数字信号处理课程体系分析与教学实践

张海剑，余 磊，肖进胜，夏桂松

（1.武汉大学 电子信息学院，武汉 430072；2.武汉大学 计算机学院，武汉 430072）

随着科学技术的发展，世界进入了数字化时代，数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）领域发展迅猛，在研究和应用方面均取得了显著的进展，目前已被广泛应用于人工智能、机器人、电子、机械、通信和医学等领域。国内外几乎所有高校的相关专业都开设了数字信号处理课程[1-2]，该课程主要介绍DSP 领域的理论知识，涵盖了DSP 领域的基础分析方法，例如离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和z 变换等[3-4]。

数字信号处理课程具有知识点繁多、概念抽象内容重复交错等特点。目前，不少高校都建立了各自的DSP课程网站。比较分析各高校的课程网站可以发现，虽然现阶段DSP 课程教学资料比较丰富，但存在着一个普遍的问题：大部分情况下，课堂教学只是按部就班地讲解单个知识点。由于DSP 课程的知识点零散，学生难以从整体上系统地了解核心内容及各概念间的相互关系。如果对知识点的理解不够深刻，课堂授课往往达不到预期的教学效果[5-7]。

如何有效地帮助学生理解与掌握课程中的基本概念及原理、提高学生解决实际问题的能力以适应“双一流”大学建设中优秀人才培养的需要，是当前数字信号处理教学所面对的一个关键问题。因此，无论是从学生学习还是教师教学的角度，深入分析并系统整合课程内容对改善教学效果具有至关重要的意义。本文将系统分析该课程的体系结构和知识点之间的内在联系，设计一种新的课程体系，便于学生从整体上把握本课程的核心内容；另外，设计贴合实际应用的实践案例，以加深学生对课程体系和知识点的印象。

一、主要课程内容分析

数字信号处理通过对离散时间信号进行处理，以提取信号所携带的有效信息。课程主要介绍DSP 领域的基本理论知识，其主要内容包括6 个部分：时域中的离散时间信号、变换域中的离散时间信号、时域中的离散时间系统、变换域中的离散时间系统、连续时间信号的采样、数字滤波器的结构及数字滤波器设计[8-9]。

（1）时域中的离散时间信号：数字信号处理课程研究的是数字信号，即在时间上离散的信号。学习数字信号处理首先需要了解离散时间信号在时域的基本特性，包括其表示方法、性质、基本运算（相加、相乘、时移和卷积等）及一些典型信号（单位冲激信号、单位阶跃信号、正弦信号和指数信号等）。

（2）变换域中的离散时间信号：在数字信号处理领域，通常采用各种变换方法将信号从时域映射到相应的变换域进行分析。数字信号处理课程中介绍的变换方法主要有DTFT、DFT 和z 变换等。

（3）时域中的离散时间系统：信号处理是对原始信号进行处理得到新信号的过程，任何一个能够实现这种信号变换功能的整体都可以被称为系统。如果一个系统的输入、输出信号都是离散时间信号，则把这个系统称为离散时间系统。分析信号是从个体角度进行研究，而分析系统则是从整体、全局的角度进行研究。关于离散时间系统的时域特性，数字信号处理课程主要介绍其性质、冲激响应、输入—输出关系，以及线性常系数差分方程（LCCDE）表示等。其中，由于线性时不变（LTI）性质使得LTI 离散时间系统可以由其冲激响应完全描述（即若已知冲激响应，便可得到系统对任意输入的输出），因此LTI 离散时间系统是数字信号处理课程研究的主要对象。

（4）变换域中的LTI 离散时间系统：系统既可以在时域中分析，也可以在变换域中分析。对于LTI 离散时间系统，在时域中它可以由冲激响应完全表示；在频域中，它可以由频率响应（即冲激响应的离散时间傅立叶变换）完全描述；在z 域中，它由传输函数（即冲激响应的z 变换）完全描述。

（5）连续时间信号的采样：现实生活中遇到的信号绝大多数都是连续时间信号（如语音、图像和视频信号等），我们通常会将连续时间信号进行周期采样，得到离散时间信号再进行处理。因此，在实际应用中，采样往往是数字信号处理的第一步。在掌握了信号各种变换方法的基础之上，学习信号的采样过程，可以进一步分析时域采样在频域中的影响，深入理解信号采样前后在时域和频域的关系。

（6）数字滤波器结构及数字滤波器设计：数字滤波器是一个离散时间系统，也是实际中很常见的应用之一。数字信号处理课程介绍一般数字滤波器的基本结构，以及无限冲激响应（IIR）和有限冲激响应（FIR）数字滤波器设计的一些基本方法。学习这一部分内容，可以初步了解数字信号处理的理论知识在实际中的应用，同时也可以在实际应用中加深对理论知识的理解。

二、新的课程内容体系：对象、方法、应用与案例

基于前一节对课程内容的分析，数字信号处理课程的研究对象可分为信号与系统，二者虽然概念不同，但本质都是对信号序列的分析和处理过程。其中，系统的序列由其冲击响应序列来决定。由于在时域中，对信号或者系统的分析相对复杂，DSP 领域采用各种变换方法进行研究，将信号映射到变换域后特征更加明显，便于分析并进行处理。常见的变换方法包括DTFT、DFT 和z 变换等[10-11]。

因此，DSP 课程的研究对象实质为序列，分为信号和系统两个方面；而研究方法则是包括DTFT、DFT 和z变换等在内的各种常见变换方法；除此之外，以基本性质和研究方法为基础，课程将进一步介绍连续时间信号采样和数字滤波器设计，我们把这个方面的课程内容称之为“应用”。为了从整体上把握DSP 课程的主要内容、得到更清晰的结构框架，我们将新的课程体系框架以框图的形式显示，如图1 所示。

图1 课程体系框架：序列（对象）、方法、应用及实践案例（以语音定位为例）

（一）实践案例：混响语音信号定位

我们紧跟科学前沿，致力于将最新的科研成果转化成课堂教学案例。下面以混响语音信号（序列）为例，解释如何利用课程所学知识点（方法）来解决工程实践中的室内混响语音定位问题（应用）。

封闭空间中从信号源发出的信号，在传播过程中由于不断被封闭空间边界和物体吸收而逐渐衰减，信号在各个反射面来回反射，而又逐渐衰减的现象称为混响。因此混响效应可以看成来自封闭空间中不同方位的反射波经过延迟和衰减后的叠加，每条反射波到达的时间和强度均不同，该效果可以用镜像模型方法精确的描述[12]。图1 中显示了房间镜像模型的二维平面示意图（黑色加粗矩形表示真实室内空间，其他矩形表示室外镜像空间）：任何一条从实际信源（实源）到阵列的反射信号等价为来自室外镜像空间的镜像虚源到阵列的信号，因此混响信号可以看成所有镜像空间中的虚源到真实阵列的衰减信号叠加。镜像模型方法的优势在于，对混响进行了更精确的建模描述，这对复杂封闭空间强混响环境下的信号源定位具有很好的实用价值。

一般来说，真实房间的尺寸和阵列位置信息已知，但其他环境信息完全未知。假设x（t）表示室内房间中的混响语音信号（采样之后变为序列），可用以下数学公式描述封闭空间中的语音信号卷积模型

式中：H（k）=[h1（k），h2（k），…，hN（k）]表示房间脉冲响应矩阵（冲激响应序列），K 表示信道阶数，即实际环境中的x（t）可看作冲激响应H（k）和信号源s（t）的卷积混合（序列之间的线性卷积），n（t）表示噪声。可以看出，在时域中很难对式（1）中的信号模型进行分析和处理，DSP未来发展的趋势就是从时域向变换域转化，因为在变换域处理信号更为方便和简练（这是课程学习DTFT、DFT等变换的原因）。接下来，我们使用短时傅里叶变换（STFT）将式（1）中的时域信号模型转换成如下所示的时频（Time-Frequency，TF）域信号模型

式中：H（f）表示信道傅里叶转换矩阵。根据傅里叶变换的卷积定理（傅里叶变换的性质），式（1）中时域的卷积混合模型在时频域转换成了更容易处理的瞬时混合模型，这样卷积模型语音定位问题可以利用瞬时模型的方法来解决。

根据镜像模型原理，第n 个信号源（共N 个信源）和接收阵列第m 个阵元（共M 个阵元）之间的能量传播关系如下

由于阵列的位置dm已知，所以接下来只需要获得信源的空间位置，便能实现混响语音信号定位。对图1 中室内空间及室外镜像空间进行网格划分，从而将位置信息离散化为分布在平面空间的有限个网格点。假设真实室内矩形空间被划分为G 个网格点，那么室内空间和室外镜像空间共有G·（R+1）个网格点（R=0 表示无混响环境）。在所有的G·（R+1）个网格点中，只有其中N·（R+1）个位置存在信号源（包括室内空间的实源和R个室外镜像空间的虚源），因此利用空间稀疏性可以将语音定位问题构建成如下的压缩感知（采样定理的实际拓展）问题

式中：x（t，f）表示维度为M 的观测向量，s（t，f）表示维度为G·（R+1）的待恢复稀疏向量，其非零元素位置即为语音信号源的空间位置。

在此案例中，我们分别应用课程内容中的序列、冲激响应、卷积、短时傅里叶变换、傅里叶变化及其性质、采样定理和滤波器设计，将课程体系中的核心知识点很好地贯穿起来。另外，布置了此教学案例的课外作业：“实际室内混响和噪声影响下的定位问题非常复杂，不同房间的几何结构及墙面、天花板、地板、房间物体的声学特性均不同，故对室内环境的混响建模应该更贴合实际应用环境，请同学们课后考虑非矩形结构和不同的物体吸声系数，从而增强定位算法的普适性”。这种思考作业是为了让学生知道，课程内容只是科学研究的基础，要真正解决实际工程问题，还有待进一步的深入研究。

（二）新的“3+1”式模块及其教学实践

基于图1 所示的课程体系框架，我们将课程体系分为“3+1”式共四大模块（表1），分别为对象、方法、应用和实践案例。前2 个模块（定义、基本性质、分析方法）为理论基础，为学生讲解信号处理的基本概念、研究对象和基本方法；第3 个模块为应用模块，通过分析信号采样和滤波器设计的本质问题，为学生讲解数字信号处理在解决实际问题中的基本思路；第4 个模块为教学案例实践模块。

表1 “3+1”式课程模块

近几年的课堂教学效果表明，本文所提的“3+1”式课程体系和授课方法得到了学生的普遍认可。这种新的体系不仅加深了学生对DSP 课程体系的整体印象，更重要的是，紧跟科学前沿的实践案例将课程内容很好地贯穿起来，进一步巩固了学生对课程核心知识点的掌握，并提升了学生的学习和科研兴趣。

三、结束语

数字信号处理课程具有理论性强、概念抽象的特点，无论是从教学角度还是学习角度都有着较大的难度。本文通过对数字信号处理课程主要内容的具体分析，找出了各知识点之间的内在联系，并将课程的核心内容分为四大类来进行课堂实践教学，分别是研究对象、研究方法、应用及实践案例。其中，研究对象可以看成“序列”，分为信号和系统两类，本文分别在时域、频域和z 域对二者进行了分析；研究方法即各种信号变换方法，包括DTFT、DFT、z 变换等，本文对这些方法进行了讨论并分析了它们之间的相互关系；应用部分主要涉及信号采样和数字滤波器设计，分别介绍了采样及滤波器设计的方法，以及应用中对DSP 理论知识的运用；最后，我们以混响语音信号定位为例，阐释如何通过设计教学案例更深刻地理解课程体系和知识点。