基于振动分析的压型钢板-混凝土组合楼板等效计算模型研究

卢华喜，刘美豪，方 超，吴必涛，梁平英

（1.华东交通大学 土木建筑学院，南昌 330013；2.华东交通大学 轨道交通基础设施性能监测与保障国家重点实验室，南昌 330013；3.江西省交通投资集团有限责任公司，南昌 330025）

闭口型压型钢板-混凝土组合楼板（简称“组合楼板”）因具有整体性好、节省模板和工业化程度高等优点在钢结构建筑中的应用越来越多。同时因其受力性能优越、结构较轻柔的特点多被用于大跨度楼盖体系，在反复变化的环境振动中特别是人行荷载作用下，易产生环境振动超标或振动舒适度问题。

目前楼板体系的振动问题受到了国内外学者们的广泛关注，特别是针对大跨度楼盖的振动问题，国内外学者进行了大量的研究。Varela 等[1]通过试验研究了组合楼板的人致振动问题，分析了人行轨迹、随机性和人数等因素对振动的影响。Sanayei等[2]建立基于阻抗的解析模型，并结合模型试验，发现增加较低层楼板的厚度能有效抑制振动向上部传播。陈曦[3]通过实测和有限元分析发现地铁振动所致装配式框架结构楼面的振动以竖向振动为主，且竖向振动加速度随楼层的增加逐渐增大。张坤等[4]通过人致激励试验对中科院巨型钢框架悬挂结构体系组合楼板开展了舒适度评价。

组合楼板的结构形式相对复杂，且在模型建立时需要考虑钢板与混凝土的共同作用，在进行组合楼板体系的振动问题分析时，通常需要建立多层梁-柱-楼板结构的数值模型，楼板部分如采用实体模型，则建模工作量巨大，且需要耗费难以估量的计算时间，给建模分析带来困难，因此建立组合楼板等效简化计算模型尤为重要。卢华喜等[5]在研究中采用壳单元等厚度的原则模拟实体楼板。Silva等[6]在研究中采用厚度仅为75 mm的壳单元对肋高75 mm板厚150 mm 的开口型压型钢板-组合楼板进行模拟。李永梅等[7]将壳单元分成压型钢板层、混凝土板层和钢筋层进行建模，分析了组合楼板对钢框架结构抗震性能的影响。本文对于闭口型压型钢板-混凝土组合楼板的振动问题，以位移等效和刚度等效为原则，分别建立了组合楼板的各向同性等效计算模型和正交异性等效计算模型，并通过有限元模拟和楼板振动试验进行了比较分析，验证了等效计算模型的可靠性和计算的高效性，为大跨度组合楼板体系振动问题的有限元建模提供参考。

1 组合楼板的等效计算模型

1.1 各向同性等效计算

挠度相等原则为在相同荷载条件下组合楼板的三维实体模型中心最大挠度ωmax1和各向同性等效模型中心最大挠度ωmax2相等。具体等效过程如下：

(1) 建立组合楼板的三维实体模型，利用ANSYS 有限元软件计算四边简支条件下组合楼板在竖向均布荷载下的最大挠度ωmax1。

(2)由薄板理论可知，承受竖向均布荷载的四边简支各向同性板的最大挠度为[8]：

其中：D=，D为各向同性板的等效刚度；q0为竖向均布荷载；b为板的短边尺寸；h为板厚，m=1,3,5,…,n=1,3,5,…；α为挠度系数，取决于板的长宽比a/b。

对于不同长宽比的矩形板，挠度系数α的取值见表1。

表1 不同长宽比的挠度系数取值

(3) 令ωmax1=ωmax2，可得出各向同性板的等效弯曲刚度D和各向同性等效板的厚度h；各向同性等效板的跨度和宽度与原组合楼板一致；等效板的密度可以根据等效板的质量与原组合楼板的质量相等来确定；各向同性等效板的泊松比和弹性模量取为原组合楼板混凝土材料的泊松比和弹性模量。

1.2 正交异性等效计算

在有限元分析软件中将组合楼板等效为正交异性板进行建模分析时，需要定义x、y轴的弹性模量Ex、Ey，x、y方向的泊松比vxz、vyz和等效剪切模量Giso等参数，计算时取垂直于顺肋方向（板宽方向）为x方向，顺肋方向（板长方向）为y方向。进行有限元求解时，总刚度矩阵D作为整体出现在计算过程中，只要D的总量不变，最终的求解结果也不变[9]。总刚度矩阵D的大小主要由弹性模量E和惯性矩I的乘积决定，基于等刚度的原则可以令EIx=ExI、EIy=EyI的方式将正交异性板x、y方向的惯性矩之比转换为弹性模量之比，即Ex=。

根据文献[9]中方法，正交异性等效板x方向的泊松比νxz=ν（ν为混凝土的泊松比）；y方向的泊松比为νyz=。令Ey=Ec，Ec为混凝土的弹性模量，因此只要求出正交异性等效平板x、y两个方向的惯性矩Ix、Iy，即可得到正交异性等效板两个方向的弹性模量和泊松比。

正交异性等效板剪切模量G可按式（3）[10]计算。

设等效的正交异性平板厚度为tz，则有Iy=（1.0为单位长度），可在求得Iy后确定tz。

正交异性等效板的密度ρe可通过原组合楼板与正交异性等效板质量相等的原则计算。

基于以上等效原则，结合以下某尺寸的单块组合楼板进行正交异性等效计算。其截面构造图如图1至图2所示。计算时取x、y方向上的单位长度a为1.0 m。等效过程如下：

1)计算正交异性等效板x方向截面的惯性矩Ix。

组合楼板沿x方向平行于xz的截面由混凝土和底部的钢板组成，如图1至图2所示。可先计算混凝土部分和钢板部分的截面惯性矩，再计算组合截面整体的截面惯性矩Ix。先按长度为L的截面计算，再将结果按单位长度1 m转化。计算过程如下：

图1 x方向混凝土部分横截面

图2 x方向压型钢板横截面

（1）基于CAD制图等软件易计算混凝土部分和压型钢板部分单位长度的截面面积Ac、As和中性轴的位置yc1、ys1及单位长度的惯性矩Ic、Is。

（2）混凝土与钢板组合截面的面积Ax、中性轴位置、惯性矩Ix分别按以下公式计算：

式中，n=Es/Ec，Es为底部钢板的弹性模量，Ec为混凝土的弹性模量。

2)计算正交异性等效板y方向截面的惯性矩Iy。

由于异形凸肋的存在，组合楼板平行于y方向（长边）截面有d1和d2两个高度的截面，故沿y方向的正交异性等效截面惯性矩Iy无法直接求出。可将楼板考虑为承受均布荷载qy的简支梁，沿x方向（跨度为L）考虑取L为简支梁的跨度，沿y方向取1 m（单位长度）为简支梁的宽度，简支梁剖面图如图3所示。为便于分析，将简支梁中间的异形凸肋简化成矩形，简化后的剖面图如图4所示。

图3 简支梁剖面

采用ANSYS 软件中的BEAM3 梁单元建立如图4 所示的简支梁模型，采用定义单元实常数的方

图4 简支梁的简化

式分别将高度为d1和d2截面的横截面积和惯性矩赋予对应部分的BEAM3梁单元。施加均布荷载qy，求解出简支梁的最大挠度Δmax1，Δmax1即为简支组合楼板在均布荷载下沿x方向的挠度。

由材料力学易知，简支梁在均布荷载作用下跨中挠度为：

令Δmax1=Δmax2，可求得组合楼板沿顺肋方向即正交异性等效板y方向的惯性矩Iy。

组合楼板高度为d1和d2截面的截面积和惯性矩的计算如下，两个截面的示意图如图5所示。

图5 y方向不同高度横截面图（单位：mm）

（1）高度为d1的截面面积、中和轴位置和截面惯性矩的计算如下：

（2）高度为d2的截面面积、中和轴位置和截面惯性矩的计算如下：

3)正交异性等效板的厚度tz和x、y方向的弹性模量Ex、Ey、泊松比vxz、vyz及剪切模量Giso均可在已知Ix、Iy条件下，由上文中的等效原则计算。

2 组合楼板振动试验

2.1 试件设计

本次试验中根据相关规程、规范和图集，制作了两块组合楼板试件，试件尺寸参数见表2。由于组合楼板底部采用了闭口型热镀锌压型钢板，且作为单向板不用考虑混凝土的收缩变形，故组合楼板中未配置分布钢筋。

表2 组合楼板试件参数

组合楼板的横截面示意图如图6所示。

图6 组合楼板横截面（单位：mm）

2.2 试验方案

（1）模态分析试验

进行模态分析试验时，组合楼板边界条件为两边简支，在板面上布置4 个加速度传感器以拾取楼板的振动加速度，加速度传感器布置图如图7所示。利用激励锤在组合板上锤击，使楼板进行衰减振动，对每块试件进行3次独立的锤击。

图7 模态分析试验中传感器布置

模态分析试验的现场实验图如图8所示。

图8 模态分析试验

（2）楼板的激振试验

实验时使用电动式激振器使组合楼板产生受迫振动，由于环境振动大多属于微振范畴，故激振试验采用的激振力大小分别为4 N、8 N、12 N、16 N、20 N，激振频率分别为5 HZ、10 HZ、15 HZ、20 Hz。激振试验中采用正弦波激振，采用加速度传感器采集楼板振动的加速度信号，激振试验示意图见图9。

图9 激振试验

2.3 试验结果

（1）模态试验结果

测得两块组合楼板的基频和阻尼比如表3所示。

表3 组合楼板的基频和阻尼比

（2）激振试验结果

两块组合楼板跨中（传感器3）峰值加速度随激振频率和激振幅值的变化情况见表4。

从表4 中可以看出，在小幅值的简谐荷载持续作用下，组合楼板的加速度峰值与激振幅值几乎呈线性关系；随着波形频率的增大，简谐激振响应加速度的增大幅度越大，且在相同激振幅值下，B2 板的加速度峰值相较于B1板平均增加了25%，可见楼板跨度增加对其在动力作用下振动加速度的影响显著。

表4 组合板激振加速度峰值/(mm∙s-2）

3 对比分析

3.1 计算模型的建立

利用ANSYSY 有限元软件建立两块试件的三维实体模型、各向同性等效模型和正交异性等效模型，并模拟楼板的边界条件和激励方式。三维实体模型按照楼板材料的实测属性建立，各向同性和正交异性等效模型根据本文给出的等效原则建立。

建立三维实体模型时，混凝土板采用solid65 三维实体单元模拟，压型钢板采用shell181 薄壳单元模拟，采用共享节点的方式模拟压型钢板和混凝土之间的共同受力。表5 为三维实体模型的材料属性，压型钢板和混凝土的材料属性取自实验结果。各向同性等效模型和正交异性等效模型均采用shell181薄壳单元模拟，等效前后组合楼板的材料属性和尺寸参数见表6～表7。

表5 组合楼板的材料属性

表6 组合楼板的三维实体模型和各向同性等效模型的参数

表7 组合楼板的三维实体模型和正交异性等效模型的参数

组合楼板的三维实体模型和等效模型图如图10所示。

图10 组合楼板有限元模型

3.2 模态分析结果的比较

试验结果与根据三维实体模型、各向同性等效计算模型、正交异性等效计算模型求解得到的1 阶振型和基频（取3次测试的均值）的对比如图11和表8所示。

图11 试验与模型仿真所得1阶振型对比

由图12 和表8 可以看出：三维实体模型和二种等效模型的1 阶振型基本一致；使用三维实体模型和两种等效计算模型得到的基频与试验误差均在6.5%以内；正交异性等效模型与三维实体模型的基频误差均在0.6%以内，而各向同性等效模型与三维实体模型基频的误差达到了11%左右，因此使用正交异性等效模型简化楼板可以得到更加精确的结果；使用二种简化模型求解所需时间仅为三维实体模型的1.5%左右。

表8 试验与模型的基频对比

3.3 激振试验结果的比较

在ANSYS 中利用谐响应分析模拟激振荷载对楼板的作用，施加的激振力幅值与频率范围与试验相同。分别求得组合楼板的三维实体模型、各向同性等效模型和正交异性等效模型的跨中峰值加速度并与激振试验测得的结果对比，取荷载幅值为4 N、12 N、20 N进行分析，根据3种模型所得结果与试验结果对比情况如图12至图14所示。

从图12至图14可以看出：根据三维实体模型和正交异性等效模型求得的峰值加速度与试验结果具有良好的一致性，而根据各向同性等效模型所得的结果与试验结果有一定误差；采用各向同性等效模型与正交异性等效模型均能大大简化建模过程，且使谐响应分析的求解时间仅为三维实体模型的10%左右。

图12 试验与模型仿真所得加速度对比（激振幅值为4 N）

图13 试验与模型仿真所得加速度对比（激振幅值为12N）

图14 试验与模型仿真所得加速度对比（激振幅值为20 N）

4 结语

本文针对闭口型压型钢板-混凝土组合楼板的振动问题，建立了各向同性等效平板模型和正交异性等效平板模型，通过有限元分析和楼板振动试验结果对比分析，得到如下结论：

（1）对大跨度、多层的组合楼板体系进行环境振动问题的分析时，将其简化为各向同性等效模型或正交异性等效模型是可行的，可以大大简化建模过程、显著提高计算效率。

（2）根据各向同性等效计算模型、正交异性等效计算模型得到的结果与组合楼板模态试验所得结果、激振试验所得结果都有着良好的一致性。根据正交异性等效模型得到的基频与三维实体模型误差仅为0.6%，而根据各向同性等效模型得到的基频与三维实体模型的误差接近11%；在进行谐响应分析时，根据正交异性等效计算模型求得的峰值加速度与试验结果更为接近。

（3）总体上，两种等效计算模型均有一定的应用价值，但正交异性等效计算模型相较于各向同性等效计算模型更为精确，在环境振动建模分析中可优先采用。