初中数学反证法的逻辑基础及应用分析

2023-01-08王逸勤施春玲

福建基础教育研究 2022年7期

关键词：反证法量词结论

王逸勤施春玲

（1.福建教育学院数学教育研究所，福建福州350025 2.福州大学至诚学院，福建福州 350001）

反证法是数学证明的重要方法，在数学解题中具有广泛应用，有利于发展学生推理素养.那么，反证法为何是可靠、有效的？其重要依据和逻辑基础是什么？它的适用条件和使用范围是什么？在初中数学中又有哪些具体应用？

一、反证法的逻辑基础

（一）反证法是间接证明的一种方法

数学证明按照是否直接证明一个数学命题，可将数学证明分成直接证明和间接证明.［1］数学中常用的间接证明方法包括同一法和反证法，因此反证法属于间接证明的一种方法.［2］

（二）反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律

数学证明须遵循逻辑规律.首先假设“命题结论不成立”，如果在同一思维下推导得出矛盾，根据逻辑规律中的矛盾律，“命题结论不成立”与“命题结论成立”不能同时成立，其中至少一个是假的.而推导过程是合理的，矛盾是由“命题结论不成立”引发的，由此我们得出“命题结论不成立”是假的.再根据逻辑规律中的排中律，“命题结论成立”与“命题结论不成立”必有一个是真的.由于“命题结论不成立”是假的，因此“命题结论成立”为真.

（三）反证法并不一定等价于证明了原命题的逆否命题

用反证法推导得出的结论只要与已知事实（定义、公理、定理）、题设或反设相矛盾或自相矛盾即可.若推导出的结论与题设矛盾，且在推导中不用到题设条件，那么就相当于证明了原命题的逆否命题；若推导出的结论与已知事实或反设相矛盾或自相矛盾，或在推导中用到了题设条件，那么此时就不是证明了原命题的逆否命题.

（四）“有效增设”——反证法有效性的逻辑分析

对于所要证明的命题，增加条件而不改变题意，使得更容易解决问题，叫做“有效增设”.有效增设是一种重要的解题策略，在数学证明中经常会用到，比如构造对偶式、对参数进行分类讨论等，均可以产生“有效增设”.从有效增设的策略来看，反证法之所以有效，往往是由于其能够给题目增加条件.用反证法证明p→q，相当于证明p∧-q→r∧-r,这就相当于给p增加一个条件-q，特别是p信息少或q不好表示而用-q更好表示时，这个“有效增设”的优势就更突出了，而反证法是产生“有效增设”的一个重要途径.

二、反证法适用条件和范围分析

从逻辑意义上讲，对于任何数学命题的证明，既能用直接证法又能用反证法.那么什么时候要用反证法呢？一般从正面思考不易，直接证明有困难，才考虑从反面考虑.究竟哪些命题更适用反证法呢？

（一）否定性命题

数学中的定义、定理、法则等一般是肯定型的.而此类命题的谓词通常是用否定的，如“不是有理数”.

（二）“至少”“至多”类命题

该类型的命题结论常用“至少”“至多”等量词.需注意的是，在对命题结论进行否定时，其量词要进行相应的转换，即全称量词要改成存在性量词，存在性量词要改成全称量词.

（三）存在性命题

所谓存在性命题，即所讨论对象在一定条件下是否存在的问题.该类型的命题结论常以“存在……，使得……”等形式表示.

（四）唯一性命题

所谓唯一性命题，即所讨论数学对象在存在的条件下是否唯一的命题.该类型命题的结论常以“唯一……”“恰好有一……”等形式表示.

（五）无限性命题

所谓无限性命题，即命题结论所表达的对象有无穷多个的命题.比如“质数有无限多个”.该类型的命题结论常出现“无穷”“无限”等量词.

（六）较少条件的命题

像平面几何和立体几何等数学分支，在公理体系的起始阶段，一些性质和定理很难直接证明，或有些命题条件较少，或可依据的相关定义、定理、法则很少，从正面考虑困难，此时可考虑从反面解决.

（七）逆命题为真的命题

有时所要证明命题的逆命题成立，此时正面思考困难时，可考虑从命题结论的反面出发来解决，证明中可以充分利用逆命题这一已知的事实，也即利用原命题的逆命题的结论来解决问题.此类命题如“若三角形的两内角平分线相等，则此三角形必为等腰三角形”.

三、初中数学中反证法应用例析

小学阶段对反证法没有明确要求，但作为一种思维方式，在小学教学中也经常可见其身影，比如在教学“三角形两边之和大于第三边”时，在判断“一个三角形中不可能有两个钝角”时，等等.初中阶段在课标中明确提出了“通过实例体会反证法的含义”，［3］但由于初中没有给学生系统地专门介绍有关这方面的知识，只是零散地以例题形式分散在教材的不同地方，不少教师对此并没有清晰的认识，因此很有必要对现行教材中反证法的应用实例进行梳理.此外，还将例谈反证法在中考试题解答中的重要应用.

（一）反证法在教材中的应用例析

分析：毕达格拉斯学派认为“万物皆数”（指有理数），该学派中一个成员却发现“不是有理数”，由此导致无理数的发现.无理数的发现过程被称为数学史上的第一次危机，它促使人们从靠直观或经验而转向靠证明.如何证明这一命题呢？这是一个否定性命题，因此可考虑从结论的反面入手.也可看作是证明“是无理数”这一肯定性命题，但不难发现几乎没有什么可利用的条件，因此可考虑利用反证法产生“有效增设”，即假设它不是无理数，则它肯定是有理数，于是就可以得到“（p、q为整数且p、q互质）”这一推证的基础.（具体证明过程略）

［例2 命题］两直线平行，同位角相等

分析：这是平行线的一个性质，直接证明较难，同时我们知道平行线的一个判定：“同位角相等，两直线平行”，此判定和性质是互为逆命题的，因此这是个逆命题为真的命题.假设两同位角不等，则可以做出一个同位角相等的角，于是根据该逆命题，又得到了一条与已知直线平行的直线，这就与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾.（具体证明过程略）

［例3 命题］经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆（见人教版教材“圆”这一章节中的“思考”）

分析：经过同一条直线上的三个点能否作出一个圆？我们无论是徒手画还是借助几何画板都画不出来，然而要确认“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”，不能依靠观察、猜想、验证的方法，而必须进行推理论证.命题“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”是一个否定性命题，因此我们可以考虑反证法，即假设“经过同一条直线上的三个点能作出一个圆”，根据垂径定理，则可马上得出与定理“在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线相互垂直”相矛盾的事实.（具体证明过程略）

（二）反证法在中考中的应用例析

反证法在全国各地中考中，多数没做考查要求，但掌握了反证法的原理和方法，有利于我们分析和解决各类问题，在拓展解题思路的同时，也提高了解题的有效性.下面举例说明反证法在各省中考数学试题解答中的应用.

1.利用反证法来进行推理与判断

［例4］（2018 年福建省中考）已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0 有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）

A.1 一定不是关于x的方程x2+bx+a=0 的根

B.0 一定不是关于x的方程x2+bx+a=0 的根

C.1 和-1 都是关于x的方程x2+bx+a=0 的根

D.1 和-1 不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

分析：很多考生选错答案，甚至部分教师认为答案D 有误、C 是正确的.D 是一个否定性命题，正面无法判断，可以用反证法从反面推理.假设1 和-1 都是关于x的方程x2+bx+a=0 的根，则有b=a+1 且b=-(a+1)，由方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0 有两个相等的实数根，得到b=a+1 或b=-(a+1)，这与b=a+1 且b=-(a+1)矛盾.因此，1 和-1 不都是关于x的方程x2+bx+a=0 的根.

［例5］（2013 年江苏省扬州市中考）如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的是b、n两个量之间的同一关系.

①略；

②劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d(mn)=d(m) +d(n)，

d=d(m)-d(n).根据运算性质，填空：（略）；

③如下表1 中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.

表1

分析：③要求找出错误的d(x)并说明理由，可用反证法进行推理与判断.假设d(3) ≠2a-b，则d(9)=2d(3) ≠4a-2b，d(27)=3d(3) ≠6a-3b，这与题设“d(x)有且只有两个是错误的”矛盾.因此，d(2)=2a-b；假设d(5) ≠a+c，则d(2)=1 -d(5) ≠1 -a-c，d(6)=d(3) +d(2) ≠1 +a-b-c，d(8)=3d(2) ≠3 -3a-3c，这也与题设“d(c)有且只有两个是错误的”矛盾，因此，d(5)=a+c.从而d(1.5)和d(12)有误.

2.利用反证法来进行推理与证明

［例6］（2010 年辽宁省鞍山市中考）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角.

分析：这是条件较少的命题.假设等腰三角形的底角不是锐角，则底角≥90°，则两底角≥180°，则等腰三角形内角和＞180°，这与三角形内角和定理矛盾，故反设不成立.故命题得证.

［例7］（2007 年广东省梅州市中考）已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点

（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；

（2）求证：对任意实数m，点M(m,-m)2都不在这个二次函数的图象上.

分析：由（1）得知二次函数的解析式y=-(x+1)2+2.下面证明（2），这是个“至少”“至多”类命题.假设存在实数m1，使得点M(m1,-m12）在这个二次函数的图象上，因此，-m12=+2，此方程无解（因为d=-8 ＜0），这与(m1,-m12) 方程y=(x+1)2+2 的解矛盾，故反设不成立.故命题得证.