，发挥教师的教学机智。