一题六视角 方法巧突破——2022年新高考全国Ⅱ卷第12题的探究

广东省佛山市乐从中学 林国红 (邮编：528315)

1 题目呈现

题目(2022年新高考全国Ⅱ卷第12题(多选题))对任意x,y,x2+y2-xy=1，则( )

A．x+y≤1 B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1

试题的结构简单，主要考查约束条件下求二元代数式的范围问题，思想方面主要考查转化与化归等思想，综合考查考生逻辑思维、推理论证等方面的能力.试题的思维过程体现了能力立意的命题思想，对于考生运用所学知识，寻找合理的解题策略有较高的要求.

由题干与选项，可以发现试题有如下特点：

(1)是一个二元变量问题，在约束条件x2+y2-xy=1下求二元代数式的取值范围.

(2)涉及的两个变量x,y在地位上是等同的，x与-y在地位上也是等同的.

(3)条件式x2+y2-xy=1与选项涉及的代数式结构包含x,y的“和”“积”“平方和”.

(4)从代数式的次数来看，条件式与选项都是齐次的.

(5)条件式是二次方程，可配方，也可用求根公式解方程.

(6)从基本不等式，可得到“和”“积”“平方和”之间的不等关系.

(7)从完全平方公式，可得到“和”“积”“平方和”之间的等量关系.

(8)x2+y2可以看作点P(x,y)到原点的距离的平方.

2 解法探究

根据题目呈现出的不同特点，下面从不同的视角分析与解答本题.

2.1 视角1 基本不等式

分析题目中的三个结构x2+y2，x+y，xy之间有如下不等关系：

x2+y2≥2|xy|，2(x2+y2)≥(x+y)2，(x+y)2≥4xy.

利用这三个不等关系，可以对条件式进行放缩，建立关于目标式的不等式.

综上，故选BC.

2.2 视角2 主元配方与三角换元

分析题目中的条件x2+y2-xy=1可以以x为主元进行配方：

对照三角函数的基本关系cos2θ+sin2θ=1，可以进行三角换元.

综上，故选BC.

评注本解法配方后进行三角换元，利用三角恒等变换与正弦函数的有界性求最值.运算量较少，具有直观、简捷的特点.所以在平时的学习中要善于钻研，重视方法的积累和知识的储备，熟练掌握一些有用的结论，才有可能缩短思维的长度，提高效率，达到事半功倍的效果.

2.3 视角3 和、差、积、平方和之间的等量关系

分析两个数x,y的“和x+y”，“差x-y”，“积xy”，“平方和x2+y2”这几个量中，有如下常见的等量关系：(x+y)2=x2+y2+2xy，(x-y)2=x2+y2-2xy，(x+y)2+(x-y)2=2(x2+y2)，(x+y)2-(x-y)2=4xy

利用这几个等量关系，可以对条件式进行变形，得到关于目标式的范围.

综上，故选BC.

综上，故选BC.

解法5令x=a+b，y=a-b，则x2+y2-xy=(a+b)2+(a-b)2-(a+b)(a-b)=a2+3b2.由x2+y2-xy=1，得a2+3b2=1.

评注解法3至解法5主要利用两个数的和、差、积、平方和之间恒等变换及配方法，其思路是发掘待证不等式的结构特征，再由条件式进行合理变形，得到关于目标式的范围.其中代数式的变形是关键，也是难点.

2.4 视角4 方程(组)的思想

解法6设x+y=s，

综上，故选BC.

2.5 视角5 曲线方程与极坐标变换

所以A错B对.

综上，故选BC.

评注本解法将直角坐标方程转化为极坐标方程，利用正弦函数的有界性求最值，能简化推理和运算过程，解法新颖.

2.6 视角6 齐次式与比值换元

分析注意约束条件x2+y2-xy=1与选项的目标式都是齐次的，所以可以利用比值换元，实现变量的统一.

故-2≤x+y≤2，所以A错B对.

所以D错C对.

综上，故选BC.

评注比值换元将二元最值问题转化为一元最值问题，统一变量后，关于t的函数最值的求法有很多，例如也可以用导数工具解答.

一题一世界，试题的解答分别应用基本不等式、配方法、换元法、三角函数、函数与方程等高中核心知识，解法各具特点，各自精彩.从不同的思维角度分析同一道题目，得到不同的解题方法，一题多解的方式增加了题目涉及的知识广度，体现了知识的横向联系.从数学知识的角度来看，通过解题发现知识的相互联系，体会知识之间的转化过程，从多角度地思考和发现问题，从而构建知识的网络体系.

3 试题的变式

数学的魅力在于“变化”，有“变”才能“活”.恰当的“变式”能使学生多角度、全方位地理解知识，思维能力得到拓宽和加强，会起到强化解题思想方法的积极作用.所以数学教学不仅要解决问题，还要注重问题的变式拓展，引导学生积极探索一题多变、一题多用，达到了举一反三，触类旁通的目的.对于本题，可以进行如下变式训练：

变式1若x2+xy+2y2=1，则x2-3xy+2y2的取值范围是__________.

变式2已知x>0,y>0，xy(x+y)=4，则2x+y的最小值为__________.

4 结语

高考试题是命题专家的精心之作，每年的高考题在命题角度、题型、难度等方面都进行了充分考量，是知识、能力和思想方法的载体，是命题思想、命题理念的程序化展现，具有典型性、示范性和权威性.高考试题有良好的导向性，要了解高考动向、把握高考脉搏，高考试题的研究分析是重要的路径.因此要充分认识高考题所蕴含的价值，对典型的高考题要深入挖掘，探求试题背后的思想方法，精学一题，妙解一类，进而形成一个条理化、有序化的高效的认知结构，从而提炼出数学思想与方法，使思维得到发展.