考虑路面不平度的车桥耦合系统快速建模与动力分析方法

2023-01-05冯东明黎剑安

东南大学学报（自然科学版） 2022年6期

冯东明黎剑安吴刚张建

(1东南大学混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京 210096)(2东南大学智慧建造与运维国家地方联合工程研究中心，南京 211189)(3东南大学土木工程学院，南京 211189)

车辆在桥梁上的行驶会引起桥梁振动，桥梁的振动又会反过来作用于车辆，两者之间相互耦合形成了动态的车桥耦合(vehicle-bridge interaction，VBI)系统.车辆荷载是桥梁受到的主要活荷载.文献[1-2]指出，车辆在较不平顺的桥面上行驶时，产生的动态荷载明显大于车辆静荷载.桥梁一旦建成，将长期受到车辆荷载的反复加载，加之车辆超载现象日益严重[3]，势必会加剧桥梁损伤[4]，加快桥梁老化，严重时将大幅缩短桥梁的使用寿命.近年来，桥梁老化崩塌和车致桥损的事件屡见不鲜，研究车桥问题对于保证桥梁正常服役、延长桥梁使用寿命都具有重要意义.此外，VBI系统还能用于桥梁的模态参数识别[5]、损伤识别[6]、路面不平度识别[7]及其他桥梁健康监测领域[8]等.可见，VBI系统在桥梁状态评估和健康预测等方面同样具有重要的研究价值.

VBI建模是研究VBI问题的基础.目前的建模手段主要分为两类：①利用自建的有限元代码建模求解；②利用通用有限元软件建模求解[9].

第1类方法在处理车辆和桥梁时可分为以下2种方案[10]：①联立车辆方程和桥梁方程，利用数值积分方法求解联立后的VBI方程组[11]，此时路面不平度被当作内部力处理.②将车辆和桥梁分成2个子系统[12]，基于车桥接触点处的荷载平衡条件和位移协调条件，利用自建的VBI系统代码进行求解.这种方法一般采用MATLAB或者Python实现，可用于模拟简单的二维VBI模型，但在针对大型三维VBI模型时则存在较大的局限性，如难以建模、多维数组计算效率低、代码复杂通用性差、交互性和可视化难以实现等.

第2类方法是利用通用有限元软件(如ANSYS、ABAQUS)模拟VBI系统.采用软件中现成的各类单元建立VBI模型，给车辆模型施加顺桥向的位移，从而模拟车辆过桥的过程.这类方法通用性较好，易于进行模型的二次开发，可实现模型的交互性和可视化，适合于建立大型三维VBI模型.然而，该方法在考虑路面不平度时也存在不足：难以施加桥梁表面的路面不平度，或需要在桥梁表面建立凹凸不平的表面轮廓单元.文献[13]利用ANSYS软件在车桥接触点处建立接触对(接触单元和目标单元)，实现路面不平度的模拟；然而，当桥梁模型自由度较多时，接触对的存在会使软件的计算量显著增大.文献[14]基于位移协调条件，利用ANSYS软件建立了VBI系统模型，并采用单轴的弹簧阻尼器车辆模型加以验证，但其建立的车辆模型较为简单，涉及复杂的动力学公式求解，且未对多种工况进行全面对比.

本文提出了一种完全基于ANSYS的车桥耦合系统的快速建模方法.该方法不需要与其他外部软件联合仿真，利用位移协调条件和荷载平衡条件即可完成VBI的快速建模，且能有效地模拟路面不平度.

1 车桥耦合系统建模

本文所采用的二维VBI系统模型如图1所示.车辆模型为具有4个自由度的双轴半车模型，桥梁模型为二维简支梁桥模型.图中，a1和a2分别为前、后轴到车体重心的距离，且a=a1+a2；x1(t)和x2(t)分别为车辆前、后轮至桥梁左端的距离，且x1(t)=vt，x2(t)=vt-a，其中，v为车速，t为时间；r(x1(t))和r(x2(t))分别为x1(t)和x2(t)处桥梁上的路面不平度；Ks1和Ks2分别为前、后轴悬挂系统的刚度系数；Cs1和Cs2分别为前、后轴悬挂系统的阻尼系数；Kt1和Kt2分别为前、后轮胎的刚度系数；Ct1和Ct2分别为前、后轮胎的阻尼系数；mt1和mt2分别为前、后轮的质量；mv和Iv分别为车体的质量和转动惯量；zv(t)为车体竖向平动位移；θv(t)为车体转角位移；zt1(t)和zt2(t)分别为车辆前、后轮竖向平动位移；fc1(t)和fc2(t)分别为前、后轮作用在桥梁上的荷载；yc1(t)和yc2(t)分别为前、后轮处桥梁位移与路面不平度之和；L为桥梁长度；EI为桥梁的抗弯刚度，其中E为桥梁弹性模量，I为桥梁惯性矩；ρ为桥梁的密度；ξ为桥梁的阻尼比.

图1 车桥耦合模型示意图

1.1 路面不平度

路面不平度是影响VBI系统的关键因素，较差的路面会显著增加车辆荷载和桥梁响应的振动幅度.基于国际标准[15]提供的路面功率谱函数，利用谐波叠加法[16]模拟路面不平度分布，公式如下：

(1)

(2)

(3)

式中，K为路面空间频率点总数；S(fk)为第k个空间频率fk对应的功率谱密度函数，且fk=kΔf；f0为国际标准[15]提供的路面分级系数；fl为最小空间频率，一般取为0.011 m-1；fu为最大空间频率，一般取为2.83 m-1；φk为服从[0,π]均匀分布的第k个相位角.

1.2 车辆模型

车辆模型的运动方程为

(4)

式中

fc1(t)=-W1+Kt1(zt1(t)-yc1(x1(t),t))+

(5)

fc2(t)=-W2+Kt2(zt2(t)-yc2(x2(t),t))+

(6)

式中

yc1(x1(t),t)=yb(x1(t),t)+r(x1(t))

(7)

yc2(x2(t),t)=yb(x2(t),t)+r(x2(t))

(8)

式中，W1=(mva2/a+mt1)g为前轮的静荷载；W2=(mva1/a+mt2)g为后轮的静荷载；yb(x1(t),t)和yb(x2(t),t)分别为x1(t)和x2(t)处的桥梁位移.

在ANSYS软件中，利用MASS21单元模拟车体质量点，其中KEYOPT(3)=4，车体包含浮沉(UY)和俯仰(ROTZ)两个自由度.采用MPC184单元将车体质量点与车体其他节点连接，从而将上部车体模拟为一个刚性体，其中KEYOPT(1)=1.利用MASS21单元模拟车轮，其中KEYOPT(3)=3，车轮仅包含浮沉(UY)自由度.采用COMBIN14单元连接车轮和上部车体，以模拟车辆的悬挂系统，其中KEYOPT(2)=2.利用COMBIN14单元连接车轮和车桥接触点，以模拟轮胎的刚度和阻尼，其中KEYOPT(2)=2.

1.3 桥梁模型

桥梁模型采用BEAM3单元模拟，其运动方程为

(9)

Fint(t)={fc1(t),fc2(t)}T

(10)

Nb(x,t)=

(11)

式中，H1((x1(t),t))和H2((x2(t),t))分别为x1(t)和x2(t)处桥梁的Hermitian形函数.采用有限元法求解VBI问题时，车辆荷载不会完全作用在节点上，故采用Hermitian形函数将车辆荷载分配到桥梁的各个自由度上.

1.4 VBI系统模拟方法

VBI系统的模拟方法主要包括初始化部分和迭代部分.

初始化部分的步骤如下：

①定义初始时间步；

②定义车辆和桥梁的初始条件，本文假设车辆和桥梁在初始处是静止状态；

③计算车辆静荷载，并将其施加到车桥接触点处；

④根据式(7)和(8)计算车桥接触点处的桥梁位移和路面不平度之和，并将其作为边界条件施加到车轮上；

⑤求解车桥耦合模型.

迭代部分的步骤如下：

①定义新的时间步；

②假设积分步长为Δt，将车桥接触点向前进方向移动Δx，且Δx=vΔt；

③提取上一时间步中车辆和桥梁的竖向位移，利用差分法计算车辆和桥梁的竖向速度；

④根据式(5)和(6)计算车辆荷载，并将车辆荷载施加到车桥接触点处；

⑤根据式(7)和(8)计算车桥接触点处的桥梁位移和路面不平度之和，并将其作为边界条件施加到车轮上；

⑥求解车桥耦合模型；

⑦循环迭代，直至车辆离开桥梁.

以上所述的VBI系统模拟方法完全基于ANSYS软件，仿真过程中无需建立引桥.但当需要考虑车辆上桥前的振动时，也可建立引桥并施加路面不平度.由于理论解的程序没有建立引桥，为了尽量与该程序保持一致，本文建立的ANSYS车桥耦合模型也没有建立引桥，此时车辆的初始振动状态为0.在这种情况下，只有当车轴位于桥上时，该车轴才与桥梁进行耦合；若车轴未进入(或离开)桥梁，对应的车轴将受到约束，停止与桥梁耦合.

2 数值模拟

以图1所示的VBI系统模型为对象，在ANSYS软件中建立了与之相对应的有限元模型.车辆和桥梁参数见文献[17].桥梁的前5阶自振频率分别为3.90、15.61、35.12、62.43、97.54 Hz；车辆的各阶自振频率分别分0.76、1.42、6.34、6.42 Hz.

车速和路面不平度是影响VBI动力响应的重要因素.为了验证本文方法在不同工况下模拟VBI系统的准确性，考虑了4种不同的路面(光滑、A级、B级和C级路面)和4种车速(10、20、30、40 m/s).

利用Newmark数值积分方法[18]求得VBI系统的理论解，并与本文方法的模拟结果进行对比，以验证本文方法的准确性.采用归一化均方根误差(NRMSE)作为模拟结果的误差量化指标，其计算公式为

(12)

式中，ε为仿真误差；ySj、yTj分别为模拟结果和理论解中的第j个数值；yTmax、yTmin分别为理论解中的最大值和最小值；J为数据点总数.

2.1 路面影响

本文采用的光滑、A级、B级和C级路面在空间域中的分布如图2所示.车速为20 m/s时，4种路面不平度下的桥梁响应模拟结果分别见图3～图6，对应误差见表1.由图2可知，位移和加速度的模拟值与理论解基本吻合.由表1可知，位移误差为0～2%.由于桥梁加速度包含较多的高频信号，其误差较位移误差略高，误差值约为4%，但仍处于较低的误差水平.这说明采用本文方法能够在ANSYS软件中准确地模拟VBI系统，且有效模拟了路面不平度.