追本溯源 多维建构——2022年安徽中考数学第22题赏析

安徽省合肥市第四十八中学 马顺生 (邮编：230001)

安徽省蚌埠市新城区实验学校 王春春 (邮编：233000)

每年安徽中考结束之际，正是一线教师试题研究开始之时，今年也不例外．今年安徽卷几何压轴题一改往年的风格，出现在第22题，虽然题目位置改变，但图形简明且内涵丰富的特征没有改变，虽给人有似曾相识燕归来之感，却不失立意之巧妙，别有一番风味．

1 试题呈现

题目(2022年安徽卷第22题)如图1，已知四边形ABCD中，BC=CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；

图1 图2

(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

(ⅰ)求∠CED的大小；

(ⅱ)若AF=AE，求证：BE=CF．

2 试题评价

2.1 问题探究，聚焦核心素养

纵观近十年安徽中考几何压轴题，2013年第23题以借助切割等腰三角形构造邻角相等的四边形为背景，2015年第23题以对边相等的四边形为背景，2017年第23题以正方形为背景，2019年以半弦图即正方形的一半为背景，2020年以黄金矩形为背景，2021年以四边形内部构图为背景，如好剧连播一般，本题继续传承这近十年的命题风格，相似的图形，熟悉的背景，不同的演绎，通过改变四边形结构——以邻边相等的四边形背景，图形简明，动静结合，层层设置问题，力求创新，让学生经历探究图形特征的过程，很好地考查了新课标提出的核心素养的几大方面，关注立德树人的育人导向和教学导向作用，可谓高潮迭起，精彩纷呈，足见命题教师的良苦用心．

试题源于教材，又高于教材，学生在学习三角形、四边形章节时，经历了几何基本图形的研究流程，积累了一定的研究几何图形的基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验．本题通过四边形结构特殊化，设置学生熟悉的数学情境，考查学生情境迁移能力，应用意识和创新意识，本题在问题设置上力求创新，一改往年侧重研究线段之间的数量关系，设问中既有特殊平行四边形的判定，又有角度的求值和线段相等关系的证明．第(1)问图形结构再特殊化，利用平行线、等腰三角形、角平分线构造的基本图形考查菱形的判定；第(1)问改变条件变式到第(2)问，借助加强邻边相等四边形构成要素——边的条件构造三等边四边形，第(2)(ⅰ)问探究三等边四边形背景下利用线段垂直平分线的性质考查几何图形的基本计算，第(2)(ⅱ)问针对三等边四边形结构特殊化，借助图形轴对称性考查几何证明，第(2)问的两个问题从一般到特殊，前一问为后一问的解决做好铺垫，与学生已有的学习经验完美契合，三个问题由易到难，层次分明，综合考查了特殊四边形、全等三角形、轴对称图形等相关知识和抽象意识、运算能力、空间观念、几何直观和推理能力，有效帮助学生克服考场上的畏难情绪和紧张感．

2.2 多维溯源，彰显素养立意

本题内涵丰富，主要涉及到平行线的性质与判定，等腰三角形的性质、菱形的判定、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定、圆等核心知识，不仅考查了基本知识、化归、从一般到特殊等基本思想，还考查了基本图形的分离与重组，换个角度思考本题图形的来源，多维审视，熟悉的“你”原来一直在这里：

角度一去掉“四边形”外衣，从翻折角度出发，本题图2可以看成将△ADE沿一边作两次翻折，即沿DE边翻折至△CDE，再将△CDE沿CE边翻折至△CBE，相当于将△ADE绕点E顺时针旋转120°至△CBE，借助翻折对称，旋转变换，考查学生的空间观念，几何直观，推理能力和应用意识，多角度，宽入口的解决问题，把握问题的本质，明晰思维的路径．

角度二以150°拆分为90°和60°巧构图形背景为出发点，如图3，在正方形BCDM形外作等边三角形ADM，如此两种正多边形的嫁接，巧构三等边四边形，此命题思路来源于人教版教材八年级下册第67页第1(3)题：

图3 图4

(人教版教材八年级下册第67页第1(3)题)如图4，在正方形ABCD的外侧，做等边三角形ADE，则∠AEB为( )

A．10° B．15° C．20° D．125°

也可看成是两个全等的等腰直角三角形如图5“手拉脚”放置，构造三等边四边形(AD=CD=CB)．弱化E点在AB边上的位置条件，当E为两个等腰三角形ADC和三角形BCD底边垂直平分线的交点，也就是顶角角平分线的交点落在AB边上时，即为本题第(2)问．

图5 图6

角度三以双等边三角形为出发点，教材沪科版八年级数学上册第140页第12题如下：

已知：如图6，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交CM于点E，BM交CN于点F．求证：(1)CE=CF；(2)EF∥AB．

如图7，在此图中△CEF为等边三角形，△CAN≌△CMB，△CAE≌△CMF，△CEN≌△CFB，连接CG，易得A，C，G，M四点共圆，B，C，G，N四点共圆，C，E，G，F四点共圆，此时CG是这三个圆的公共弦，∠MGC=∠MGN=∠CGN=120°，点G即为△CMN的费马点，它到△CMN三个顶点的距离和最小，其最小值为AN或BM的长，此长度称为费马距离．延长AM，BN交于点P，如图8，则∠P+∠MGN=180°，P，M，G，N也是四点共圆，此时G点为△ACM，△BCN，△PMN外接圆的交点，G点叫做C，M，N关于△PAB的密克尔点，△CMN叫做△PAB关于点G的密克尔三角形．

图7 图8

若将此图看成是两个共顶点的等边三角形“手拉手”组合成两个共顶点的全等三角形△CAN≌△CMB，把这两个全等的三角形改为共顶角顶点的两个相似等腰三角形，即为今年安徽中考数学第22题，上述结论仍然成立吗？

问题变式如图2，点E在线段AB上，AE=CE，BE=DE，∠AEC=∠BED，当∠CED=60°时，求证：AD=CD=BC．

本题与原题问题(2)互为逆命题．证明如下：

因为∠AEC=∠BED，∠CED=60°，所以∠AED=∠BEC=60°=∠CED．

因为AE=CE，BE=ED，所以DE垂直平分AC，CE垂直平分BD，

所以AD=CD，CD=BC，所以AD=CD=BC．

通过以上，如图9，延长AD，BC交于点P，我们继续研究得到：

图9

因为DE⊥AC，CE⊥BD，所以E，G，F，H四点共圆，

所以∠AFD=∠CED=60°=∠AED，

所以A，E，F，D四点共圆，同理B，C，F，E四点共圆，故EF为此三圆的公共弦．

因为∠ADE不一定为60°，∠DFE不一定为120°，故F点不一定为费马点．

但由于AD=CD=BC，DE垂直平分AC，所以DE平分∠ADC．

此时点F为C，D，E关于△PAB的密克尔点．

角度四从作辅助线——角平分线构图出发：

如图9，在△PAB中，D，C分别在PA，PB上，∠P=60°，若∠ADC=2∠ABP，则∠BCD=2∠PAB．此结论既可以利用三角形和四边形内角和给予证明，又可以利用2倍关系通过分别作△PCD外角∠ADC和∠BCD的平分线且交点在AB边上时解决问题，在解决问题的过程中，加强条件即当CD=AD=BC时，即为本题第(2)问．

2.3 经典渗透，内涵丰富，立足素养导向

今年安徽卷第22题以学生最熟悉的正方形形外嫁接等边三角形构造轴对称图形为背景命题，熟悉的背景，巧妙的构图，不同的设问，丰富的内涵，多角度，多层次地考查了学生的基础知识，基本技能，基本思想和基本活动经验．这种熟悉的命题思路曾在2018年安徽中考第23题出现过：

(2018年安徽卷第23题)如图10，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．

图10 图11

(1)求证：CM=EM；

(2)若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

(3)如图11，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．

2018年安徽中考第23题恰好可以看成是正方形内接等边三角形构图，如图12，此题的母题来源于北师大教材九年级上册第22页第2题

(北师大教材九年级上册第22页第2题)如图13，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数．

图12 图13

如图12 ，在解决该题第(3)问过程中，借助将等腰直角三角形补全成正方形ACBG，连接AM，证明AM=AC，利用等腰三角形的“三线合一”即可证明AN∥EM，连接MG，此时△AMG为等边三角形，AN，AM可看成是∠CAB即45°的三等分线，两个全等的等腰直角三角形ADE和三角形ECM“手拉脚”放置，构成三等边四边形ACME，此部分图恰巧是今年安徽中考数学试卷第22题第(2)问，充分展示了命题组专家对基本图形的深入研究成果，因此说2022年安徽中考数学卷第22题溯源建构，经典永恒，一如既往的好剧连播，精彩纷呈，如同一坛陈年美酒，醇香浓厚，意境深远．

3 解法赏析

3.1 第(1)问，低起点重基础

因为BC=CD，CE⊥BD，所以∠BCE=∠DCE，CE是BD的垂直平分线．

思路1平行线+角平分线构等腰

解法1由等腰三角形的性质可知DE=BE．又因为DE∥BC，所以∠DEC=∠BCE=∠DCE．于是DE=DC=CB=EB．故四边形BCDE是菱形．

思路2等腰性质构全等

解法2由等腰三角形的性质可知OB=OD．又因为DE∥BC，所以∠OBC=∠ODE，∠OCB=∠OED，故△OBC≌△ODE，OC=OE，从而BD，CE互相垂直平分，即四边形BCDE是菱形，也可由△OBC≌△ODE得BC=DE,从而四边形BCDE是平行四边形，而BC=CD，故□BCDE是菱形．

3.2 第(2)①问 两次翻折三分角

3.3 第(2)②问 基本图形寻多解

由①知∠CED=60°，AC⊥DE，所以∠ACE=30°，同理∠ABF=30°．所以∠ACE=∠ABF．

思路1翻折对称等线段

根据题目条件，分解剖析本题图，在△ABC中内接“飞镖”模型图，利用等腰三角形的轴对称性，寻找多对全等三角形，从而一题多解地实现相等线段的证明．

解法3在△AEC和△AFB中，因为AE=AF，∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠ABF，所以△AEC≌△AFB．于是AC=AB．所以AB-AE=AC-AF，即BE=CF．

解法4连接EF，如图14，因为AE=AF，所以∠AEF=∠AFE，所以∠BEF=∠CFE．在△EFC和△FEB中，因为EF=FE，∠ACE=∠ABF，∠CFE=∠BEF，所以△EFC≌△FEB．于是BE=CF．

图14 图15

解法5设CE,BF交于点O，连接AO，如图15，在△AEO和△AFO中，因为AO=AO，AE=AF，∠AEO=∠AFO=120°(钝角)，所以△AEO≌△AFO，从而∠AOB=∠AOC，证得△ABO≌△ACO，从而AB=AC，故BE=CF．

解法6设CE，BF交于点O，连接AO，如图15，在△AEO和△AFO中,因为AO=AO，AE=AF，∠AEO=∠AFO=120°(钝角)，所以△AEO≌△AFO，故OE=OF，又∠BOE=∠COF，∠BEO=60°=∠CFO，所以△BOE≌△COF，从而BE=CF．

思路2四点共圆化角等

利用角等，构造辅助圆，借助圆的基本性质，实现等角到等线段的转化，巧妙地解决了本小问的证明．

4 教学启示

4.1 立足《课程标准》，重视挖掘教材，在教材中寻找教学素材和教学衍生问题

数学教材是经过专家反复审编形成的教学素材，基本理念，基本要求都具有导向性，为学生学习数学提供了数学知识，思维方法和基本活动经验，是实现课程目标和形成数学核心素养的重要载体，是实施数学教学的基本范本和重要资源，可以更好地实现《课程标准》的要求．

数学学科素养蕴含在基本概念、基本原理、基本事实的学习之中，我们要注重基础知识的教学，注重基本技能和数学思维的训练；引导学生系统研究问题，摒弃题海战术，学会对问题进行深入挖掘，力求通性通法，学会举一反三，触类旁通；还要引导学生经历操作、观察、猜想、归纳、验证等研究问题过程，在问题解决过程中学会深度思考和领悟，积累解决问题的方法和经验。

教材里的例习题大都具有典型性和迁移性，内涵丰富，值得深入研究，教师有针对性创造性地使用教材例习题，以教材例习题为蓝本，抓住数学本质，进行深加工、改编和拓展，一题多变，一题多结，一题多解，多题一解，可以帮助学生深入理解问题本质，训练学生的数学思维，高效提升学生的思维品质．教师要静下心来研读教材，深入理解教材，用好教材中的素材，对教学内容和教学经典图形的衍生问题进行科学合理化的结构整合，注重数学知识与方法的层次性和多样性，逐渐拓展和加深课程内容深度，进行符合学生认知特点的变式、引申与拓展，深入浅出地进行思维拓展教学，适应学生的发展需要，提高课堂教学效率和教学质量，真正落实能力培养目标，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．

近十年安徽初中学业水平数学试卷的命制，尤其是平面几何题素材都来源于教材，又高于教材，可见命题专家对初中平面几何的教学现状有深远的思考，不仅为一线教学提供了丰富的教学资源，还指导我们教师如何摆脱题海，思考一种更贴合学生未来发展的教学方式，

因此，读懂并理解教材是教学设计的出发点，吃透掌握教材是有效教学的支撑点，深入挖掘教材是保障教学的根本点。日常教学不能舍本逐末，应该充分领会教材编写意图、深度研究整合教材资源，创造性地使用教材．

4.2 关注数学文化，传播数学之美，在经典中落实立德树人和核心素养目标

2022年4月，教育部制定的《义务教育数学课程标准(2022年版)》的指导思想中明确指出：“以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，全面贯彻党的教育方针，遵循教育教学规律，落实立德树人根本任务，发展素质教育．”因此，新课程标准突出对学生核心素养的培养，这必然体现在考试中，以素养考查为立意的命题将是今后的方向。

近十年，安徽初中学业水平考试数学命题一直前瞻性地在这方面进行了有益的探索和尝试，如2017年第23题将“弦图”、“古埃及三角形”、“黄金分割”等融为一体，2019年第23题将“布洛卡点”弱化在等腰直角三角形中，2020年第23题将“弦图”和黄金矩形再度融合等。

今年安徽中考数学试题的命制延续了这种探究风格，本题毫无例外是一个典型代表，将“费马点”“密克尔点”弱化在三等边四边形中，从图形的变化角度思考本题，本题可以看成是将一个三角形连续两次翻折，达到轴对称、旋转变换的目的，让学生感悟图形变化的基本特征，在数学史发展中，“费马点”、“密克尔点”、“弦图”、“黄金分割”等都具有举足轻重的作用，本题的命制不仅彰显了命题专家润物细无声的功底，巧妙地渗透了数学文化，传播了数学之美，也为一线教师提供了研究经典的基本图形和图形变化的新素材，在教学中有助于学生理解几何学的本质，引导学生发现感悟图形有规律变化产生的美，增强对数学学习的兴趣．

在平日教学设计中，教师在教学素材的选择上，应关注教学资源和试题资源的开发与利用，比如在数学发展史中那些为人类文化发展做出重大贡献的数学名题，经典永恒，研究基本图形的动态演变，增强学生的空间想象能力，提供多样化的活动方式，借历史名题，让学生积极参与到知识的发生、发展的过程中来，以此实现高效课堂的目标，提升教学品味，在数学文化中落实核心素养．

4.3 注重问题意识，提升思维品质，在教学中培养逻辑推理和数学研究过程

从问题呈现和命题构图上看，今年安徽中考数学卷第14题、第19题、第23题都是几何试题，第14题是2021年安徽第23题黄金矩形经典图形的延续，第19题蕴含阿波罗尼斯圆背景，第22题给出了一种从辅助线添加角度的构图方式，也从图形变化的角度给出了研究图形性质的基本方法——理解图形变化的规律性和变化中的不变性，结合近十年的安徽几何压轴题的命制风格，反思教材关于几何图形的研究过程，都在不同程度展示了研究几何图形的基本流程：定义——性质——判定——应用——特例，这些处处都在体现命题专家用独特的方式鼓励一线教师养成对思考教学、研究数学的习惯！

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．” 教学中，教师要充分利用合理问题情境，开展情境化教学和情境化评价，借助情境培养学生问题意识和创新意识，让学生在体验中感悟，在感悟中创新．

学生在几何证明过程中思维能力弱，主要原因在于学生对图形的剖析、解构和重构能力有待大幅度提高，对常用基本图形，经典模型的认知和理解储备不够，遇到新问题无法通过联想、类比、迁移分离出基本模型，或能分离出基本模型却不会深度探究基本图形的内涵和外延，因此在几何解题教学中，我们要引导学生学会从条件中想“所有”，“所求”中想“需求”，在“所有”和“需求”之间寻找沟通的桥梁，关注通性通法的教学，淡化解题技巧和解题套路，持续培养学生的应用意识、创新意识和迁移能力，同时还要有意识地通过一些实例运用归纳和类比发现数学关系与规律，适时引导学生提出数学命题与猜想，并加以验证，鼓励学生勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题，不断地提升学生的数学素养，逐步形成适应学生终身发展需要的核心素养．

总之，2022年的安徽初中学业水平考试数学试卷承载着选拔和区分任务，也是课堂教学改革的指挥棒，它所体现的关注四基四能，关注学科本质，注重数学思想方法，密切联系生活的导向为我们的课堂教学指明了方向，也是今后中考命题的思路．今年安徽第22题是一道图形简洁、立意高妙、内涵丰富、梯度合适、难度贴切的一道经典试题，感谢命题专家为我们提供这样内涵丰富的经典试题资源和教学素材，限于个人水平，疏漏之处敬请各位同仁批评指正！