考虑顾客有限理性的汽车租赁需求无约束估计方法

杨亚璪，张礼平

(重庆交通大学 交通运输学院，重庆 400074)

收益管理系统中的顾客需求，会受到库存限制无法得到满足，造成需求预测的准确性下降和库存优化策略的低效[1]。常采用无约束估计对历史预订数据进行修复，以缩小其与真实需求之间的差距。

无约束估计研究主要集中在航空业，分为基础法、数理统计法和选择模型法等[2-4]。Gallego等[5]提出一种广义吸引力模型，利用改进EM算法(expectation maximization algorithm) 确定模型参数，在明确掌握产品市场份额时，估计结果更准确。郭鹏等[6]以短视型和策略型顾客偏好排名列表为基础，利用不完备的历史预售数据，以EM算法对顾客到达率和选择模型概率质量函数进行联合估计，有效避免了对“初始需求”的高估。在汽车租赁领域，Zhu[7]基于分解算法利用预售系统记录的拒绝量预测潜在需求，该方法的重点在于识别、分解和移除不属于潜在需求的部分，同时对于过度利用价格影响需求的情形不适用。Kourentzesa等[8]将小规模和间歇性需求预测的结果应用于无约束估计，证明了阻尼趋势指数平滑和具有特殊成本函数的Croston方法可以减少对真实需求的估计误差，但也强调了没有考虑不同产品的需求可替代性。杨亚璪等[9]基于顾客租车行为调查，利用多项Logit模型处理数据求得顾客偏好概率，通过改进的Spill模型实现了无约束估计。

综上，已有文献大部分停留在短视型顾客行为和单一车型，而现实中顾客行为是有限理性的，汽车租赁商一般会提供多价格等级的产品，且各等级之间具有部分替代性。本文在顾客有限理性假设下，以前景理论为基础，对需求转移行为进行定量分析，推断顾客租车的“初始需求”，并通过实例验证模型的有效性。

1 问题描述

顾客受到认知能力、市场不确定性因素的限制，在租车前无法完全了解各方案的服务属性。其决策行为介于短视型和策略型之间，得到的方案只是满意而非最优，最终决策结果是有限理性的。前景理论认为个体决策依赖于参考点的损益，且对等量损益的感知有所差异。个体一般会依据已知信息设定产品价格或质量的心理预期，并将实际产品和心理预期进行对比，然后作出决策，以期达到效用最大化[10]。

当某价格等级车型的预订量达到限额时，形成“溢出”效应，租车系统会关闭，即发生定时截尾；若顾客选择其他车型，会产生需求转移，形成“再现”效应。租车系统记录的数据反映了顾客的选择结果，即被满足的“初始需求”和“再现需求”，无法反映“溢出需求”(图1)[11]。“溢出”和“再现”效应导致了租车系统记录的历史发生数据有删失，也加大了需求预测的难度。一方面，“溢出需求”被忽略，对未来的真实需求产生低估，并且随着预售时长的增加，系统收益将产生“螺旋式下降”(spiral-down) ；另一方面，由于重复记录被替代车型的“再现需求”，导致对未来的真实需求产生高估。因此，需利用无约束估计方法，通过识别和分离溢出量和再现量来修复预订数据，以消除溢出效应和再现效应的影响，获得顾客真实的需求。

图1 不同需求与预订数据的关系Figure 1 Relationship between different requirements and reservation data

2 多舱位Spill模型的改进

Swam[12-13]提出单舱位Spill模型，假设顾客需求服从某概率分布，以租车系统记录的历史发生数据标定模型参数，包括位置参数(均值) 和尺度参数(标准差)，通过数学期望计算需求超过订购限制时的损失数量。单舱位Spill模型能够“修复”需求总量，但忽略了舱位之间的转移替代，可能引发需求高估。多舱位Spill模型更符合实际情况，因为该模型对升级和降级购买(buy-up &down) 行为都有考虑，提高了无约束估计的精度[14]。然而，多舱位Spill模型只考虑需求“溢出”效应，主要计算“溢出需求”，忽略了“再现”效应的影响。本文针对两种效应和顾客有限理性行为，考虑顾客在替代车型下的选择行为，将顾客的主观决策行为融入到Spill模型，提出基于截尾数据的无约束估计方法。

2.1 模型假设

1) 各价格等级车型的需求随机且相关，并服从正态分布。

2) 顾客的支付意愿根据价格由低到高，并服从正态分布。

3) 库存数量固定，无取消预订或预订后不到场(no-show) 行为，不考虑超售和批量需求。

2.2 变量定义

i为待租车型的价格等级，i=1,2,···,m。

t为库存控制的决策时间点，t=0,1,···,T，当t=0时，预售系统开放；当t=T时，预售系统关闭。

Δt为t与t-1之间的预售提前期间隔。

Zit为车型i在Δt的可观察订购量。

BLit为车型i在Δt的订购限制数量。

ci为车型i在Δt的平均价格。

cit为车型i在决策时间点t的预售价格。

Si为车型i未受约束的可观察订购量集合。

为车型i受约束的可观察订购量集合。

Iit为车型i在决策时间点的预售状态，等于“1”表示预售开放，车型i的需求在 Δt内未受到约束，Zit∈Si；等于“0”表示预售关闭，车型i的需求在 Δt内受到约束，Zit∈。

为车型i在Δt内的“再现需求”。

为车型i在Δt内的“溢出需求”。

Xi为车型i的“初始需求”，满足参数为 µ和δ的正态分布，其概率密度函数为fi(x)。

Uit为“溢出”效应下车型i在Δt中的无约束估计量。

为通过无约束估计方法得到的车型i的“初始需求”。

CUit为车型i在Δt内的真实需求。

2.3 模型建立

2.3.1 租赁决策规则

用离散选择模型描述顾客选择行为，效用值越大的车型被选择的概率越大。定义车型i的效用函数为Vi=vi+ζi。其中，vi是顾客选择车型i的平均效用；ζi是随机效用误差，服从Gumbel分布且相互独立。则顾客选择车型i的概率为

用前景理论中效用度量体系的价值函数度量车型效用，以wi表示顾客对车型i的支付意愿，以α(0＜α＜1) 和 β(0＜β＜1) 表示风险态度系数。由于面对收益时是风险规避，面对损失时是风险喜好，并且对损失比收益更敏感，引入损失规避系数λ(λ≥1)，则

支付意愿主要受两方面的影响：个体历史认知与客观市场竞争，分别对应内部支付意愿与外部支付意愿。前者是历史支付意愿和价格的加权平均[15]，后者可利用市场最低、最高和均价等3个特征值的均值表征[16]。本文将影响支付意愿的因素确定为顾客心理变化、外部竞争信息和价格变化趋势等3个方面。假设顾客对车型i的 支付意愿wi服从正态分布N(τi,)，租赁价格与支付意愿正相关，支付意愿随车型价格逐级递推，则

其中，a(0＜a＜1)为记忆参数，衡量对低等级车型价格的依赖程度，通常a=0.6；Δc=ci-ci-1表示车型的价格级差，用于反映价格变化趋势；ηi表示顾客对外部环境的感知判断，该值越大说明支付意愿越强，升级租赁的可能性越大；pmin、pmax和paverage分别表示外部环境价格的最低、最高和均值。

2.3.2 需求转移概率

某价格等级车型的预售关闭时，顾客可能升级租赁或放弃租赁。理论上，升级租赁需求可能转移到所有更高等级的车型，但由于价格敏感性的原因，低等级车型的需求常会升级到与之相邻的上一等级。按效用最大化准则，升级租赁的条件是高等级车型对顾客的效用大于低等级车型，即Vi＞Vi-1，可根据支付意愿与租赁价格的关系分类讨论。

情形1wi＞ci，wi-1＞ci-1。两种车型的效用均为正，顾客从车型i-1转移到车型i需满足Vi＞Vi-1，即(wi-ci)α＞(wi-1-ci-1)α。由于α＞0，可简化为wi-ci＞wi-1-ci-1。将式(3) 代入其中，可得此时，转移概率为

其中，Φ是正态分布的分布函数。

情形2wi≤ci，wi-1≤ci-1。两种车型的效用均为负，Vi＞Vi-1时，-λ(wi-ci)β＞-λ(wi-1-ci-1)β。由于β＞0，λ＞0，可简化为wi-ci＜wi-1-ci-1。将式(3) 代入其中，可得。此时，转移概率为

情形3wi＞ci,wi-1≤ci-1。高等级车型效用为正，低等级车型效用为负，顾客一定会选择高等级车型。此时，转移概率为

情形4wi≤ci,wi-1＞ci-1。高等级车型效用为负，低等级车型效用为正，顾客一定不会选择高等级车型，转移概率为0。

综上，顾客需求从车型i-1转移到i的概率为

2.3.3 模型改进

1) 需求“溢出”情形。

当Iit=1时，Zit∈Si，顾客租车需求在 Δt内未受约束；当Iit=0时，Zit∈，顾客租车需求在 Δt内受到约束，需要计算“溢出”以得到Uit。

由于顾客的支付意愿是从低到高排列，故“溢出需求”可以从低等级开始计算。当i=1时，“溢出”为[17]

当i＞1时，相邻价格等级车型之间的需求存在转移，计算时，要考虑从车型i-1转移的“溢出”。Iit=1时，“溢出”为0；Iit=0时，

2) 需求“再现”情形

3 数值算例

某汽车租赁公司门店可以提供5种价格等级的车型，由低到高依次为A～ E，提取该门店主要信息(包括连续一周的订购车型、价格、取车还车门店、订购时长等订单数据) 进行分类整理，得到表1的基础数据。

表1 各价格等级车型一周订购数据Table 1 Weekly order data for each price class

以品牌汽车租赁商发布的同期价格为参考，确定外部市场环境价格，可得η2=4，η3=2，η4=-5，η5=-5。最低价格等级车型1的支付意愿w1为131元，标准差 ξ1取11.54。根据式(3)～(7) 可得到各车型之间的需求转移概率，见表2。分别计算预售提前期间隔内，5个价格等级车型的“溢出需求”“再现需求”和“初始需求”，如表3所示。

表2 各价格等级车型的支付意愿Table 2 Willingness to pay for each price class

将本文提出的方法(简称“SS”) 与多舱位Spill模型(简称“SP”) 用于表1的“初始需求”数据，得到表3的无约束估计结果，说明了顾客有限理性行为和“溢出”效应对无约束估计存在影响。表3的计算结果表明，“SS”能够识别“再现需求”，需求再现率为3.51%～13.08%，将5种价格等级车型的真实需求、可观察订购量、SP估计值和SS估计值分别进行对比(图2(a)～(e))，可以发现“SP”的估计值高于历史可观察订购量，“SS”的估计值更小。采用相对误差对比历史可观察订购量(未修复的订购量) 和两种方法估计结果，表明历史可观察订购量的平均误差最高，通过“SP”和“SS”的修复，各车型需求量的相对误差明显降低，且“SS”的相对误差最小(图2f) 。

图2 无约束需求估计结果以及相对误差Figure 2 Unconstrained demand estimation results and relative errors

表3 各价格等级车型需求的无约束估计Table 3 Results of unconstrained estimation for each price class

为说明无约束估计对公司收入的影响，假设该门店共有54台车，采用EMSR[18]计算方法对无约束估计前后进行存量控制，计算结果如表4所示。基于历史可观察订购量得到的车辆分配数分别是20、15、9、8、2，若所有车辆全部被预订，预期收益为10 048元，而根据顾客“初始需求”得到的车辆分配数，收益为10 129元，与估计前相比，收益提高了0.81%。

表4 无约束估计前后的需求分布与车辆分配Table 4 Demand and stock control of each level before and after unconstrained estimation

4 结论

在库存供给不足的情况下，租车系统的预订数据难以反映顾客的真实需求。本文在前景理论的效用度量体系下，基于顾客需求转移提出支付意愿的计算方法，采用选择概率确定转移需求，实现多舱位Spill模型的改进，最终得到“初始需求”的无约束估计值，有效去除了需求的“溢出”和“再现”效应。数值案例以汽车租赁公司的一周连续订单数据为基础检验模型性能。结果表明，所提模型的平均相对误差更小，估计结果更准确。分析“受约束数据”对公司收益的影响，利用EMSR对估计前后分别进行存量分配，估计前的预期收益减少了0.81%。然而，顾客支付意愿的形成，除价格以外还包括产品属性、品牌声誉、促销优惠、时间等，后续研究可以在这些方面进行更多的定量分析。