船体横荡运动对转子-浮筏气囊耦合系统非线性动力学特性的影响*

2022-12-28王军伟杜晓蕾

润滑与密封 2022年12期

王军伟李明谢旋杜晓蕾

(西安科技大学理学院陕西西安 710054)

近年来，随着我国船舶制造技术水平的不断提高，船舶的制造向着大型化、复杂化发展。然而舰船在海上作业时通常会受到风浪的作用使得船体发生周期性的摇荡等牵连运动，这些运动会对船舶结构产生影响，尤其是船用转子-轴承系统，从而影响舰船的可靠性和安全性。为保证舰船能平稳航行，研究这些运动对船用转子系统的影响具有重要意义。

传统对于转子动力学的分析主要是针对基础固连于地面上的转子-轴承系统，比如泵、大型风机和发电机组的转子系统，在分析其动力学特性的时候都是假设转子的基础静止不动而且刚度较大。目前对于考虑牵连运动的转子动力学的研究主要集中在机载、船载和车载方面。杨蛟和曹树谦[1]利用航空发动机双转子模型试验台分别模拟飞机做横滚、俯仰和偏航运动时系统的振动情况。林富生等[2-4]考虑转子系统的多种因素，如裂纹、等加速、等减速，针对机动飞行条件下的转子系统的非线性动力学行为进行了讨论。HOU等[5]采用拉格朗日方程推导了飞机旋转时含内间隙和赫兹接触力的转子-滚珠轴承系统的非线性动力学方程，对机动载荷作用下的系统响应进行了数值分析。祝长生和陈拥军[6-7]利用Lagrange方程建立了飞行器在任意空间作机动飞行时机载转子系统的动力学模型，并讨论了机动飞行对发动机转子系统动力学特性的影响。李杰等人[8]考虑航空发动机双转子中介轴承的耦合作用及陀螺力矩的影响，建立了机动飞行条件下双转子-滚动轴承支承耦合系统动力学模型，研究了不同转速比下转子的动力学特性。HAN和LI[9]基于非惯性参考系，建立了垂荡运动下船用转子-轴承系统的动力学模型，利用数值方法分析了系统的稳态响应。

气囊隔振器也被称作为空气弹簧，因其具有固有频率低、承载力大、刚度可调、无蠕变等特点，成为大型旋转机械中性能优异的隔振器。研究人员对气囊浮筏隔振系统进行了深入研究。徐伟等人[10]将气囊隔振装置应用到船舶旋转机械的隔振之中，发现气囊隔振器能明显地减小动力设备的振动能量。吕志强等[11]将气囊隔振器嵌入到浮筏装置中，通过调节气囊中的压力保持了浮筏的平衡性。施亮等人[12]建立了主机气囊隔振器对中姿态响应的线性化模型，为系统优化设计提供了理论依据。ZHANG等[13]介绍了一种用于船舶推进轴系的智能浮筏系统(IFRS)并对IFRS的力学特性进行了建模和分析。赵兴乾等[14]以某型船用推进电机隔振系统校核为背景，建立隔振系统简化模型，分析了船舶不同姿态下轴系对中校核。ZHAO等[15-16]先将气囊-浮筏隔振结构嵌入到船用旋转机械的转子-轴承系统中，建立了多维耦合的气囊-浮筏隔振力学模型，探讨了系统的非线性动力学特性，接着建立了在基础激励作用下考虑转子-浮筏气囊耦合系统的动力学模型，分析了系统的动力学特性。李鹏超[17]在文献[15-16]的基础上研究了冲击激励下系统的动力学特性，并在气囊隔振器中安装限位器来对船用旋转机械系统的冲击响应进行限制，最后对比分析了参数变化对系统非线性动力学行为的影响。

转子-轴承系统作为旋转机械的核心部件，在运转的时候难免会产生振动，这些振动会对舰船产生诸多不利影响，比如振动产生的噪声会使得船员的工作和居住环境恶化，振动会使船体结构发生疲劳损坏，还会影响舰船的隐蔽性等等。采用浮筏-气囊隔振装置可以减少振动对舰船的影响，但转子-轴承系统的运动情况就会变得更为复杂。本文作者着重研究了船体横荡运动对转子-浮筏气囊耦合系统的影响。

1 横荡作用下系统动力学模型

1.1 系统运动方程的建立

图1所示为舰船摇荡运动和船用转子-浮筏气囊系统的结构示意图，其中O-X0Y0Z0为舰船相对于地面的坐标系，o1-x1y1z1为转子相对于舰船的坐标系，o2-x2y2z2为浮筏相对于舰船的坐标系。为了简化问题的分析，现作以下假设：将转子看作具有集中质量的圆盘[18]，质量为m1；浮筏和轴承支座之间刚性连接，且轴承为短轴承，浮筏和轴承可以看作为一个整体，质量为m2；气囊可看作为在x、y方向上同时具有线性刚度和阻尼的弹簧，其中，刚度分别为kx、ky；阻尼分别为dx、dy；假定船体横荡的时候，转子系统在z方向的运动与船体一致，即忽略系统z方向的运动。

图1 船用气囊浮筏转子-轴承系统示意

基于短轴承(轴承长度远远小于其直径)理论，考虑系统在船体横荡作用下(即在y方向的运动)，依据牛顿运动定律，系统的运动微分方程可表示为

(1)

式中：F为非线性油膜力，N；e为偏心距，m；ω为转子转速，rad/s。

1.2 非线性油膜力模型

转子与筏体一般通过滑动轴承连接，文中基于短轴承油膜力(轴承长度远远小于其直径，即油膜压力沿轴向的变化远远小于沿周向的变化)简化Reynolds方程得出油膜力的表达式如下：

(2)

式中：p为油膜压力；φ、θ分别为偏位角和周向方位角；油膜厚度h=c+ecosθ=c(1+εcosθ)，ε为偏心率，ε=e/c，c为油膜间隙；e和η分别为轴承偏心量和润滑油黏度。

图2 滑动轴承结构示意

利用半Sommerfeld条件对式(2)进行2次积分，同时认为轴承两端油膜压力为0，即有边界条件p|z=-L/2=p|z=L/2=0，得到非线性油膜力的径向和周向分力Fr、Fτ表达式如下：

(3)

通过坐标变换，将油膜力在径向和周向分力Fr，Fτ变换到x、y方向

(4)

1.3 运动方程量纲一化

利用油膜间隙c和转子质量m1对式(1)进行量纲一化，目的是消除量纲的影响，使得研究的问题更加广泛。相关的参数表达式如表1所示。

表1 量纲一化参数表达式

(5)

式中：质量比n=m2/m1；频率比ν=ω/ω0。

方程(5)为多个量纲一化参数控制的二阶非线性微分方程组。对于这类方程的求解，一般先对微分方程进行降阶处理，得到8个一阶方程组：

(6)

其中量纲一化后的非线性油膜力在径向和周向的表达式为

(7)

油膜力转换到x、y方向

式中：Xr=X1-X2,Yr=Y1-Y2。

2 非线性动力学特性分析

采用Runge-Kutta法对式(6)进行数值求解，方程中的相关参数取值范围如表2所示。

表2 相关参数取值范围

2.1 不考虑横荡运动时系统的动力学特性

为了对比研究横荡运动对系统动力学特性的影响，文中首先计算了在相同的系统参数下无横荡运动的系统动力学特性，结果如图3所示。

图3所示为量纲一转子转速Ω=0.4～3.6时系统在无横荡作用下稳态响应分岔图及最大Lyapunov指数，此时的系统参数为：σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2，ζ=0.1。在该参数下系统主要受到不平衡力和非线性油膜力的作用。在转子转速较低时，即Ω=0.4～2.23，系统受到不平衡力的影响较大，系统为稳定的周期1运动状态；随着转速的继续增大，系统的运动状态出现分岔现象，由原来的周期1运动状态经倍周期分岔为周期2运动状态；当转速大于2.62时，系统的运动状态又由周期2变为周期1运动状态；当转子转速继续增大时，系统发生准周期分岔现象；转子转速Ω=3.32时，Lyapunov指数大于0，系统的运动表现为混沌状态。综合来看系统无横荡作用时的动力学行为表现为：周期1→周期2→周期1→拟周期→混沌。

图3 无横荡作用下系统随转速变化的

2.2 横荡作用下转子转速对系统动力学特性的影响

图4所示为有横荡作用下系统随转子转速变化的稳态响应分岔图及最大Lyapunov指数，系统参数为：σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2,ζ=0.1，A=300。在该参数下，系统受到横荡惯性力、不平衡力和非线性油膜力的共同作用。当转速Ω=0.4～2.23时与无横荡作用相比，系统动力学特性由原来的周期1运动变为拟周期运动；当转子转速继续增大，在Ω=2.29～2.6区间内，系统的运动状态由准周期分岔为两支，但仍是拟周期运动状态；当转子转速大于2.6，经准周期分岔的两支又合为一支，系统处于拟周期运动状态；当转子转速大于3.32时，转子做高速旋转，此时系统在横荡惯性力、不平衡力和非线性油膜力的共同作用下，最大Lyapunov指数大于0，系统的运动表现为混沌状态；与无横荡作用时相比，系统进入混沌的转速相差不多，说明横荡运动并没有使得转子提前或滞后进入混沌运动状态。

图4 有横荡作用时系统随转速变化的稳

图5所示为量纲一转子转速Ω=1.07时，系统的稳态响应。系统其他参数为：σ=3，α=0.05，n=60，λ=0.2，Ωxn=Ωyn=0.6，ζ=0.1，ν=68.12，A=300。从时域响应图5(a)中可知转子的y方向相对位移变化不大；从频谱响应图5(b)中可知出现了横荡频率f0和工频f1及横荡和工频的组合频率2(f0+f1)，但是工频f1占主要成分，说明横荡运动对转子的动力学特性影响不大；如图5(c)(d)所示，转子的轴心轨迹被限制在椭圆区域内，庞加莱截面为一闭合的曲线；系统的最大Lyapunov指数为-0.058，综合判断此时系统做拟周期运动。

图5 Ω=1.07时系统动力学稳态响应

图6所示为其他参数不变，量纲一转子转速Ω=2.45时系统的动力学稳态响应。随着转子转速的升高，转子y方向的相对位移整体明显增大；频谱响应图6(b)与图5(b)中相比出现f1/2频率及组合频率，而且f1/2频率占主要成分，表明系统受到非线性油膜力的影响较大；转子的轴心轨迹为“香蕉状”，其运动范围较图5(c)有所增加；庞加莱截面表现为两堆点集构成的曲线，在该参数下系统最大Lyapunov指数为-0.022 1，表明系统仍然是拟周期运动。

图6 Ω=2.45时系统动力学稳态响应

图7所示为其他参数不变，量纲一转子转速Ω=3.52时系统的动力学稳态响应。时域响应图7(a)与图5(a)相比位移大小变化不大，但其振幅变化比较剧烈；频谱响应图7(b)与图6(b)、图5(b)相比，出现2(f0+f1)/5组合频率，并且此组合频率占主要成分，说明此时非线性油膜力和横荡惯性力共同作用使得系统的运动更为复杂；转子的轴心轨迹表现为在椭圆区域内的振荡，庞加莱截面为一定区域内的点集；系统的最大Lyapunov指数为0.000 10，综合判断系统在此参数下处在混沌运动状态。

图7 Ω=3.52时系统动力学稳态响应

2.3 横荡频率对系统动力学特性的影响

图8所示为量纲一横荡频率ν=60时系统的动力学稳态响应。系统其他参数为：Ω=2.15，σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2，ζ=0.1，A=300。由时域响应图8(a)可以看出此时转子的相对位移变化比较剧烈，从频谱图8(b)中可知出现了横荡运动频率f0和工频f1，但是相比工频f1，横荡频率f0占比较大，表明此时系统受到横荡的影响比较大；庞加莱截面表现为“带状”有规律的点，此时的系统处在拟周期运动状态。

图9所示为其他参数不变，量纲一横荡频率ν=300时系统的动力学稳态响应。对比图8(a)可以看到，在该横荡频率下转子的相对位移明显变小，而且转子的位移变得非常的平稳；从频谱图9(b)中可见，工频f1起主要作用，说明此时的系统受到横荡作用影响很小；转子的轴心轨迹由于偏心质量的影响呈椭圆状，庞加莱截面为一条封闭的曲线；综合判断在该参数下系统的运动状态为拟周期。

图8 ν=60时系统动力学响应

图9 ν=300时系统动力学响应

2.4 横荡幅值对系统动力学特性的影响

图10和图11所示分别为不同横荡幅值下转子x、y方向的振幅随转速的变化。系统参数为：σ=3，α=0.05，n=60，Ωxn=Ωyn=0.6，λ=0.2，ζ=0.1，ν=136.8。整体上看，在转速低于3.0时转子x、y方向的振幅都会随着横荡幅值的增大而增大。横荡幅值一定时且转子转速在0.5～1.12区间内，转子的振幅会随着转子转速的增大而增大，且y方向的振幅要比x方向振幅大；当转速为1.12～2.28时，转子的振幅呈下降趋势，且y方向的振幅下降得比较明显；转速为2.28～2.6时，转子的振幅会突然增大然后迅速减小；转速为2.6～3.01时转子x方向的振幅变化不明显，但y方向的振幅呈下降趋势；当转速继续增大时，转子的振幅呈不断上升趋势。

图10 不同横荡幅值下转子x方向振动幅值随转速变化

图11 不同横荡幅值下转子y方向振动幅值随转速变化

图12所示为量纲一横荡幅值A=100时系统的动力学稳态响应。系统其他参数为：σ=3，α=0.05，n=60，λ=0.2，Ωxn=Ωyn=0.6，ζ=0.1，ν=136.8。可以看到，当横荡幅值较小时转子y方向的相对位移变化较小，频谱响应图由横荡频率f0及工频f1组成，但是横荡频率f0占比较小，说明此时横荡对系统的影响较小；轴心轨迹表现为在椭圆区域内的振荡，庞加莱截面为点集构成的曲线，综合判断此时的系统运动状态为拟周期。

图12 A=100时系统动力学稳态响应

图13所示为其他参数不变，量纲一横荡幅值A=500时系统的动力学稳态响应。此时横荡幅值较大，对比图12(a)可以看到，横荡幅值变大时，转子y方向的相对位移出现明显的波动；频谱响应中横荡频率f0占比较图12(b)中明显增大，此时转子轴心轨迹在船体横荡影响下y方向的运动更加明显；庞加莱截面仍是有规律的点集组成的线状结构，表明此时系统仍处在拟周期运动状态。