信息技术助力直观想象素养落实的案例研究*——以几何画板软件教学为例

张俊峰 柳军

（1.临泉县第三中学，安徽 阜阳 236400；2.临泉县教育局教研室，安徽 阜阳 236400）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课标（2022 年版）》）指出：注重信息技术与数学教学的融合，合理利用现代信息技术，设计生动的教学活动，提供丰富的学习资源，促进教学方式方法的变革。教师可以利用信息技术数学专用软件开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构。在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。《普通高中数学课程标准（2017 年版）》（以下简称《课标（2017 年版）》）也强调：注重信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合。因此，数学教学中应用信息技术，是时代发展的必然要求，不以人的意志为转移。教师必须改变自己的教学行为，把提高信息技术与数学教学整合水平作为专业化发展的必由之路。本文从几何画板的功能简介、直观想象的内涵理解、直观想象的案例研究出发，提出信息技术与数学课堂教学融合的一些思考。

一、几何画板的功能简介

几何画板（The Geometer's Sketchpad）软件，是美国Key Curriculum Press 公司研发的优秀教育软件，它的全名是“几何画板—21 世纪的动态几何”。1996 年，该公司授权人民教育出版社发行该软件的中文版，同年，全国中小学计算机教育研究中心开始大力推广“几何画板软件”。该软件具有强大的几何绘图、测量与计算、构图与变换、函数作图与分析等功能，能够把隐藏的数学关系显性化，把抽象的数学对象直观化，把静态的图形动态化，使学生在一种直观、动态的情境中观察发现数学对象和关系的变化，体会探索数学规律和奥秘的艺术享受。

二、直观想象的内涵理解

（一）直观想象的内涵

《课标（2017 年版）》把“直观想象”描述为：“借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。”它与其他数学核心素养密切联系。对于“几何直观”，徐利治教授认为它是一种感知，即借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[1]。孔凡哲、史宁中教授则认为几何直观属于能力范畴，即借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力[2]。“空间想象”则是以人们以已有的事物表象为基础，对该事物的几何表象进行加工、改造，甚至创造新的形象。二者既有区别，也有密切的联系，即几何直观为空间想象提供了认识基础，空间想象直接为几何直观和由之向整体把握的发展提供了方法[3]。因此，直观想象并非几何直观与空间想象的简单相加，而是二者的一种有机整合，即直观想象素养作用在学生身上所表现出来的思维品质与关键能力。

关于初中阶段的数学直观想象素养，《课标（2022 年版）》已经明确指出，它对应着“几何直观”和“空间观念”。因此，初中阶段培养学生的直观想象素养，实质上就是发展学生的“几何直观”与“空间观念”。

（二）直观想象的内容领域

“直观想象”素养的适用领域，基本涵盖初中数学课程内容（数与代数、图形与几何、概率与统计、综合与实践）的各个模块。

在“数与代数”模块，基于数与式的结构特征，建构相应的几何模型；或依据几何模型的特征，想象相应的代数结构；把数与式的特征、大小与相互关系转化为几何图形的形状、大小与位置关系。比如由“平方差公式”“完全平方差”的代数结构，联想、构建几何图形，借助几何直观理解公式，了解公式的几何意义。再比如依托数轴建立数（实数）与形（点）之间的联系；借助数轴直观、形象地描述绝对值的几何意义、不等式的解集；借助平面直角坐标系，实现“有序数对”与点的内在统一；由函数解析式画出相应函数的图像利用函数的图像研究它的性质等，发展学生的几何直观与空间观念。

在“图形与几何”模块，借助图形直观，运用观察、思考、实验、猜想、证明等思维活动方式，探索图形的性质和运动变化规律等。

在“概率与统计”模块，利用计算机从数据库中获得数据，绘制合适的统计图（表），根据统计图（表）描述和分析问题；也可以利用计算机的随机模拟结果，帮助学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率等。

在“综合与实践”模块，借助几何直观与空间观念，解决实际（或综合性）问题，发展直观想象素养。

三、直观想象的案例研究

基于学生已有的数学知识、学习经验、思维水平，以发展学生的直观想象素养为导向，依托几何画板教学手段，创设合适的课堂教学情境与问题，引领学生积极主动参与数学知识的获取过程，发展学生的数学思维与直观想象素养。以此思想为指导，举以下三个案例作示范。

案例1：探索角平分线的性质

角平分线的性质是沪科版数学八年级上册第15 章第4 节第2 课时的内容（第1 课时内容是尺规法画“角平分线”和“过一点画垂线”），教材因篇幅所限仅给出一个“思考”，然后呈现性质的证明过程，进而归纳性质定理。之后，通过“思考”性质定理的逆命题得到判定定理。笔者以为“角的平分线”与“线段的垂直平分线”类似，“性质的探索与发现”是教学的重点，同时也是难点。从知识逻辑看，“尺规法”作出的角平分线是性质探索的起点，以“尺规法”得到的图形为背景材料探究性质，能体现知识的自然延伸和发展。从学生思维的视角看，“怎么想到研究角平分线上的点到角两边的距离”“怎样能体现角平分线上点的任意性”是学生的疑点。因此，通过数学实验让学生经历定理的形成过程，理解“角平分线上点的任意性”和“到角两边距离相等”的含义，是加深定理理解和应用的关键。教学时可做如下设计：

活动1：任意画一个角，并用“尺规法”作出这个角的平分线如（图1）。

活动2：（以图1 为背景材料提出问题）若已知OC=OD,OP是∠AOB的平分线，PC与PD相等吗？为什么？若点P是∠AOB的平分线上任意点，上述结论还成立吗？由此，你能得到什么结论？（待学生思考交流后，教师引导学生借助几何画板进行数学实验。即在几何画板中度量出PC与PD的长度，鼠标拖动点P在角平分线上移动，观察PC与PD长度的变化，归纳结论）

活动3：活动2 说明“角平分线上任意点到角两边的特殊点（满足OC=OD的点）的距离（两点间的距离）相等”，如果把这里的“距离”改为“点P到角两边OA与OB的距离（点到直线的距离），即从点P分别向OA、OB作垂线，设垂足为点C、D，那么PC，PD的长度还相等吗？引导学进行如下实验：

步骤1：在角平分线上任意取一点，从这个点向角两边作垂线，通过度量、折叠的方法，猜想：这个点到角两边的距离有何关系？

步骤2：在几何画板中，构造出∠AOB的平分线OM和任意点P，从点P向角的两边构造垂线（设垂足分别为点C、D）（图2），度量出PC、PD的长。然后让学生用鼠标拖动点P移动，观察PC、PD的长有何变化？再改变∠AOB度数的大小，重复上述操作，有什么发现？验证“步骤1”的猜想，抽象结论。

活动4：证明猜想（略）。

案例2：探究函数y=ax2+bx+c 的图象与参数的关系

对于函数性质的研究，利用图象在运动变化中进行观察是基本方法。然而，课堂观察发现，在函数性质的学习中，大多的教师通常是要求学生用“描点法”作出有限的几个特殊函数的图象（或教师自己先作好图象），然后让学生观察图象得到性质。在这样的教学环境下，学生对于为什么要画这几个函数的图象，为什么这几个函数的图象可以代表一般，都是不得而知的。在信息技术环境下，教师利用几何画板强大的构图和图形变换功能，使隐蔽的函数特征得到显示，呈现“特殊到一般”的研究问题的过程，从而延伸学生的视角，发展直观想象素养。基于此思考，可做如下设计：

活动1：请给出几组特殊值，用描点法画出函数的图象，观察图象特征，猜想函数的图象与参数的关系。

活动2：实验。

步骤1：引导学生运用几何画板“绘图”工具，新建参数a,b,c，再新建函数y=ax2+bx+c，得到图3。

步骤2：请学生任意改变参数a的值，其他参数值不变，观察图象的变化规律。然后再请学生操作（按Shift+“加号键”或“减号键”），使参数a的值逐渐增大或减小，感受取任意值时图象的变化规律，归纳性质。（同样，改变参数b，c的值，观察图象的变化规律（见图4）

步骤3：由上述操作发现，当a=0，b≠0时，二次函数的图象变为一条直线，解析式化为一次函数。按照上述方式操作，分别改变b，c的值，可以探究一次函数的图象与参数的关系。

案例3：精准构图，发展直观想象

北师大版数学选修2-1“双曲线及其标准方程”一节，教材设计了一个“拉链试验”，意在通过操作实验画出双曲线模型，发现双曲线的几何特征，归纳定义。教材设计过程符合圆锥曲线概念生成的一般路径。然而，虽然此试验设计的理想是“丰满”的，但现实却是“骨感”的。如在一次省优质课课堂展示中，教师请两位同学利用自制的画图工具合作画双曲线，然而尝试了三次都没能成功，第四次才勉强画出图形，此时图形已经看不出双曲线的“模样”了。虽然让学生动手操作实验，能够积累画双曲线的活动经验，然而对于初次学习双曲线的学生来说并不是很好的经历。基于上述思考，可以先引导学生回顾椭圆的概念、标准方程和研究思路，然后类比椭圆定义提出问题：“平面内到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹是什么呢？”让学生思考，尝试画图、猜想结论。接着利用几何画板模拟“拉链试验”（见图5），并度量计算出拉链上的点到两定点的差，引导学生观察当拉链在打开与闭合时它们的“差”是否发生改变。通过几何画板演示，直观、形象、精准地呈现双曲线的动态生成过程，进而发现双曲线的几何特征，水到渠成地得到双曲线的概念，使数学抽象、直观想象素养自然落地。

四、两点思考

（一）信息技术的运用应遵循数学学科整合原则

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。例如借助几何画板的“可视化”，能够为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观感受，引导学生自主获取资源等。但是，我们要做到真正地理解技术，理解信息技术只是服务于数学教学目标的手段；理解技术不能改变数学教学的性质和规律，不能被用来代替基本的数学活动，更不能期望依赖信息技术创造数学教育的奇迹；理解信息技术的使用不是要替代传统的教学工具，而是要发挥信息技术的功能，做传统的数学教学不能做或做得不太好的事情。因此，对信息技术的运用要把握好“度”，即要遵循“必要性”“平衡性”“实践性”“实用性”“广泛性”原则[4]。对于有些教学内容，使用技术有利于学生更好地理解，我们就使用；而有些内容不需要使用，我们也不要勉强。要认清信息技术“辅助手段”的角色，不能喧宾夺主，为了使用而使用。毕竟数学是一门思维的科学，学生思维能力的培养还要靠独立思考与自主探究，更离不开数学抽象与逻辑推理，这些都是信息技术所不能独立完成的。

（二）信息技术的运用应体现学生发展为本理念

《课标（2017 年版）》指出：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。数学课程融入信息技术的初衷也是如此。而信息技术作为一种功能强大的教学软件，在培育学生的信息素养、帮助学生深刻理解数学的本质方面起着独特的作用。只有清楚了这一点，我们的教学才不会“跑偏”。由于数学的高度抽象性、数学概念联系的广泛性和复杂性等，这就使得有些教学内容利用传统的教学手段学生往往很难理解，或不易操作。而信息技术所具有的“形象化”“多元联系表示”“连续性”等功能恰好可以很好地弥补这一缺憾。同时，信息技术可以推动数学实验，尝试模拟，提出猜想等非形式化的、具有创造性的数学思维活动，使得形象思维与抽象逻辑思维相得益彰，促进“学生发展为本”理念的有效落实。