数学思维品质的教育价值*

吴仁芳 陈珍妮 赵 凝

（湖南师范大学数学与统计学院，长沙，410081）

苏联心理学家斯米尔诺夫提出思维品质可以通过多个特征来衡量，如思维的广度、深度、顺序性、灵活性、独立性与敏捷性；林崇德教授等人的研究成果最为出众，他认为智力与能力的核心在于思维，而思维品质是思维的个性化差异表现[1]。朱智贤和林崇德指出思维品质存在于个体思维活动中，也指思维的智力品质表现为思维在个体发展中的异质性[2]。苏富忠从对立统一的辩证角度考虑思维品质，认为其具有多类维度的两极对立特性，如深刻性思维与肤浅性思维、广阔性思维与狭隘性思维、真理性与虚妄性、敏捷性与迟钝性、批判性与盲从性等[3]。张乃达认为思维品质具有灵活、严谨、敏捷、批判、深刻、独创和广阔等特性，并提出辩证逻辑思维对思维品质的发展起关键作用。对思维品质的分析尤以林崇德提出的五大特性广受认可，即灵活、敏捷、深刻、批判和独创，个体思维活动的灵巧与变通程度表现为灵活性，个体思维活动的反应呈现迅速与正确的特征表现为敏捷性，个体思维活动的范围、质量与容量表现为深刻性，个体思维活动中独立思考和评价的性质表现为批判性，个体思维活动的独立创造表现为独创性[4]。克鲁捷茨基认为数学实质是抽象与概括，所以数学思维主要是指抽象与概括的思维；王仲春认为良好的数学思维除了应具备灵活性、批判性与严谨性的基本品质，还应有探讨性、独创性、目的性等重要品质[5]。叶立军认为数学思维品质除了具备一般思维品质应有的特征外，还应具有广阔性的品质[6]。基于此知，数学思维品质是反映个体的数学智力与数学能力差异的关键要素，通常在数学问题解决活动中呈现，其内部构成主要有思维的深刻性、广阔性、严谨性、独创性、敏捷性与批判性，表现在对数学对象本质和规律的把握，多角度与多层面认识，将不同数学对象进行关联，进行合理的推理程序，以找到新路径，实现逻辑思维与直觉思维的统一，从中获得创造性活动的合理评价。

就目前教育培养的态势和课程改革的背景来看，思维的作用支点存在于教育培养的方方面面，并且思维品质的培养是攻克智力与能力发展困境的突破口，其价值意义重大。教育价值本身具有主观与客观、绝对与相对的统一等特征[7]，数学思维品质基本架构涵盖学科发展、内在需求、文化传承、科学育人四个维度，因此从这四个维度视角对其教育价值展开积极探索。

一、学科发展——和谐统一数学教育的外在与内在价值

“数学思维的发展是教育发展方向的基本支柱，在新的、先进的教育体系中更是如此。”[8]数学思维品质的外在价值意指其作为实现其他目的的手段、方法或途径，而其内在价值意指思维品质作为数学教育直接目的具备的内在属性。

1.形成良好的个性品质

社会中的人在教育影响下会形成一种较稳定的特质，即个性品质。一个人良好个性品质的表现应为对周遭事物产生强烈好奇心、广泛而浓厚的学习兴趣、拥有一颗敢于质疑的本心等。思维与创造是保持个性品质优良发展的动力基石，通过思维品质的深层发展，达到对学生智力与非智力品质的培养，最终使其形成良好的性格、意志、情感等个性品质。数学思维品质对学生各方面情感态度的培养与转变有正向作用，数学思维的深刻性帮助学生抓住数学本质以提高数学学习的动机，数学思维的灵活性、严谨性与广阔性帮助学生养成良好学习习惯并提升数学学习兴趣，数学思维的批判性是学生敢于质疑的强大后盾，由此看出数学思维品质为学生形成良好数学情感、数学意志等个性品质稳固基础。

2.完善健全的心理结构

数学对学生良好智力因素的形成具有重要作用，对学生非智力因素形成也会产生影响，两种因素共同构成了一个整体性的心理结构。智力的核心是思维，一切智力活动都要依靠思维进行。而数学思维是一般思维在数学层面的表现形式，是数学对智力发展的积极反映，数学思维的品质帮助学生形成独立、自主且具有个性化的智力结构。非智力因素主要涉及情感态度等，其对认知过程产生直接作用，数学思维的正向作用使得学生学习动机加强、学习兴趣提升、学习情感升温、学习意志坚定、性格与气质产生良性转变，致使学生在数学学习中的非智力结构获得发展。数学思维的品质使非智力因素结构发展通向独特与人性化。数学思维在学科领域下帮助学生智力与非智力结构发展，完善其在数学学习中的心理结构，使其综合心理素质得到一定程度的提升。

3.形成正确的数学观

现代数学观认为数学是在数学文化背景下进行的思维活动，其强调对世界的认识要从数学视角出发，以数学的思维逻辑思考世界，以数学的精神探索世界。以数学眼光看世界需要对世界有本质和深刻的认识，能在世界的万物中找寻共同抽象结构，再运用数学的概括、推理进行逻辑演绎，以达到对世界的真正认知。以数学思维逻辑思考世界就是思考世界的切入口应从数学地思维开始，数学中的思维方法如类比、化归、数学归纳、公理化方法等是思考世界存在与发展的操作方法。而数学思维品质中的批判性、独创性是探索世界的数学精神与思想的砥柱。思维品质是思维的个性化特征，其对每个人数学观的形成产生独立作用，正确的数学观需要思维的参与，科学的数学观需要思维品质的保驾护航。对学生思维品质的重视与培养是学生形成正确数学观的有力支撑。

4.挖掘思维训练的价值

王光明教授强调数学的内在价值应予以重视[9]，其价值表现主要是指通过数学学习活动来体现数学对思维的训练过程，换言之思维的训练应是数学内在价值的落脚点。但目前对于数学训练存有两种错误观念：一是数学技术化过度，过分强调数学的实用性、应用性，造成学生对数学的“实用性”产生偏差；二是数学程式化过度，只侧重数学的程序化、法则化、运算化，不知其来源与去向。数学教育应当成为当前素质教育的有力抓手，为青少年的思维逻辑发展提供正确方式与导向，如对数学思维深刻性的训练要注重数学概括与数学逻辑推理两方面能力的展现，数学思维灵活性的训练要尽可能挖掘学生一题多解的能力，数学思维独创性的训练要注重思维发散与思维收敛的有机统一。数学教育应当高度重视思维的训练价值并充分实施，实现教思维、提素质的价值取向转向，而数学思维品质正是数学思维训练目标与过程的最佳切入口，因此应予以关注与重视。

二、内在需求——协调满足数学教育的社会与个人价值

教育具有私人产品与公共产品两重特性，因此数学教育也具有个人与社会的属性。数学思维品质的社会价值指思维品质满足社会发展需要，在需要过程中展现本体价值；而个人价值指思维品质教育符合人的生活和发展需要，在满足个人需要中展现出价值。

1.有利于社会创新发展

社会创新发展是21 世纪各个国家和地区的统一奋斗目标。社会的创新发展需要多方面的共同助力，包含人才创新、教育创新、素质创新等，创新是人类社会永恒的发展主题。教育以培养人才、服务社会为宗旨，创新教育是时代主题，回归到教学中学生创造力的培养，思维品质培养成为着力点。社会的创新发展是人的群体效应，而人是独立的人，人的思维有个性化特征。数学地思维以严谨的、定量的、深刻的品质分析事物，以独创的、批判的、广阔的品质评价事物，由此具备了创新性品质产生思维的基础。因此，创新精神与创新能力的培养有了栽种之基，人的创新培养是社会创新发展的体现。

2.有利于科学技术发展

纵观人类文明的发展史，在历次科学和技术革命中数学发挥着不可取代的作用，是推动科技发展的中坚力量。牛顿的《自然哲学的数学原理》为第一次工业革命奠定了科学基础[10]，欧几里得的《几何原本》中所开创的公理化方法为后续科学体系建立提供了方法论参考。当今世界的强国也一定是数学强国，国家综合实力强大意味着其数学科研实力必然强大，这是被公众所广泛认同的。数学实力为何能成为国家实力强有力的支撑之一，其核心就是数学思维的强逻辑、强应用。数学思维品质是保证数学思维稳定持续发展的重要推手，因此要注重对数学思维品质的研究，以促进数学思维的发展与开拓，为与数学有密切关系的航天、生物、信息、人工智能等领域的发展提供助力。

3.有助于数学问题解决

数学问题解决的认知过程是表征、模式识别、迁移与监控[11]，这其中的每一环节都需要思维深度参与。迅速且正确的问题表征需要学生具有良好的思维深刻性特征，精准的模式识别需要学生具备思维的灵活性与敏捷性的协作统一，解题迁移是在创造性思维的活动下发生，解题监控需要学生不断地进行自我批判，及时监控需要良好的批判性思维支持。良好的思维品质可以使学生成功解决数学问题，数学对于提高人们解决一般现实问题的能力有着重要意义，主要表现为在良好思维品质的带动下对“解题策略”的学习和运用[12]。数学问题解决是学生进行数学学习活动的主要内容，学生经过长期的问题解决锻炼，不仅完成了对具体数学知识和所解决问题的学习，更是在思想方法上得到训练与提高。通过知识的问题解决形成了一定的思维认知能力，为现实问题解决铺垫了思维基础，这也体现出数学思维活动对于人智力发展具有特殊意义。

4.有利于加深数学理解

Hiebert 和Carpenter 认为一个数学对象或事实被理解了即是该对象或事实已内化为内部知识网络[13]；Pirie 和Kieren 对数学理解进行了水平分析最终划分成八个层次[14]；黄燕玲从知识分类层面将数学理解分为对陈述性、程序性和过程性知识的理解，三类知识理解的本质依次是图式获得、产生式系统建构、关系和观念表征[15]。对命题图式的深刻把握需要具备高度抽象的思维能力，数学思维的深刻性能够为数学中陈述性知识的理解提供帮助；产生式系统的建构需要认知活动具备连贯、灵活、敏捷的特征，数学思维的灵活性与敏捷性能够为数学中程序性知识的理解提供帮助；对关系和观念的准确表征需要认知活动具备批判和独立的创造性思考，数学思维的批判性和独创性能加深对数学中过程性知识的理解。针对工具性和关系性两种理解类型，斯根普指出应更多地将理解锁定在关系性理解[16]，任伟芳等人在此基础上提出创新性理解[17]，强调思维在理解知识关系的活动中起重要作用，思维品质是强化数学深刻理解的重要途径。

三、文化传承——积极培育数学教育的人文与科学价值

数学的内涵包括通过理性思维培养严谨科学精神与人文素养。数学思维品质的人文价值指思维品质教育对人的文化传递和文化接受产生积极影响，使受教育者人格得到熏陶；科学思维品质的科学价值意指思维品质教育对人的科学素养产生的意义和作用。

1.有利于塑造理性精神

郑毓信教授认为数学的文化价值包含多重意义，一是数学对人智力发展的作用，二是数学对人理性精神发展的特殊意义，产生价值意义的客体主要是指数学的思想方法与数学的精神[18]。人智力发展过程中数学的精神起着重要作用，“数学地思维”的深刻涵义指的就是思维的品质，数学思维的严密性、抽象性等品质归属于数学基本特性，也是数学精神内容的重要体现。学生善于进行数学地思维，其思维逐渐趋向严谨、精确、定量，换句话说，学生在不断感受到、体验到数学严密的逻辑推理过程中，其思维方式会从感性逐步上升到理性的层次，对事物的认知趋于严谨、理性的态度，其理性精神得到加强与稳固。王光明教授说数学与理性精神有着特殊关联，其是理性精神的产物，对学生理性精神的培养要从数学内在理性感悟和数学理性精神感受两方面着手，目的是让学生体验精神层面的数学文化与价值[19]。思维深刻性与灵活性有助于对数学内在理性的准确认识，思维批判性帮助思考和评判对数学家理性精神的感知。

2.有利于数学文化传承

数学文化作为人类文化的一种基本形式，具有人文与科学的统一特性，可以阐述为是一个被赋予强大功能的动态系统，系统内部由数学思想、精神、理论等所涵盖的关联文化领域充斥[20]，具有相对稳定性与连续性特征。张乃达提出数学思维活动可以作为学习数学文化以及实现数学文化价值的有效途径之一[21]。数学的文化价值不仅体现在它是一门科学的语言，其特有的符号语言简洁直接并自成体系；而且体现在它是一种关于数的文化、关于量的文化，数字、字母、符号为其表现形式，以逻辑推理为过程支撑，它高度的抽象性特征使得其作为基础文化工具被其他各科学广泛采用。数学文化是在相对稳定中无限发展的，文化的发展与前进需要源动力，而数学文化的发展与传承的源动力应该在数学思维，这是由数学的内在属性所决定。而要使数学文化高质量发展需要依靠思维的持续、稳健运行，这有赖于数学思维品质的支持，数学思维的深刻性、广阔性、严谨性等都潜在地推动着数学文化的传承与创造。

3.有利于数学活动展开

数学课程标准明确提出要培养学生多方面基本能力，主要涉及基本知识、技能、思想和活动经验，其中“基本活动经验”是针对数学活动提出的，数学活动是人类与外部世界进行互动的一种特殊实践方式，主要是指人类进行数学抽象和数学应用的过程[22]。表现为内隐特征的思维活动是外显的数学活动开展的内部基础，且数学活动经验也是依托于内部思维活动经验形成。王新民等人认为数学活动经验形成的内在条件就是思维，同时指出数学教学中的基本活动经验是演绎活动与归纳活动，可知演绎活动经验要依靠大脑思维的逻辑推演，归纳活动经验要依靠大脑思维的归纳、类比、联想[23]。从活动经验的特征角度看，数学思维在情境认知、个体建构产生重要作用[24]。由此知道思维是数学活动的中心，思维品质影响数学活动的顺利进行，培养学生在数学活动过程中灵活运用思维、高质量发展思维品质，为开展数学活动提供设计参考。

4.有利于培养科学思维

数学是思维的科学，其对于人的思维具有启迪、培养和发展作用，钱学森先生提出对思维科学的研究，并将思维科学概括为专门研究人的有意识的思维，即人能自控的思维。而科学思维，是指具备主观能动性的人脑对自然外物的本质属性与内在规律的能动反映。胡卫平教授认为科学教育作用于一般思维能力发展，二者相互结合形成科学思维能力，该能力有别于一般的能力，其能力结构由内容、方法和品质组成[25]。品质即科学思维品质，其对个体智力形成直接影响。数学科学思维品质是在数学学习过程中形成和发展并在过程中展现，要培养数学科学思维能力需以数学思维品质为重要抓手。

四、科学育人——引领发展数学教育的教育价值

数学思维品质的教育价值指思维品质对受教育者产生的积极作用，达到教育的目的，采用特定的方式和方法使得受教育者获得教育中的价值。

1.有助于形成数学学科能力

不同学科学习形成不同的学科能力，任何学科能力都是在思维活动中发展，思维推动学习发生进而形成学科能力，学生的数学能力在学习活动中形成，数学抽象能力、空间想象能力、数学建模能力等都是在思维参与下形成与发展的。林崇德认为思维品质是各学科能力结构的必然组成，良好的思维品质能帮助学生更好且更迅速地习得知识、形成稳固的学科能力，而数学思维品质相比于一般的思维品质而言则更具针对性与特殊性[26]。思维的深刻性使得学生准确把握概念本质形成数学抽象能力，思维的灵活性为学生进行一题多解创设条件，思维的独创性为学生的创造能力形成与发展提供支持，思维的敏捷性帮助学生形成快速作答能力，思维品质的独特作用使得学生学科能力的形成更具科学性。

2.有助于培养数学学习兴趣

Schraw 等人的有关研究显示当学生成为了积极主动的学习者时能获得更深层次的知识体验，进而学习的兴趣被激发，也有研究指出初中数学课堂由于学生缺乏学习兴趣存在畏难情绪等[27]。诸多研究表明要使学生产生学习兴趣，关键要做到其学习主动性被充分调动，使学生从畏数学向好数学再向乐数学转变。常规的数学课堂教学习惯于教师在讲台上自顾自地“逻辑”展示，学生在课堂中常处于木讷的学习状态，导致学生的学习情绪不高、兴趣不大、动机不强，致使学习效果欠佳。数学是思维参与最多的学科之一，注重思维在课堂中的作用将有益于学生数学学习兴趣的产生，数学思维品质的几大核心要素恰能为学生的学习提供重要抓手，思维的深刻性帮助学生认识数学对象本质，形成对对象的自我理解，学生的参与度增加为提高兴趣做好预备，思维的灵活性让学生的学习兴趣程度，学生的自我体验获得感也随之增强。

3.有利于提升数学教学实践高度

常规的数学教学注重知识的传授，课堂上重视方法与规则的运用，学生知其然但不知其所以然，学生的思想被模型化与套路化，长此以往，学生的思想封闭、思维固化，导致学习效率低下。为了使教师的教学水平提高、教学效率提升、教学质量增强，在教学中关注思维、强化思维、应用思维是有效提升数学教学实践高度的良好路径。数学思维品质的深刻性作用能使学生对知识的理解不限于理解知识，更能对知识的来源与应用有规律性认识，使学生不但能够学习到知识，更能以自己的尺度去把握知识，强调思维品质在数学教学中的作用，使得教学从教知识转变为教思维，从一定程度上提升教学的价值高度。数学思维品质的独创性与批判性作用使得学生在收获知识的同时，收获独立的思维认知，学生能够在数学教学中增长知识、意识与见识，能慢慢产生对世界的自我看法，发展独立思考能力，进而发挥思维品质对于数学教学实践的积极作用。

4.有助于发展数学思维型教学模式

教师的教与学生的学二者共同融合构成课堂教学环境。数学课堂教学环境是指以数学知识学习为背景的课堂教与学的思维活动，教师的讲授要围绕其大脑思维预设而顺利开展，学生的学习以大脑思维运作起始。林崇德教授等人倡导思维教学观，提出了思维型课堂教学理论，目的是为把思维教学明朗化，并经过多年实践证实其对于课堂教学质量的有效性[28]。因而，从数学思维结构的构成要素和影响因素方面考虑，将训练学生的数学思维品质作为数学思维型课堂教学的基本要求之一，同时也为数学课堂教学中促进学生智力与能力发展提供了有效、明确的操作方法，数学思维品质中的定量性、灵活性、敏捷性也为数学思维型课堂教学提供了参考指标。聚焦思维型教学培养模式与数学学科的深度融合，实现数学课堂教学高质量发展。

当前教育大环境下各学科课程都在强调核心素养这一理念，重视学科核心素养对人的培养功能和发展作用。思维对核心素养具有极大影响，核心素养的总框架中包括思维能力发展要素，并且思维教学的突出重点在思维品质。数学思维品质是一般思维品质与数学学科深度融合的结晶，更具特殊性与针对性，对其展开相关研究是从数学学科视角为学生思维品质培育贡献力量。