设计相关动载荷作用下的水下耐压结构拓扑优化

詹 可，蒋垣腾，赵 敏

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院 海洋工程国家重点实验室，上海 200240)

潜水器是进行深海勘探和海洋科学研究的重要装备，也是一个国家科学技术水平的重要体现。耐压壳作为潜水器的关键结构，其设计对潜水器的安全性和空间利用率等性能具有重要影响，在保障设备工作和人员安全方面起着重要的作用。目前学者们往往按照传统的金属材料耐压结构设计方法开展水下耐压壳结构设计，即将静水压力作为环境载荷作用于耐压结构上，然后开展安全性设计。但是，水下耐压结构也会面临一种特别的冲击载荷——内爆。当水下耐压结构不能承受外部水压而被压溃塌陷时，流场静水压力转化为流体动能，水流压缩结构至最小限度时，会发生水锤型的冲击，水流动能转化为冲击波压力对周围结构造成破坏，这种冲击载荷就是内爆载荷。单体结构内爆诱发多体结构内爆的现象就是殉爆。美国于2009年研制成功的11 000米级“海神号”无人潜水器搭载了大量陶瓷耐压结构，其结构如图1所示[1]，该潜水器在探索位于新西兰的世界第二深海沟克马德克海沟时下潜至9 990 m处由于单体陶瓷耐压结构内爆引发多体殉爆，导致整个潜水器损毁，所有设备几乎成为碎片。

图1 “海神号”上陶瓷耐压结构Fig. 1 Ceramic pressure hulls on hybrid remotely operated vehicle Nereus

美国海军[2]2004年发布的水下无人潜水器(UUV)计划要求潜水器的设计必须严格考虑耐压支承结构内爆所产生的影响。Turner[3]使用中空玻璃耐压结构在6.996 MPa的压力筒中进行水下内爆试验，得到了冲击波压力曲线；陈锋华和赵敏[4]对该耐压结构进行内爆模拟，取得了与试验值吻合的数值计算结果，并分析了流场压力波动特性，如图2所示，图2 (a) 为测试玻璃球体及监测装置，图2 (b) 为数值模拟7 MPa下内爆后的压力曲线。

图2 测试玻璃球体及监测装置和数值模拟7 MPa下内爆后的压力曲线Fig. 2 Test stand with glass sphere, blade and three pressure sensors numerical simulation of pressure curve after implosion at 7 MPa

从图2(b)可以看到，内爆后产生的压力大小随着时间在不断的发生变化，由于存在多次压缩与反弹过程，压力出现多个周期性峰值，对于周围耐压结构而言，环境载荷不再保持为静载。因此，在进行耐压壳优化设计时，要考虑动态载荷即载荷随时间变化对优化结果的影响。图2(b)中内爆后产生的压力存在多个周期性峰值，从载荷的类别上，可以将内爆后产生的压力以最高峰值为界分为两个阶段，从防护的角度研究水下耐压结构优化设计，由于单体内爆瞬间产生极大水锤型冲击，第一阶段可通过设置耐压结构防护装置，防止陶瓷耐压结构单体内爆导致的多体殉爆。第二阶段可将周期性压力变化简化成简谐载荷的形式，开展设计相关动载荷作用下的水下耐压结构拓扑优化理论及方法研究。图2(b)右上角为峰值后的压力曲线放大图，可以看到其载荷幅值波动在2 MPa以内，其载荷变化形式类似于简谐载荷。从横轴的时间尺度来看，周期约为1 ms，频率约为6 000 rad/s，即动载荷的频率较高。在多耐压结构共存的情况下，若某一水下耐压结构内爆产生周期性动态载荷，将会对其他耐压结构造成影响，仅考虑静载的耐压结构传统优化设计方法在该工况下难以适用。因此，研究设计相关动载荷作用下的水下耐压结构优化设计，是具有重要的理论意义和工程价值的。

目前，动力学相关的拓扑优化主要集中在最大化结构特征频率设计[5-7]，以及以频率为约束的优化问题[8]。但是，关于结构动响应比如以结构的动柔顺度为目标的研究较少。Ma等[9]首次将动柔顺度的概念引入到结构动力学拓扑优化中，并以动柔顺度为目标，利用均匀化方法研究结构动力学问题。Olhoff和Du[10-11]提出了频率渐变的IF方法和GIF方法研究动柔顺度相关问题，并且采用质量修正的插值模型去避免虚假模态问题，其结果表明该方法简单有效，求得的频率值准确。Liu等[12]给出了简谐载荷下不同列式的拓扑优化问题，用ESO算法给出了相应的以动柔顺度为目标的结构动力学优化设计，得到了较为理想的结果。Silva等[13]研究了不同因素对稳态强迫振动下的单材料结构拓扑优化的影响。以上研究均是关于固定载荷的优化设计问题，然而本文物理背景下研究的问题是设计相关动载荷作用下的优化问题，关于这类问题的研究相对较少，Olhoff和Du[10]和张晖等[14]利用其开发的边界搜索算法来研究此类问题。张晖等[14]进行了受内压的容器和水箱的优化设计，其采用RAMP(rational approximation of material properties)插值模型来避免虚假模态，并对结构拓扑的变化给出了定性的解释。但是，上述文献并未将设计相关动载荷作用下的优化问题引入到水下耐压结构设计问题中，并且对于得到的结构没有给出更为深入的解释。

本文研究聚焦于设计相关动载荷下的水下耐压结构拓扑优化问题，其中设计相关载荷的边界搜索是区别于固定载荷动力学问题的关键环节。目前关于加载面搜索算法的研究主要分为两类：一类是通过对节点密度的处理来搜索加载面，Du与Olhoff[15]提出利用贝塞尔样条曲线代表加载边界，由节点相对密度值插值得到的等值点来作为样条曲线控制点的等值线方法和Zhang等[16]提出的单元节点加载法均属于此类，该类方法的优点是易于实现，而且避免了载荷灵敏度分析；另一类通过构造多物理场来跟踪压力载荷的变化，Chen和Kikuchi[17]、Bourdin和Chambolle[18]分别提出的通过流体流动来识别压力载荷表面的技术。Kumar等[19]利用岩石力学中的Darcy定律来处理设计相关载荷。Wang和Qian[20]提出的基于密度梯度的方法来跟踪加载面。多物理场的优势在于压力直接作用于两相交界面上，无需进行加载面搜索，但其有限元建模相对复杂。除上述两类搜索算法外，也有一些学者进行了水平集方法下的加载面搜索算法研究，郭旭和赵康[21]，Jiang和Zhao[22]利用水平集演化技术，提出了一种设计相关载荷作用边界的搜索方法，通过适当的数学变换，方便的处理施加在结构上的拓扑相关载荷，避免了在密度法中繁琐的边界提取工作。

采用Ibhadode等[23]提出的BILE(boundary identification-load evolution)模型作为边界搜索算法，这一边界识别和载荷演化的模型通过设置单元伪密度阈值来搜索加载面，该阈值在每次迭代中通过特定的方式递增以进行边界识别。同时，引入一个参数来定义两个边界识别步骤之间载荷演化的迭代次数，也可以控制优化的速度。BILE模型属于第一类加载面搜索算法，无需进行载荷的灵敏度分析。因此，该模型易于应用，而且在80～100次迭代步后得到的数值结果都具有不错的计算速度和可行性[23]。

通过将内爆后耐压结构所受载荷简化为周期性载荷，研究设计相关动载荷作用下水下耐压结构的拓扑优化理论及方法，采用SIMP(solid isotropic microstructures with penalization)方法，选择Ibhadode等[23]提出的BILE模型作为边界搜索算法，并结合杜建镔[24]提出的修正的材料插值模型来避免局部模态现象，采用静柔度权重因子的拓扑优化数学模型来解决高频下的水下耐压结构拓扑优化设计，给出在不同频率下的水下耐压结构最优构型，指导耐压结构的概念设计，为结构设计人员提供思路。

1 问题提出

1.1 有限元分析

考虑受简谐变化的压力设计相关动载荷拓扑优化问题，用有限元方法离散连续体结构时，结构在随时间变化的力作用下的动力响应平衡方程可写成：

(1)

不考虑阻尼C=0，且在谐响应的情况下可以得到:

(K-w2M)u=F

(2)

其中，M,K分别代表了结构的总质量矩阵和刚度矩阵，利用有限元方法可得：

(3)

其中，n是设计域中单元的总数。mi和ki是单元质量和刚度矩阵，通过式(4)、(5)计算：

(4)

(5)

其中，V是单元的体积，ρ和D分别是质量密度和本构矩阵，N和B表示单元形状函数和应变位移矩阵，mc为单元的一致质量矩阵，ml为单元的集中质量矩阵。本文采用形如式(4)中的组合形式来减少计算误差。

1.2 拓扑优化数学模型

基于密度法的连续体结构拓扑优化问题，将设计变量松弛为0～1之间任意值的连续变量优化问题。由于这样的松弛方式将导致最优结构中出现中间密度的材料，为了减少灰度单元，常采用惩罚因子来对单元伪密度进行惩罚。最常采用的是SIMP方法，设给定设计区域为Ω，用N个单元离散，每个有限单元的相对密度为：xi(i=1,2……N)。对于各项同性材料，由SIMP模型可以得到单元的弹性模量：

(6)

式中：E0为固体材料的弹性模量；p为惩罚系数，在文中取3；Emin是为了避免总体刚度矩阵奇异性而引入的非零常数，取0.001。

本研究给定体积约束下最小化结构的动柔顺度问题，当使用标准的SIMP法进行动力学优化时，存在局部模态(也称虚假模态)现象。局部模态现象是指在优化过程中，设计域内会出现一些低密度区域，由于这些区域的刚度与质量比远低于其他位置，会导致最后求解的振动模态出现剧烈的振荡。因此，在动力学拓扑优化中需要对局部模态进行处理。Lazarus和Hagiwara[25]建议采用0.1作为低密度区的门槛值，Pedersen[6]提出一种修正的刚度插值模型；杜建镔[24]借鉴Pedersen[6]提出的插值形式的思路，提出对低密度区的质量插值模型进行修正，采用杜建镔[24]提出的质量修正模型：

me=xeρe,ρ≥0.1

(7)

me=xeqρe,ρ<0.1

(8)

其中，me为单元的质量，xe为单元的相对密度，ρe为单元的物理密度,q是进行单元质量插值时的惩罚因子，文中q取为 6。因此，优化问题的离散数学模型为：

(9)

当频率接近或高于一阶固有频率时，采用上述优化模型无法得到可靠的结果(3.1节会给出相关算例来说明)，需引入静柔度约束，或目标函数中引入含静柔度的权重因子[13]，采用第二种方式，其数学模型为：

(10)

其中，F为设计相关动载荷的载荷幅值向量，U为位移幅值向量，K、M分别为整体刚度和整体质量矩阵，w为激励频率，Cd为结构动柔顺度，Cs为静柔度，计算KU=F得到，V为实际材料体积，V0为设计域体积，f为给定材料体分比，n为设计域中单元的个数。

1.3 灵敏度分析

为了解决式(9)中列出的优化问题，需要目标函数对设计变量的导数。采用优化准则法对优化问题进行求解。目标函数对设计变量的求导为：

(11)

根据KdU=F，可得：

(12)

(13)

代入式(11)可得：

(14)

对于BILE模型(第2节中将给出具体的搜索方法)，单元密度被用于定义加载面，压力载荷直接作用于加载节点，每个等效力在每次迭代中大致保持相同的大小。在两次迭代之间，由于加载面的长度和加载节点的数量同时增加或减少，每个等效力的大小都不会有显著变化。因此，在整个优化过程中，每个等效节点力的大小保持不变[23]。载荷对设计变量的伴随灵敏度为0，则灵敏度为：

(15)

即：

(16)

2 BILE模型

在设计相关载荷作用下结构拓扑优化的研究难点在于如何确定设计相关载荷作用的加载面。采用Ibhadode等[23]提出的BILE模型作为加载面搜索算法，因为其收敛速度快，能够在80～100个迭代步给出与其他算法相似的结构，且本文为应用研究，BILE模型能够更快给出一个较为准确的结果，有效提高工作效率。

该方法的基本流程为：

1)确定每次迭代的边界节点。根据单元密度阈值以及每个节点相邻单元的平均密度值确定边界节点如图3(a)和3(b)，第一次迭代时由于各单元密度值相等，边界节点为设计域四周节点。而迭代过程中，某一节点n的选取公式为:

(17)

其中，xn,i为节点周围的4个单元，xsn,l为当前节点邻接的4个节点Sn的四周单元，若当前节点四周的单元密度符合公式的选取规则，则当前节点被标记为边界节点，某一次的选取如图3(b)所示。

2)从生成的边界节点中选择加载节点[如图3(c)]形成加载面。在BILE模型中，选取最外侧边界点作为加载节点，具体是否选取某一边的加载节点取决于初始边界条件和边界条件与加载节点关系。

图3 节点n的邻接节点以及某一次优化过程中的边界节点和载荷节点Fig. 3 Adjacent node of node n, boundary node in a certain optimization process, load node in a certain optimization process

3)施加等效节点力。对于一个加载节点，该点上力的角度由连接两个最近的加载节点到垂直正方向的直线的法线逆时针来计算。

由于是通过单元伪密度阈值并人为设定一定规则来搜索压力加载面，不必求解力的伴随灵敏度项，这样不仅简化了目标函数灵敏度的求解过程，而且也加快求解的速度，提高了整体的计算效率。

3 数值算例

由于实际结构均存在阻尼，阻尼对高频响应有很强的抑制作用，对低频响应的影响较小[24]，这里主要关注小于或略高于结构一阶固有频率的低频共振优化问题，研究不同设计域和约束以及频率条件对结构拓扑的影响。

Synergy HT酶标仪（美国BioTeK公司）；Mini-PROTEAN Tetra蛋白电泳仪、Trans-Blot SD半干转膜系统（美国Bio-rad公司）；Direct-Q超纯水仪（美国Millipore公司）；5417R高速冷冻离心机（德国Eppendorf公司）；IKA T18 basic匀浆器（德国ULTRATURRAX公司）；AX70显微照相系统（日本Olympus公司）；ImageQuant LAS 4000全自动图像分析系统（美国GE公司）。

采用优化准则法进行设计变量的更新，利用MATLAB中的eigs函数求解结构频率，其求解对称矩阵采用Lanczos算法。在本文算例中，Sigmund[26]、Sigmund和Maute[27]提出的灵敏度过滤方法被用来消除计算中的棋盘格，网格依赖性等数值不稳定现象。

3.1 受内压的拱形结构

作为承受压力载荷的结构优化问题中的经典算例，选择内部受压的拱形结构优化设计作为第一个算例，用以验证搜索算法在动态问题上的适用性。初始的设计域及约束条件等如图4所示。动载荷幅值为1.0，实体材料的材料属性均采用无量纲化的取值，弹性模量取值为1.0，泊松比取值为0.3，质量密度ρ=1.0×10-6，本节算例的上述参数取值相同。设计区域离散成 40×20个正方形单元，且最大允许的材料体积占初始总体积的体积分数为50%。

图4 初始设计域及边界条件Fig. 4 Design domain and boundary conditions

此前，已有许多学者进行了设计相关载荷下的拓扑优化研究。图5表明本文优化结果的拓扑形式与Zhang等[16]研究以及Xia等[28]研究的结果类似。表1开展了本文优化结果的柔度与Xia等[28]研究和Zhang等[16]研究结果的比较，当杨氏模量采用1.0，网格为100×50时，本文柔度值为10.02，小于表1中Xia等[28]研究的结果；当杨氏模量采用100，网格为40×20时，本文的柔度值为0.07，略小于表1中Zhang等[28]研究的结果。本文的方法获得了较小柔度的拓扑结构，优于参考文献的结果。

图5 本文结果与不同文献结果的对比Fig. 5 Comparison of optimization results between this paper and other references

表1 设计相关载荷下拓扑优化的数值示例对比：受内压拱形结构Tab. 1 Comparison of numerical examples of topology optimization under design-dependent loads: arch structure subjected to internal pressure

图6给出了采用式(9)的优化模型时随激励频率变化目标函数以及拓扑形式的变化。可以看到，当激励频率低于500 rad/s时，随着激励频率的增大，虽然优化结果的动柔度略有增大，但拓扑结构形式并无明显差异。当激励频率为200 rad/s时，本文优化结果与张晖等[14]的研究结果对比如图7(a)和7(c)所示，拓扑形式几乎一致。随着激励频率增大到600 rad/s时，由于频率过大，求解并不收敛，中间结果如图6所示。图7(b)为激励频率800 rad/s时的中间结果，虽然与图7 (d)张晖等[14]的研究结果类似，但继续优化后求解并不收敛，最终结果发散；张晖等[14]在其论文中已经说明其结果不满足体积约束，非可行解。由此可见，传统的以单一动柔度为目标的拓扑优化数学模型存在缺陷。

图6 不同激励频率下的优化结果对比曲线Fig. 6 Comparison curve of optimization results under different excitation frequencies

图7 不同激励频率下本文优化结果与参考文献[14]的对比Fig. 7 Comparison of optimization results between this paper and reference [14] with different excitation frequencies

因此，引入了如式(10)的目标函数——含静柔度权重因子的优化模型来计算高频下的结果，其有效性已在Silva等[13]研究中得到证明。该方法中η的选取对结果影响较大。表2给出了激励频率为800 rad/s时，不同η下优化结果，其中nlter为迭代步数。

表2 激励频率为800 rad/s时不同的η对结果的影响Tab. 2 The effect of different η on the result when excitation fequency is 800 rad/s

当η大于0.6时，拱形结构中会存在一些灰度单元，且结果并不对称；随着η的减小，优化结果呈现“0～1”分布，且η为0.4时结构的一阶固有频率为808.2 rad/s，比静载时的结构频率750.5 rad/s高；因此，在利用式(10)的优化模型进行受内压的拱形结构优化时，建议η在0.2～0.4取值。

3.2 设计相关动载荷下的水下耐压结构平面应变模型优化设计

图8 设计域与边界条件Fig. 8 The design domain and boundary conditions

图9和图10分别为不同激励频率下的优化结果以及激励频率200 rad/s时的优化过程。

图9 六种激励频率下的最优拓扑Fig. 9 Optimal topology under six excitation frequencies

图10 设计问题的优化过程Fig. 10 Optimization history for the design problem

图9(a)中为静水压(激励频率为0 rad/s)下的优化结果，与以往学者[30-31]所得到静水压下的结果基本一致，其一阶固有频率为418.1 rad/s。图9(b)～(f)中随着激励频率的增大，由于算法振荡，导致优化结构的拓扑构型在局部边界处灰度单元减少，但优化结构的整体构型基本保持不变。在设计域中无固定端等强约束时，图8所示的初始设计域在低于静水压下结构的一阶固有频率的不同激励频率下，圆环均为最优的结构形式，进一步验证了圆柱壳作为耐压结构的合理性。当激励频率高于静水压下结构的一阶固有频率(418.1 rad/s)时，采用式(10)的模型来进行优化。激励频率为500 rad/s时不同η下的结果对比如表3。

表3 激励频率为500 rad/s时η对结果的影响Tab. 3 The effect of η on the result when excitation fequency is 500 rad/s

从表4可以发现，当η为0.80时，表3中优化结果的一阶固有频率较圆环型耐压结构小，且并不呈现出中心对称的构型，不可取；随着η减小到0.40，优化结果呈现较为清晰的“0～1”分布，且表4中显示结构的一阶固有频率普遍高于圆环型耐压结构的一阶固有频率，但大于0.30时，结构对称性没有小于0.20时好，在利用式(10)的优化模型进行设计相关动载荷下的水下耐压结构平面应变模型优化设计时，建议η在0.05～0.20内取值。

表4 激励频率为500 rad/s时不同η下结果的第一阶固有频率Tab. 4 Fundamental frequency of results under different η when excitation fequency is 500 rad/s

3.3 设计相关动载荷下的水下耐压结构轴对称模型优化设计

除了上述开展耐压结构平面应变模型的研究外，一些学者[30-31]进行了静载环境轴对称下水下耐压结构的设计研究。在前人的基础上，开展设计相关动载荷作用下水下耐压结构的拓扑优化研究，其设计域与边界条件等如图11(a)所示。考虑到图11(a)中的模型及边界条件的对称性，取 1/4 模型如图11(b)所示作为设计域，并离散成120×48个正方形单元，且最大允许的材料体积占初始总体积的体积分数为35%。

图11 设计域与边界条件Fig. 11 The design domain and boundary condition

图12(a)中结构的第一阶固有频率值为1 253.8 rad/s。从图12(b)、12(c)及图13优化结果可以看到，随着激励频率的增大，固定约束处的材料聚集明显，整体材料分布有靠近约束的趋势。

图12 三种激励频率下的1/4轴对称模型最优拓扑Fig. 12 Optimal topology under three excitation frequencies of 1/4 axisymmetric model

图13 设计问题的优化过程Fig. 13 Optimization history for the design problem

定义固定端约束两侧5列单元密度和为约束处面积，表5及图14反映出随着激励频率增大，约束处面积不断增大，这与杜建镔[24]所做的流道设计中随着激励频率变大，顶部稍薄，支撑处有所加强有相似之处。为了解释这种现象，考虑不同频率下最终优化构型的第一阶模态刚度与模态质量比值的变化：

图14 不同激励频率下固定约束处体积Fig. 14 The volume of the fixed restraint under different excitation frequencies

表5 不同频率下约束处体积Tab. 5 Restricted volume at different frequencies

(18)

其中，wn为结构的圆频率，ur为结构的第r阶模态向量，K、M分别为结构总的刚度矩阵和质量矩阵。由于频率不同，结构的第r阶模态刚度和第r阶模态质量均在发生变化，无法很好地反映材料变化对结构模态刚度和结构模态质量的影响。因此，利用振动力学模态质量正则化方法[32]，可得相应的正则模态刚度为：

(19)

通过比较正则模态刚度的变化，可以比较材料分布变化对结构一阶固有频率的影响。图15给出了不同激励频率下优化结构的第一阶正则模态刚度变化情况。随着激励频率的增大，优化结构的正则模态刚度也在不断增大。因此，拓扑形式上的不同，实际上反映的是优化过程中材料的增加和去除对结构一阶模态刚度与一阶模态质量比值的影响，若某位置材料的增加或去除能使其比值变大，则能够提高结构的一阶固有频率。图16优化结果的一阶固有频率随激励频率的变化情况也验证了上述观点。因此，对于多球交接的水下耐压结构形式，在多球交接的位置采用环向加强肋可以提高结构的动力学特性，使耐压壳能够适应更加复杂的水下环境，提高潜水器抗冲击性能。

图15 优化结果一阶正则模态刚度随激励频率变化Fig. 15 The first-order canonical mode stiffness varies with the excitation frequency

图16 优化结果一阶固有频率随激励频率变化Fig. 16 The first-order frequency varies with the excitation frequency

当激励频率高于静水压下结构的第一阶固有频率(1 253.8 rad/s)时，采用式(10)的数学模型来进行优化。表6给出了激励频率为1 300 rad/s时不同η的拓扑优化结果。

表6 激励频率为1 300 rad/s时不同η对结果的影响Tab. 6 The effect of different η on the result when excitation fequency is 1 300 rad/s

当η大于0.20时，优化结果出现较多的灰度单元，结果不可取；随着η的减小，优化结果呈现较为清晰的“0～1”分布。因此，在利用式(10)的优化模型进行设计相关动载荷作用下的水下耐压结构轴对称模型优化设计时，建议η在0.01～0.15内取值。

为了进一步说明优化结构的应用可行性，图17(a)、17(b)分别给出了MIT 水下潜水器设计团队设计的一种多球交接耐压壳体模型[33]及张建等[34]提出的多蛋交接耐压壳三蛋形壳截面，本文得到的多球交接耐压结构如图17(c)所示。可见，本文中得到的多球交接耐压结构球壳交接处与图17(a)、17(b)非常相似，在连接处会进行局部加强，结构一阶固有频率更高，动力学性能更好，说明本文对于水下耐压结构的探索具有一定的工程应用价值。

图17 考虑设计相关动载荷得到的优化结果与其他文献结果的比较Fig. 17 Comparison of optimization results between this paper under design-dependent dynamic loading and other references

4 结 语

通过将内爆后耐压结构第二阶段所受高频率的周期性变化载荷简化为简谐载荷，基于Ibhadode等提出的BILE加载面搜索算法，研究了设计相关动载荷作用下的水下耐压结构拓扑优化研究及方法。同时，采用了静柔度权重因子的拓扑优化数学模型来解决高频下的水下耐压结构拓扑优化设计，数值算例验证算法有效性。

着重研究了设计相关动载荷作用下的水下耐压结构拓扑优化问题，探索了水下耐压结构新形式。低频时，圆环型耐压结构与静水压下相似，但对于多球交接耐压结构，随着频率增加，材料往约束处聚集以提升结构的动力学性能；接近或高于一阶频率时，圆环型耐压结构与多球交接型耐压结构形式均与静水压下的结果存在明显差异，多球交接型耐压结构与现有的耐压结构概念设计结果相似。最终，探究了其在工程实际中的应用，对新型水下耐压结构的概念设计具有积极的意义。

本文的研究只是对设计相关动载荷作用的水下耐压结构优化设计的初步探究，在未来的工作中，将致力于该方法的三维拓展及屈曲约束下的水下耐压结构优化设计以及其对应的三维拓扑优化问题。