极小表示组对极大无关组的教学探讨

章舜哲

（湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062）

在学习线性代数的过程中，极大无关组作为一个重要的概念，对证明矩阵的秩的很多不等式、求解线性方程组的基础解系和研究线性空间基与维数等问题起着非常重要的作用。在以往的课程教学中，结合线性代数的经典教材[1-5]，一般都是先提出线性相关和线性无关的概念，然后在此基础上提出极大无关组的概念。一些学生在刚开始学习接触这方面的内容时，容易产生一定的困惑，例如不太明白为什么要研究线性相关和线性无关，以及为何需要从一个向量组之中找出拥有最大个数的线性无关向量的部分组。虽然这两个问题可以通过后续的学习内容进行解答，但是结合以往的教学实践经验总结，经过我们的思考后，我们发现有更好的教学思路和方法可以进行尝试。本文将从一个向量组中选取最少的部分组来线性表示这个向量组的角度来给出极小表示组的概念，并由此引出线性相关和线性无关的概念，最后我们证明极小表示组和极大无关组在概念上等价，从而让学生更自然的去理解极大无关组的概念。

首先在第一部分中，我们给出线性代数教材[2]中线性相关，线性无关以及极大无关组的定义；第二部分通过一个用消元法解齐次线性方程组的例子，引出极小表示组—考察包含向量个数最少的部分组来线性表示一个向量组，从而进一步引出线性相关和线性无关的定义。最后证明极大无关组和极小表示组是等价的；第三部分我们给出结论。

1 极大无关组

在讨论极大无关组之前，首先我们需要弄清楚什么是线性相关、线性无关。线性代数作为一门逻辑性很强的课程，为了更加科学严谨的描述，在此参考了目前线性代数课本教材上给出的线性相关以及线性无关的定义。通过对定义的学习，我们能够制定阶段性的学习目标，结合书本学习与习题练习，能够让学生更加深刻的理解一些比较抽象的数学概念。

数学定义能够非常科学严谨的阐述线性相关和线性无关，以及他们的区别。但是由于数学定义通常比较抽象，使得初学者难以理解，当介绍到这里时，需要学生们发散的逻辑思维进行思考，在授课过程中，老师也可以举出一些生活中的例子帮助学生们加深对定义的理解。例如在日常美术绘画中，提供了3种颜色的颜料，如果有办法将其中某2种颜色的颜料经过混合得到第3种颜色的颜料，那么可以理解为这3种不同颜色的颜料之间是相互依赖的，即线性相关的。反之，如果提供了3种颜色的颜料，但是没有办法将其中2种颜色的颜料经过混合配比得到第3种颜色的颜料，那么这3种颜色的颜料就是相互独立的，我们可以理解为它们是线性无关的。

为了进一步利用矩阵与向量组秩的关系来处理线性方程组的相关信息，教材上一般考虑一个向量组中拥有最大个数的线性无关向量的部分组—极大线性无关向量组。极大线性无关向量组表示在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组，在研究很多线性代数的问题时，极大线性无关向量组扮演着非常重要的作用，而且一个向量组的极大线性无关组通常来说是它最为本质的一个特征。为了能够引导学生更好的理解极大线性无关向量组，首先我们先来看看它的定义。

在理解极大线性无关向量组的定义时，与向量组线性无关、线性相关均密切相关。学生们在进行学习时必须先对这些基础知识点有了一定的理解后，才能清晰的梳理清楚每个知识点之间的逻辑联系，这对于初学者来说是一个挑战。下面介绍一下我们提出的教学思路。

2 极小表示组

我们从用消元法解齐次线性方程组的全部解受到启发，提出一个很自然的问题：“如果齐次线性方程组存在非零解，那么就有无穷多个解，这样不方便我们研究。于是我们有必要探究这无穷多个解的数学规律？”。从代数的角度来看，我们希望能从这无穷多个解里找到一些部分解，使得这些部分解具有这无穷多个解的某些共同性质。从几何的角度来看，这无穷多个解在几何空间中代表无穷多个点，则这无穷多个点的分布规律具体是什么样的也是值得我们探讨的。从而很自然的可以引出极小表示组的概念。

首先我们给出一个解齐次线性方程组的例子：

从这个具体的例子我们能够发现这个齐次线性方程组有非零解，并且这无穷多个解可以只由两个解来线性刻画，因此，这两个解就能代表这个齐次线性方程组所有的解。此外，很容易验证任何一个解都不能线性表示这个齐次线性方程组所有的解。受到这个思想的启发，我们很自然的提出一个假设：对于一个向量组来说，我们希望能够找到一个部分组能够线性表示整个向量组，而且这个部分组所含向量的个数最小。从而引出极小表示组的定义。

满足：

（II）在满足（I）的条件下，最小。

请注意在这个定义2.1中，我们没有提到线性相关和线性无关的概念。

虽然在定义2.1中给出了极小表示组的定义，但是如何利用条件（II）来确定一个向量组的极小表示组并不方便。因此，我们需要对最小这个条件换一种刻画的方式。假设不是最小，那么在向量组中存在个向量，使得向量组中每个向量同样能够由向量组线性表示。因此

研究齐次线性方程组

最后，我们来验证按照此方式给出定义2.1以及线性相关和线性无关的定义的合理性。下面我们只需要证明定义1.2和定义2.1是等价的。

（1），（2）成立 （I），（II）成立。

证明：（必要性）线性代数教材[2]中3.4节定理1已给出由（1），（2）可得出（I）成立。下面我们证明最小。利用反证法，假设在向量组中有个向量，使得向量组中每个向量也能够由向量组线性表示。因此我们得到，由线性代数教材[2]中3.3节定理5可知，若，则向量组线性相关，这与（1）矛盾。故必要性成立。

3 结论

本文从用消元法解齐次线性方程组的全部解中受到启发，希望用向量个数最少的部分解来线性表示此方程组的全部解，从而很自然引出极小相关组的定义。然后为了方便刻画向量个数最少，我们引出了线性相关和线性无关的定义，并证明了极大无关组和极小表示组是等价的，从而说明了这一教学思路的可行性。通过这种教学思维方式，能充分激发学生的数学思维能力和兴趣，引导他们在课堂上进行创新性学习。相信学习了本课程之后，学生能够从不同角度以辩证的思路看待某个数学问题，对知识的理解也会更加深刻。