教科书提供教学素材瑕疵及矫正探析——透过学生阅读与教师施教的视点

张 昆，罗增儒

(1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000；2.陕西师范大学 数学与信息学院，陕西 西安 710061)

1 问题的缘起

对于大多数的数学知识点，教科书提供的教学素材，都能方便教师施教与学生学习.但是，在具体教学设计及其课堂实施的实践中发现，对于极少数具有统摄性的具体数学知识点，教科书由于种种原因，造成了所选择载入的数学教学素材，不能够做到方便教师施教，同时也不太利于学生比较独立地通过阅读学习数学知识.在对勾股定理与数轴概念教学设计进行教材分析时，笔者发现教科书所提供的素材确实存在着具体瑕疵.

关于勾股定理，人教版教科书(上海科学技术出版社编制出版的教科书提供的素材也与人教版的大同小异)首先使用了毕达哥拉斯研究全等的四块正方形铺地方砖组合成的大正方形，得到了由相邻两个小正方形对角线与两个小正方形边长之和这三条线段拼接成的等腰直角三角形，结果发现，这个等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；将等腰直角三角形转化为一般直角三角形是否还具有这样的结论呢?答案是肯定的.接着选择使用赵爽所构建的一组“勾股圆方图”(八个)之五的“并实图”[1](又称“勾股弦图”)作为素材，证明了这个结论成立，得到了勾股定理这一数学知识点.

笔者从长期的数学教学经验中发现，在学习勾股定理的内容以前，学生整天坐在铺地方砖的教室中接受教育，却没有学生能够像毕达哥拉斯那样提出这个具体的问题[2]；而教科书选择使用赵爽的“勾股圆方图”论证勾股定理成立，这个“勾股圆方图”对于学生来说，更是神来之笔，用波利亚的话说就是“从帽子里变出了兔子”[3].数学教学实践告诉广大数学教师，学生难以像赵爽这样地构造出“勾股圆方图”.总之，即使在教师的启发下，学生也难以提出毕达哥拉斯这样的问题，从而发现勾股定理这个命题，也难以构造出“勾股圆方图”证明勾股定理.

关于数轴概念，人教版教科书使用了“以一个公交车站(抽象为一个点——笔者注)为出发点，向这个公交车站的两端每间隔5米，植一棵树”的表述方式，帮助学生形成数轴概念；上海科学技术出版社编制的教科书使用了“一台机器人从某直线上的一个定点出发，向两端取物，以机器人走出的步数作为间隔(相等距离——笔者注)”的表达方式，帮助学生形成数轴概念；过去的人教版教材使用了“温度计”作为类比帮助学生发生数轴概念的认识；等等.

构造数轴概念的目的在于，将上一节课引入的有理数“可视化”.因为，有理数作为一种序列的数系统，这个数系统比小学学习的正有理数构成的数系统要复杂得多，对于刚刚学习了有理数概念的学生而言，难以抽象地理解它、掌握它.通过构建数轴概念，将有理数“可视化”以后，就能够将有理数用数轴上的点表示，实现将抽象地理解有理数概念转化为使用感知直观地理解有理数概念，从而极大地降低了思维的强度，有利于学生理解有理数概念，并为建立有理数的运算法则创造条件.

为了帮助初学有理数的学生理解数轴概念本质，必须找到理解数轴概念的关键性标志，这些标志在于理解构成数轴概念中的“原点”“正方向”“单位长度”的内涵，简称“数轴三要素”.首先，要帮助学生各自独立地理解“数轴三要素”各自内涵；其次，帮助学生理解数轴独立的三项“要素”整合起来的认识过程；最后，帮助学生从整体上理解数轴概念.

对于数轴概念，分析教科书所提供的内容发现，刚刚学习数轴概念的学生难以理解“原点”“正方向”“单位长度”各个要素的独自内涵，进而在理解“三要素”的基础上理解数轴概念则更难以实现.笔者对忠实地使用教科书提供的教学素材进行课堂教学活动的学生提问，问他们数轴“三要素”各具有什么作用?偶尔有极个别学生能够给出正确答案，由此推测出大部分学生都不能从本质上理解数轴概念.

关于勾股定理与数轴概念这两个知识点，从分析教科书所提供的教学素材的内容、形式与数学教师忠实执行这种素材的教学设计及其课堂实施所产生的结果中，可以提出问题：对于少数具有统摄性的数学知识的表述，为什么数学教科书选择使用的关键性教学素材存在这样的瑕疵：学生难以通过独立地阅读教科书，取得本应该能够取得的学习进展呢?

2 教科书编制极少数统摄性知识点的艰难处境的缘由

对于发生认识的学生而言，极少数存在疑难且重要的、具有统摄性的数学知识点进入教科书时，由于教科书的编者所选择使用的素材存在瑕疵，导致学生通过阅读数学教科书的学习方式，通常只能体现为一种缓慢的、乏味的与艰辛的认识与理解过程，造成他们难以获得从本质上理解具体的数学知识点的结果.为什么会出现这种情况呢?通过分析认识到，教科书的编者对于少数具有统摄性的数学知识点，选择进入数学教科书的素材所依据理念(教科书编制者未必能够意识到)，存在几方面特点：

其一，偏向逻辑化.依据数学知识的结构性，少数统摄性的数学知识点尤其如此[4]，这种结构性主要体现在编制教科书时，对于某些难以处理的数学知识，编者不得不偏向于依据知识的逻辑过程，选择教学素材.例如，人教版选择“勾股定理”知识点的教学素材，所使用的提出问题、启发发现命题的方式(具体表达成了勾股定理语言形式)虽然存在牵强的地方，但总体上能够过得去的；然而，发现命题与推理论证这个命题之间的过渡却无法衔接，致使学生只能接受“勾股圆方图”所拟定的逻辑方式，如此，导致学生无法与赵爽一样完成构造出“勾股圆方图”的心理活动过程.其教学结果是，不能在完成证明命题过程中，相应地提高自己的数学思维能力，特别是创造性能力.

由于数学家所写作的数学论文，通常都是经由长时间艰难的探究发现的成果，字斟句酌地推敲以后，所形成的最终文本，因此，探究数学知识发生的真实艰难火热的发现活动所得到的结果，自身被美化了的文字装饰起来，发现过程本身从表达发现结果的描述中消除殆尽了[4]，教科书与数学家的表述无须提供关于发现某一知识点活动的文献记录.最为典型的例子就是维尔斯特拉斯评价高斯的数学表达，“他(指高斯——引者注)像一只非常精明的老狐狸，在最终表述所发现数学知识的结论时，总是用自己的尾巴抹去自己走过的路中所留下任何脚印的痕迹”[5].

对于极少数统摄性知识点，教科书编者也难以跳出高斯的这种表述方式，这其中的主要原因是，进入数学课程的不少数学知识点都是出自历代数学家的论文表述，这就不能轻易地排除教科书编者在没有办法处理的情况下，将原文不加变更地搬进数学教科书，赵爽的“勾股圆方图”就是一个较为典型的例子，如此，学生自然就不能从教科书的教学素材中彻底地弄清楚赵爽的“勾股圆方图”是如何构造出来的.

众所周知，在长期积累起来的数学知识公库中，数学家无论是通过哪种途径和方法得到数学知识(定理及其证明)，总是选择文字与数学符号表述这一内容，并且按照逻辑演绎方式重新组织整理出来.作为表述数学知识结论所要求的审美意向是如此；数学历史表述的惯例——数学的古希腊传统——要求也是如此；实际生活事实中的经济需要，例如，出版社的经济效益要求在最小的纸张中容纳最大的文字信息量还是如此[6].

这就导致在编制教科书时，数学知识的表述趋向逻辑化的目标状态.也就是说，简洁与单纯的逻辑表述，乃是表述数学知识时心智能力天赋的文采、美感、华章与灵魂，从而形成了数学表述的习惯或者说数学表述的文化规范.反之，在书写数学结论时，过于详细地解释探究活动的心理过程，被认为是冗长乏味的，也是浪费的，从而被认为是不符合数学美感的.如此，数学教科书编者在不知不觉中，就步入这种表述数学知识的心理准备状态之中了[7].

其二，倾向生活化.在新一轮义务教育数学课程改革中，生活化作为数学教育教学理念，或许被数学教育教学专家强调得过分了，变成了时代数学教育教学的优势理念.这本质上是对编制教科书依靠逻辑途径的一种矫正，但是，在优势数学教育理念的强化下，形成了矫枉过正的结果.例如，关于数轴概念，教科书提供的这些生活情境的素材体现得淋漓尽致，学生通过阅读这些素材，很难实现从本质上理解数轴概念的目标.

对于数学概念，最终必然是精确的语辞表述(当然受到了数学文化规范的限制)；对于数学原理(包括数学运算法则、数学公式、数学定理等)及其推导或论证，最终是使用逻辑三段论式的语辞表述，然而，这些数学本身的要求被数学课程的生活化优势理念销蚀了，在编制教科书时，走入了生活化的一端.这种过度生活化的教科书编制必然会产生这样的结果，将那么一点点数学知识，裹挟在铺天盖地的与这个数学知识本质内涵没有多大关系的生活内容中，学生难以理清这一堆乱麻，从中抽象出所要的本质，形成数学知识.例如，上文引入的教科书提供的关于数轴概念的教学素材，就属于过度生活化范围.

从这些生活化素材中，学生在阅读时，无论如何理解总是难以获得数轴概念中关于“原点”“正方向”“单位长度”本质内涵的，更谈不上整合这“三要素”成为整体，从而理解数轴概念本身了.如果数学教师对于教科书提供的教学素材亦步亦趋之，那么无论如何进行教学设计及其课堂实施活动，都难以取得较好的教学效果.

其三，文字量限制.一方面，尽管现代数学教科书使用的纸张越来越多，版权页越来越大，但是，由于过度生活化的文字量挤进教科书，将发生数学知识点的线索淹没在泛滥的生活化的文字洪流中，如此，并没有实现增加文字量所希望达到的教育教学效果.另一方面，在某些学生发生具有比较疑难的数学知识点认识时，例如，数轴概念，勾股定理等，教科书编者很难找到发生认识的认知出发点，并从这个认知出发点出发，启发鼓励学生不断探究活动，得到知识点的结论[8].

总的来说，编制数学教科书是一项体系化、并受到多元制约的活动，涉及方方面面，既有时代优势数学教育教学理念的指导性因素；也有教科书编者对于数学知识的个性化理解，发现学生发生具体数学知识认识心理过程的因素；还有数学公库中关于具体数学知识表述的因素；教科书的编者是否具有足够数学课堂教学经验的因素；文字量的绝对限制的因素等.但是，不变的规律是，进入数学教科书中的教材素材，确实制约着一般数学教师的施教，制约着普通学生的学习.这是教科书的编者必须深度思考的一项重要问题，必须肩负起的一项重要任务[9].

3 对教师施教与学生学习影响及其处置

教科书由于很难处理少数具有统摄性的数学知识点的素材呈现问题，常常出现在数学学习比较好的学生身上，其原因可能是，数学学习一般的学生没有教师的帮助往往难于独立性阅读.但是，数学学习好的学生通过阅读教科书内容，要求自己马上理解载入教科书上的具体数学知识(简称为“直接理解教科书”)，因为这批学生长期的数学学习所形成的经验是，数学对于他们来说，总是容易理解的，理解数学知识所要求的直觉能力也比较容易获得，例如，义务教育小学阶段的大部分数学知识就是如此.

然而，随着年级的不断升高，进入学习高层次(例如，从算术过渡到代数)数学知识阶段，这种在小学阶段“直接理解教科书”式的阅读活动难以为继，阅读数学教科书就日益艰难起来，例如，学生在阅读证明勾股定理的“勾股圆方图”时，会感到理解这种精巧的构造图形的由来无能为力，思维会卡在“这个“勾股圆方图”是如何构造出来的?”的问题上，此时，对于他们来说，独立学习数学知识往往就会止于此了.于是，学生为了通过阅读理解与掌握数学知识，就会萌生出痛苦的厌恶情绪.

只要稍作思考，对于教科书所载的少数数学知识点(例如，勾股定理或数轴概念)，在数学发展史上，曾经是被几十个乃至上百个优秀数学家经由相当长(数年乃至于几百年)时间的接力思考活动，从而意识到问题进而提出问题、分析问题、解决问题，得到了的所表述的数学知识.现在却要求学习这个具体数学知识点的学生，在几十分钟、最长几个小时内，像过去的数学家那样地发生认识，要想不经历学习的痛苦，就轻易地理解这个具体数学知识点，那确实是一件绝难的事情[10].在这种情况下，希望很快地通过阅读迅速理解具体数学知识点的学生，就不得不忍受阅读数学知识的心理痛苦，才能获得超越.

数学学习好的学生，在通过阅读具体的数学知识发生认识过程中，关键性数学观念的萌生常常需要展开卓越的思维活动，思维卓越性是与理解这个具体数学点的困难成正比的，就是说，越是发生困难的数学知识点认识，越需要卓越的数学思维的介入[11].没有多少学习数学经验的成绩优异的学生，可能在心理上不愿意承认这个世界上存在着超越他们自己的数学天才.

但是，在阅读教科书时，学生可能突然发现一些数学知识完全超出了他们理解与掌握的能力(例如，经由阅读“勾股圆方图”而推测其心理构造的来源)，这种心理上的落差，阻碍了学生学习数学知识活动过程，几经挣扎，怀疑自己的数学天赋，磨灭了学习数学的兴趣，于是，不愿意花时间进行钻研，不愿意尝试自己发现具体数学知识的心理活动过程，等等.

在这种情况下，对于少数统摄性数学知识点，就会产生不利于学生独立地通过阅读教科书展开数学学习.因此，作为数学教师，在教学设计及其课堂实施中必须做出艰苦努力，否则学生就只能通过记诵的方法进行学习活动，而这种方式很难提高数学能力.在教师选择使用教科书提供的教学素材进行教学设计及其课堂实施时，其合适行为应该是，引用新课程实施理念的一句话说，“不能教教科书，而应该使用教科书教”.

要实现“用教材教，而不是教教材”的目的，数学教师必须十分重视分析即将施教的那个具体数学知识点，发现其独特的特点，以此判断教科书所提供的教学素材是否合适，这又分为三种不同情况，如果是合适的，按照教科书提供的教学素材进行教学活动就行了；如果很不合适(例如，教科书提供的关于数轴概念的教学素材)，就有必要抛开教科书的内容，另起炉灶，自己选择教学素材进入教学设计及其课堂实施环节；如果部分合适而部分不合适，教师可以视其具体情况，进行酌情处理.

关于“勾股定理”与“数轴概念”的具体教学设计及其课堂实施的实践过程，笔者都是直接否定了教科书所提供的教学素材，采用另起炉灶的途径进行了相应地处理[9].

4 充分发挥教科书素材教学价值的努力

从编制教科书所罗列的几项艰难处境中，能够认识到，期待或追求编制出至臻完善的数学教学素材的教科书，从实践上来说，几乎是难以实现的目标.因此，这就需要教科书的编者与一线施教的数学教师，互通信息，互相靠近，各自吸收对方的诉求.笔者从关于具有统摄性疑难的数学知识点的教学活动与作为编制教科书活动实践中，清晰地认识到，教科书编者与广大一线教师之间的亲密接近，不仅能够提高一线教师处理教科书素材的能力与水平，而且有助于完善教科书编者选择素材，进入教科书的结果.

教科书编者与一线数学教师接近产生的有利结果在于，教科书编者通过一线教师的教学经验，理解学生发生具体知识认识的心理活动过程；一线教师通过教科书的编者理解那些极少数的数学知识点难以选择合适的素材呈现于教科书中，从而促使一线教师将自己主要的注意力聚焦于教科书编者难以通过文字有效处理的知识点上，如此，在教学设计及其课堂实施中，锚定这些疑难数学知识点，展开试验与研究，力争突破教学中的疑难.一线教师在教学实践中的研究成果，反过来能够促使教科书编者从中吸收教益，得到寻获完善教科书素材的活水源头[12].

教科书的编者与广大一线数学教师都要在以下几个方面不懈努力：其一，理解知识结构组成要素中的各项联系线索.例如，数轴概念这个知识点的“合适根据地”[13]是全体有理数，而不是温度计、在笔直的马路上植树等具体实物情境所能承载的.其二，比照前述分析的结论，推测学生发生具体知识认识时心理上的起承转合的环节，判断利用“合适根据地”接纳新知识点的具体途径.例如，在一条直线上表示所有有理数次第实现的心理环节在于，首先构建“原点”，其次构造“正方向”，最后构造“单位长度”[14].其三，找到合适的素材向学生呈现上述两项分析的结果，以便于学生从比较独立地阅读中发生具体数学知识的认识.

如此，关于某个具有统摄性的疑难知识点，既有利于教科书的编者选择与完善教学素材，又有利于一线数学教师在教学设计及其课堂实施中处理具体的数学知识点，从而形成正向合力，最大限度地提升进入教科书教学素材的有效性，从而发挥教科书的教学价值.

5 结束语

关于某个数学知识点，教科书选择载入的教学素材，肯定是为方便数学教师施教与学生学习服务的.但是，在编制数学教科书时，由于受到几方面的限制，如进入数学知识公库的数学知识依据逻辑表述；体现时代数学教育教学理念，如强调生活化的数学情境等；教科书编制中的文字量的要求；编制专家亲身数学教学设计及其课堂实施的实践经验等[15].导致载入数学教科书中的关于少数统摄性的疑难知识点的教学素材，不方便于教师施教，不利于学生通过比较独立阅读方式进行学习的结果.教科书的编者与数学教师，必须进行有效合作，做出合适处理，才能提高数学教学有效性，从而保质保量地实现数学课程目标.