基于扩展有限元的混凝土三点弯曲梁断裂性能数值模拟研究

左咏梅，郭章雷，朱立华，郭子毅，刘 牧

(1.河北工程大学 土木工程学院，河北 邯郸 056038；2.邯郸市城市规划展览馆管理处，河北 邯郸 056008)

混凝土的抗拉强度比较低，在工程使用期间易产生影响结构安全的裂缝，使结构过早失效破坏。由此混凝土裂缝开裂扩展机理的研究就显的极为重要。国内外学者在混凝土裂缝开裂扩展机理方面做了大量工作，提出了各种断裂准则，特别是由国内学者徐世烺提出的双K断裂准则[1]，解决了很多重大水利工程的裂缝开裂及扩展稳定性的问题。扩展有限元法(extended finite element method，XFEM)由Belytschko[2]提出,是目前解决裂缝、界面等不连续问题非常有效的数值方法。采用XFEM模拟裂缝开裂和扩展，不仅能够节约试验成本，而且可以作为裂缝试验研究的补充方法，模拟试验中难以实现的工况的裂缝开裂和扩展。

1 数值模型建立

1.1 模型设定

采用ABAQUS软件，创建三点弯曲梁模型。模型梁采用矩形截面，尺寸、边界条件、加载情况如图1所示。构件为简支梁，跨度为S、截面高度为H、宽度为W，在梁的下部跨中预留切口，上部跨中施加外荷载P，跨高比(S/H=4)，垫块与混凝土梁通过绑定连接。底部左端垫块采用铰接，右端垫块采用滑动支座。通过对加载点施加位移来实现荷载的施加，施加的位移介于6～11 mm之间。混凝土模型单元属性选择缩减积分，单位类型为C3D8R实体单元。

图1 三点弯曲梁示意图Fig.1 Diagram of three-point bending beam

模型中的损伤判据采用最大主应力失效准则，损伤模型选择基于能量、线性软化、BK模式的演化规律。选择法向模式断裂能，剪切模式断裂能，损伤粘性系数为1×10-5。

有限元模型的参数除最大主应力外均采用文献[7]中的试验数据，详见表1。文献[8]指出三点弯曲梁的混凝土处于双向受力状态，最大主应力(抗拉强度)小于劈裂强度。文献[7]中劈裂强度fts等于3.3 MPa，计算时将3.3 MPa作为最大主应力输入四个模型中，分别计算出最大荷载Pmax，然后与试验数据中的Pmax相比较，按两者比例调整输入模型的最大主应力。最后经过试算，当4种梁宽模型采用的最大主应力分别为1.25、1.25、1.25、1.1 MPa时，有限元模型分析得到的最大荷载Pmax与试验数据误差最小。

1.2 裂缝扩展过程

从图2中可以看出，开始加载时，裂缝尖端存在应力集中但截面并未开裂，其周围以对称的拉应力为主。随着外荷载增加，当裂缝尖端混凝土达到最大主应力时即宣告开裂，开裂后裂缝面上的应力释放，而在裂缝扩展后的缝尖又出现应力集中，这种集中-释放的现象会随着裂缝的扩展不断出现直到试件完全破坏。

表1 有限元模型参数Tab.1 Parameters of finite element model

表2 文献[7]试验值与模拟值对比Tab.2 Comparison of experimental and simulated values in Reference[7]

图2 200 mm宽梁混凝土三点弯曲裂缝扩展云图Fig.2 3-point bending crack propagation cloud map of 200 mm wide beam concrete

1.3 ABAQUS模拟结果分析

通过数值模型P-CMOD曲线与文献[7]试验曲线(图3)的对比，可以看出模拟曲线与试验曲线基本吻合，并能够清晰观察到裂缝扩展存在三个阶段：第一阶段为弹性阶段，外荷载P与裂缝口张开位移(CMOD)基本呈线性关系，梁截面刚度不变，预留切口裂缝尖端的拉应力逐渐增大，当拉应力达到混凝土抗拉强度时，预留裂缝尖端随之开裂，此时的荷载即为开裂荷载Pini；第二阶段为裂缝稳定扩展阶段，裂缝开裂后，由于断裂过程区(FPZ)存在黏聚应力，对裂缝存在闭合作用，裂缝得以稳定发展，外荷载P与裂缝口张开位移(CMOD)呈非线性相关，截面刚度开始减小。随着外荷载逐渐增大，粘聚应力逐渐被抵消，当粘聚应力被完全抵消时，对应的荷载即为最大荷载Pmax，截面刚度也逐渐退化到零，裂缝扩展即将进入下一阶段，即失稳阶段；第三阶段为裂缝扩展失稳阶段，进入失稳阶段后，梁无法继续承受增加的荷载，即外荷载P随着裂缝口张开位移(CMOD)的增大而减小，刚度退化至负值。

采用试验方法获取P-CMOD曲线的第三个阶段时，当荷载达到最大荷载Pmax，混凝土梁开始卸载，且由于试验设备的刚度比较小，设备积攒的弹性应变突然释放，加剧了混凝土梁的破坏，梁截面刚度迅速下降，表现为第三阶段的P-CMOD曲线下降段较陡。然而，有限元数值模拟不存在这种情况，所以得到的第三阶段的P-CMOD曲线比较平缓[9]。作者在模拟过程中发现，如果增大位移荷载取值，模拟得到的P-CMOD曲线下降段就很陡。所以，为了得到与试验曲线相符的模拟曲线，本文根据模型的不同，模拟时施加的位移荷载介于6～11 mm之间。

图3 不同宽度梁的P-CMOD曲线Fig.3 P-CMOD curves of beams with different widths

2 应力强度因子

应力强度因子公式表达如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，ac为临界等效裂缝长度；Pini为起裂荷载；Pmax为失稳荷载(最大荷载)；CMODc为失稳裂缝口张开位移，P-CMOD曲线上Pmax对应的裂缝口张开位移，即P-CMOD曲线上最大荷载Pmax点的横坐标；m为跨间质量；W为试件截面宽度；H为试件高度；H0为刀口厚度，即预留裂缝宽度。

3 梁宽、缝高比、小跨高比对断裂参数的影响

3.1 梁宽对断裂参数的影响

数值模型采用4组截面宽度W分别为100、150、200、250 mm,高度为300 mm,跨度为1 200 mm,跨高比(S/H)等于4、预制缝a0为120 mm、初始缝高比α0=0.4的混凝土梁。模型中其他参数保持不变。

如图4所示，随着梁宽的增加，起裂荷载Pini和失稳荷载Pmax在逐渐增大，说明随着梁宽的增加，裂缝的起裂和扩展所需要的能量也在增加，即梁的抗裂能力与梁宽呈正相关。

图4 不同梁宽的P-CMODFig.4 P-CMOD with different beam widths

图5 断裂韧度Fig.5 Fracture toughness

3.2 缝高比对断裂参数的影响

数值模型采用高度为300 mm,跨度为1 200 mm,初始缝高a0分别为60、90、120、150 mm,对应的缝高比α0为0.2、0.3、0.4、0.5的梁模型,模型中其他参数保持不变。

以截面宽度W=100 mm的模型梁为例，其P-CMOD的曲线见图6，可以看出随着缝高比的增加，起裂荷载Pini和最大荷载(失稳荷载Pmax)逐渐减小。

图6 不同缝高比的P-CMODFig.6 P-CMOD of different seam height ratios

图7 断裂韧度Fig.7 Fracture toughness

3.3 小跨高比对断裂参数的影响

表3 不同缝高比对应的断裂参数Tab.3 Fracture parameters corresponding to different fracture height ratios

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

β=S/H表示跨高比

小跨高比断裂韧度KIc为：

(12)

(13)

(14)

数值模型采用跨度S为750、900、1 050 mm,截面宽度W为100、150、200、250 mm，截面高度为300 mm的三点弯曲梁模型，对应的跨高比(S/H)为2.5、3.0、3.5，初始缝高120 mm，缝高比α0等于0.4，其余参数不改变。

以梁宽为150 mm的模型为例，其P-CMOD曲线见图8，由于模型截面高度不变，当跨高比增大时，跨度和跨间质量随之增大。跨间质量的增大会使得模型预留裂缝缝尖达到开裂状态所需的外荷载变小，其直观表现为起裂荷载和最大荷载(失稳荷载)随跨高比的增大而减小。

图8 150 mm宽不同跨高比的P-CMODFig.8 P-CMOD with different span-depth ratios at 150 mm width

表4 不同宽度、不同跨高比的模型梁断裂参数对比Tab.4 Comparison of fracture parameters of model beams with different widths and span-depth ratios

图9 150 mm宽不同跨高比的断裂韧度Fig.9 Fracture toughness at different aspect ratios of 150 mm width

4 结论