LF拓扑空间的Es-连通性*

何琼，王小霞，朱文国

(延安大学 数学与计算机学院，陕西 延安 716000)

连通性是拓扑学中十分重要的概念，学者们利用不同的方式把它的相关概念和性质推广到LF拓扑空间中[1-7]，并且研究了不同的连通性，如S*-连通性[1]、LFα-p连通性[2]、弱连通性[3]、β连通性[4]和WP-δ连通性[5]等.2010年，陈海燕利用半开集和半闭集[8]的定义，首次给出Es集和Es闭集的概念[9]；2018年，安艳将Es集和Es闭集推广到LF拓扑空间中，并研究了它们的相关性质[10].本文首先定义了Es-隔离集，并给出Es-连通性的概念；其次利用分析类比的方法，借助Es闭集的性质刻画了Es-连通性的等价条件，讨论了Es-连通集和连通集之间的关系；最后研究了Es-连通性的相关性质，进一步丰富了LF拓扑空间的连通性理论.

在本文中L是具有逆合对应的完全分配格，X是非空集，(LX，δ)是LF拓扑空间，它包含最大元1X和最小元0X,且对有限交和任意并封闭，δ中的元称为开集或开元，它的补集是闭集.M*(L)表示LX中全体非空并既约元之集，δ|Y表示δ在Y上的限制.其他没说明的符号见文献[1]和[10-13].

1 预备知识

定义1[8]设(LX，δ)是LF拓扑空间，A∈LX.

(1)若∃U∈δ,使得U≤A≤U-，则称A为半开集；

(2)若∃F∈δ′,使得F°≤A≤F，则称A为半闭集；

(LX，δ)中全部半开集构成的集合记为SO(LX),全部半闭集构成的集合记为SC(LX).

定义2[10]设(LX，δ)是LF拓扑空间，A∈LX.

(1)Es(A)=∧{O∈SO(LX)|A≤O}，若A满足A=Es(A)，则称A为Es集；

(LX，δ)中全部Es集构成的集合记为Es(LX)，全部Es闭集构成的集合记为Es*(LX).

注：(LX，δ)是LF拓扑空间，A∈LX,如果A是开集，那么A一定是半开集，则它一定是Es集；反之不成立.Es集的补集是Es闭集.

定义3[10]设(LX，δ)是LF拓扑空间，A∈LX.

(1)包含于A的一切Es集的并称为A的Es内部，记为intE(A),即

intE(A)=∨{B∈ES(LX)|B≤A}；

(2)包含A的一切Es闭集的交称为A的Es闭包，记为clE(A),即

clE(A)=∧{B∈Es*(LX)|A≤B}.

推论1[10]设(LX，δ)是LF拓扑空间，A∈LX.

(1)任意多个Es集的并是Es集；有限多个Es集的交是Es集；

(2)A是Es集的充要条件是A=intE(A)；

(3)A是Es闭集的充要条件是A=clE(A).

2 Es-连通性及其相关性质

定义4 设(LX，δ)是LF拓扑空间，A，B∈LX，如果clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X，则称A和B是Es-隔离集.

注：两个无交的Es闭集一定是Es-隔离集.

定理1 设(LX，δ)是LF拓扑空间，A，B∈LX，如果A，B是隔离集，则A，B是Es-隔离集.

证明设A，B是隔离集,由定义4知cl(A)∧B=A∧cl(B)=0X.由定义2中Es闭集是闭集知clE(A)⊂cl(A),所以clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X.但反之不成立.

定义5 设(LX，δ)是LF拓扑空间，G∈LX,如果(LX，δ)中存在非空Es-隔离集A，B且A≠B使得G=A∨B，那么称G是Es-连通集.当(LX，δ)中最大元1X为Es-连通集时，则称(LX，δ)是Es-连通空间.

定理2 设 (LX，δ)是LF拓扑空间，1X∈M*(L),则下面各个条件等价成立：

(1)G不是Es-连通集；

(2)存在Es闭集A，B使得A∧G≠0X,B∧G≠0X,G′∨A∨B=1X及G∧A∧B=0X；

(4)存在Es集A，B使得A∧G≠0X,B∧G≠0X，G≤A∨B及G∧A∧B=0X；

证明(1)⟹(2)设G不是Es-连通集，那么存在非空Es-隔离集A，B且A≠B使得G=A∨B.设A,B是LF拓扑空间中Es闭集,有

A∧B=0X，

A∧G=A∧(A∨B)=(A∧A)∨(A∧B)=A≠0X,

B∧G=B∧(A∨B)=(B∧A)∨(B∧B)=B≠0X,

使G∧A∧B=0X.由G=A∨B可知G′=A′∧B′，即

G′∨A∨B=(A′∧B′)∨A∨B=(A′∨A∨B)∧(B′∨A∨B)=1X，

所以(2)成立.

G′∨A∨B=(A′∧B′)∨A∨B=(A′∨A∨B)∧(B′∨A∨B)=1X,

所以(1)成立.

定理3 设(LX，δ)是LF拓扑空间，Y是X中的子集，且Y是Es-连通集，如果在(LY，δ|Y)中有Es-隔离集U和V，则Y⊆U或Y⊆V．

证明设U和V是(LY，δ|Y)中的Es闭集，Y∩U和Y∩V是(LY,δ|Y)中的Es闭集，有

(Y∩U)∪(Y∩V)=Y∩(U∪V)=Y,

(Y∩U)∩(Y∩V)=Y∩U∩V=0X.

如果Y∩U和Y∩V是非空的,Y是Es-隔离集，同时Y也是(LX，δ)中Es-连通子集，则Y∩U=0X或Y∩V=0X,即Y⊆U或Y⊆V.

定理4 设(LX，δ)是LF拓扑空间，如果G是(LX，δ)中的Es-连通集，G≤H≤clE(G),那么H是(LX，δ)中的Es-连通集.

推论2 设(LX，δ)是LF拓扑空间，如果G是(LX，δ)中的Es-连通集，那么clE(G)是(LX，δ)中的Es-连通集.

定理5 设(LX，δ)是LF拓扑空间,G∈LX，如果G是Es-连通集，那么G是连通集.

证明设G不是连通集，则存在隔离集A，B且A≠B使得G=A∨B，cl(A)∧B=A∧cl(B)=0X.由定义2中Es闭集是闭集知clE(A)⊂cl(A),所以clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X.即存在Es-隔离集A，B且A≠B使得G=A∨B，故G不是Es-连通集，矛盾.

定理5反之不成立.即：设(LX，δ)是LF拓扑空间,G∈LX，如果G是连通集，那么G不是Es-连通集.

例如在(LX，δ)空间中，设X={x1,x2}，L={0,a,b,c,d,1}，L中元素之间的关系：a′=b,b′=a,c′=d,d′=c,1′=0,0′=1,a∧b=d,0

则δ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,b),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(1,1)}.令Φ是所有半闭集之族，则

Φ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(1,1)}.

令Ψ是所有Es闭集之族，则

Ψ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(a,b),R(d,b),R(1,1)}.

定理6 设(LX，δ)是LF拓扑空间,G和H都是(LX，δ)中的Es-连通集，如果clE(G)∧H≠0X或G∧clE(H)≠0X,那么G∨H是(LX，δ)中的Es-连通集.

(G∨H)∧A∧B=(G∧A∧B)∨(H∧A∧B)=0X,

即(G∧A)∨(H∧B)=0X.故(G∧A)=0X，(H∧B)=0X,有

G∧clE(H)≤G∧clE(A)=G∧A=0X.

同理H∧clE(G)=0X,所以H和G是Es-隔离的，与假设矛盾.故G∨H是Es-连通的.