两类最优零相关区非周期互补序列集的构造

崔 莉 许成谦

①(燕山大学信息科学与工程学院 秦皇岛 066004)

②(河北科技师范学院数学与信息科技学院 秦皇岛 066004)

1 引言

互补对序列又称为格雷(Golay)序列，最早由Golay[1]提出，不同于传统通信系统中的单码，如m序列，它由两个序列构成，且两个序列的自相关函数之和在零时延之外处处为0。Tseng等人[2]将互补对的概念推广为互补序列集。在多载波码分多址(Multi-Carrier Code Division Multiple Access,MC-CDMA)通信系统中，将互补序列集中的各个子集作为地址码，通过为不同用户分配不同的地址码的方式来区分用户，子载波将子集内的序列调制发送，接收端再将载波信号恢复成用户信号，因此互补序列集具有重要的应用价值。然而由于参数理论界的限制，互补序列集的大小不能超过子集内序列的数目，这大大限制了通信系统可支持的用户数目。为扩展互补序列集的大小，学者把零相关区(Zero Correlation Zone, ZCZ)的概念引入到互补序列集中，Fan等人[3]首先提出了零相关区非周期互补序列集 (ZCZ Aperiodic Complementary Sequence Sets, ZACSS)的概念。与传统互补序列集相比，零相关区互补序列集的大小不受子集内序列数目的限制，因此可以支持更多用户同时入网。从序列的相关函数定义来看，零相关区互补序列集分为ZCZ周期互补序列集 (ZCZ Periodic Complementary Sequence Sets, ZPCSS)与ZACSS，然而非周期互补序列集设计难度更大，因此目前主要研究成果是零相关区周期互补序列集[4–9]。

相比ZPCSS，ZACSS更贴近应用实际，因此研究参数达到理论界[3]的最优ZACSS成为序列设计领域研究的热点问题之一。文献[10–12]均以正交矩阵为基础，构造了参数最优的零相关区非周期互补序列集。文献[10]构造的非周期组间互补 (Inter-Group Complementary, IGC)序列集是一类特殊的ZACSS，它由多组ZACSS构成，不同组的序列集完全互补。然而，组内ZACSS的大小与子集内序列的数目相同，与传统互补序列集的理论界限制相同。文献[11]提出了基于有限域G F(p)和G F(pn)的构造方法，ZCZ长度可以灵活选择，但正交矩阵的阶数与ZCZ长度的比值被限定为素数p或pn。文献[12]的构造过程中，在设定了ZCZ长度和正交矩阵的阶数后，只能通过选择不同的正交矩阵来构造不同的ZACSS。文献[13,14]构造的ZACSS参数的性能取决于初始序列。文献[15]提出了4元ZCZ非周期互补序列集的概念，并给出了构造方法。文献[16]通过对传统的非周期完备互补序列集的迭代，构造了组内互补 (Intra-Group Complementary, IaGC) 序列集，每组序列集具有理想的相关互补性，而组间序列集的ZCZ长度被限定为2的整数次幂，且参数不具有理想互相关互补特性。利用布尔函数，文献[17,18]构造了2元ZACSS，所有参数都被限定为2的整数次幂的倍数。文献[18]提出的3种构造方法中，两种构造方法得到的ZACSS均不是最优的，另一种构造方法在限定条件下参数可以达到理论界。文献[19]将序列长度为奇数的2元非周期ZCZ互补偶作为基序列，构造了一类序列长度 (N=2α10β26γ+1,α,β,γ均为整数) 为奇数的2元最优ZACSS。由此可见，文献[13–18]构造的ZACSS参数的性能受到初始序列集或不同条件的限制。

本文基于正交矩阵利用矩阵变换的方法，构造了两类参数均能达到理论界的最优零相关区非周期互补序列集，且零相关区长度可以灵活选择。进而丰富了最优零相关区非周期互补序列集的研究成果，为多载波码分多址系统的应用提供了理论依据。

2 基本概念

当等号成立时，称该序列集的参数达到理论界，是最优ZCZ非周期互补序列集。

3 基于正交矩阵构造ZCZ非周期互补序列集

3.1 构造方法1

3.2 构造方法2

4 零相关区非周期互补序列集构造方法的比较及参数分析

表1对已有参考文献和本文所提ZACSS的多种不同构造方法从构造基础、构造结果参数，是否达到最优及ZCZ长度等几个方面进行了比对。文献[13]将2元ZCZ非周期互补序列集作为初始序列，通过表1可见，构造结果的参数与初始序列相同，因而参数的性能取决于初始序列。文献[16]将完备序列集经过n次迭代，构造了 2n个组内最优的互补序列集，组间的序列集的ZCZ长度被限定为2的整数次幂，不能灵活选择。文献[19]基于Hadamard矩阵和长度为奇数的最佳2元ZCZ互补序列偶，构造的2元ZACSS序列长度被限定为奇数，且ZCZ长度取决于初始互补序列偶。文献[10,11,14]均为正交矩阵为基序列，相对于完备互补序列集与已有的ZACSS，利用正交矩阵的多样性可以构造出更加丰富的ZACSS，而且受限更小。文献[10]构造了组间互补序列集，然而组内包含的序列集的个数、序列集内序列的数目以及序列的长度均为N，由于在MCCDMA系统中，序列需要子载波传输，因此，序列长度以及序列的数目受到了CDMA资源的限制。文献[11]基于有限域 G F(p)和G F(pn)构造了最优的ZACSS，零相关区的长度相对较灵活，然而正交矩阵的阶数与ZCZ长度Z的比值被限定为素数p和pn。文献[14]以非周期互补序列集为初始序列，当初始序列为完备互补序列集，即M=N时，构造的ZACSS的参数达到理论界。

表1 ZACSS构造方法的比较

本文以正交矩阵为基序列，除此之外在构造过程中还增加了多个灵活多变的初始矩阵，相对于文献[12]只能利用不同的正交序列集，具有更多的可选择因素，因此可以构造出更多最优ZACSS。为了增加保密性，可利用伪随机序列，如m序列发生器的状态序列来设计生成初始矩阵。另外，通过构造方法1还可以得到多组ZACSS，不仅组内达到最优，而且不同组的序列集具有长度为Z的零相关区。在参数灵活性方面，由于正交矩阵的阶可以为任何正整数，因此在正交矩阵的阶数可以被Z整除的条件下，零相关区长度Z可以灵活选择，从而满足CDMA系统中对不同同步时延的要求。

5 结束语

本文首先利用矩阵变换，通过正交矩阵构造了一类参数最优的零相关区非周期互补序列集，零相关区长度可以灵活选择。在此基础上进一步分组，构造了多个组内完全互补的序列集，不同组的序列集具有长度为Z的零相关区，可以帮助解决多小区间的干扰问题。此外，本文还利用不同的矩阵变换方式，构造了另外一类零相关区非周期互补序列集，参数也达到了理论界，且零相关区长度可以灵活选择。