基于Radau伪谱法的储能式有轨电车速度优化控制*

李德宏 朱博维 刘 欢

(1. 中铁建云南投资有限公司， 650220, 昆明; 2. 中国铁建昆仑投资集团有限公司， 610040， 成都;3. 昆明理工大学， 650500, 昆明∥第一作者， 正高级工程师)

随着城市轨道交通的发展，城市轨道交通系统的能耗不断增加，因此，很有必要研究其节能减排方法。目前，轨道交通的主要节能方法有提升电机效率、降低列车阻力及优化列车速度等[1]。其中，优化列车运行状态是一种有效、简单、可靠的方法，它不需要额外的基础设施，而是通过优化列车速度和牵引力分配来提高交通效率。通过优化列车站间速度曲线，可以降低列车的牵引能耗，从而降低轨道交通系统的总能耗。

目前，国内外学者对有轨电车站间速度的优化问题已经开展了大量的研究。文献[2]将列车的运行状态分为牵引、巡航、惰性、刹车等4个状态，采用极大值原理求解有轨电车的最优速度，取得很好的节能效果。文献[3]针对节能速度在不同运行时刻下的变化，提出了基本遗传算法的能耗优化算法，该方法能够显著降低列车运行能耗。文献[4]以节能为列车的最优控制目标，采用基于极大值原理的间接法求解最优控制策略，从而得到最优速度；但该方法在约束条件较多时难以实用。文献[5]采用动态规划研究了列车的最优速度，发现该方法在路程较短的情况下才具有在线优化作用。文献[6]采用控制参数化的方法研究了列车的速度，该方法在小规模情景时可以取得较好结果。文献[7]基于移动闭塞的高速列车运行曲线，以乘客舒适度更高和列车节能为目标，采用一种改进的多目标粒子群算法来求解最优速度。

上述研究对有轨电车的速度优化控制进行了大量研究，但城市里有轨电车往往与机动车共用红绿灯，如何考虑站台之间的红绿灯对有轨电车运行状态的影响，以及如何优化有轨电车的速度轨迹使其在不停车的前提下顺畅通过交叉口等仍缺少相关研究。为此，本文以储能式有轨电车为研究对象，考虑有轨电车的制动能量回收、限速、红绿灯、最大加速度、最大输出功率等实际约束，研究有轨电车在站间通过红绿灯的速度优化控制过程；构建以时间为自变量，以牵引力/制动力为控制变量，以运行能耗为目标函数的优化模型；采用GPOPS (通用伪谱优化软件)求解有轨电车的最优速度，为有轨电车运行提供参考速度曲线和最优控制输入，有效降低有轨电车站间运行的牵引能耗。

1 有轨电车站间速度优化控制模型

1.1 问题描述

本研究涉及的有轨电车运行场景如图1所示。有轨电车从A站台以初速度v0向B站台行驶，行驶过程中要经过红绿灯十字交叉路口，红灯亮时有轨电车必须停车。红绿灯到A站台的距离为s1，红绿灯到B站台的距离为s2。有轨电车在行驶过程中，其路段的ICU(交叉口控制单元)向列车发送下一个红绿灯的信号配时方案，此时有轨电车通过优化牵引力输出来优化自身的速度轨迹，使其在绿灯相位下高效地通过交叉口，并实现牵引力能耗最小。

1.2 有轨电车站间速度优化控制模型的建立

为了便于描述储能式有轨电车运行的优化控制问题，本文拟对有轨电车及其运行环境作如下简化：① 有轨电车的运行轨道坡度为0，且为直线行驶；② 有轨列车运行过程中储能系统的充放电效率、传动系统的机电效率、制动能量回收效率等参数均为常数；③ 不考虑辅助功率对有轨电车运行能耗的影响；④ 有轨电车的牵引力和制动力满足储能式有轨电车牵引和电制动特性曲线。

为快速高效求解有轨电车运行的最优控制问题，本研究只考虑有轨电车直线行驶条件下的纵向运动学过程，忽略横向控制对能耗的影响。基于牛顿第二定律及相关微分关系，可以推导出有轨电车运行过程中位移、速度、时间、牵引力、制动力的关系：

(1)

(2)

其中：

R(v)=α+βv+χv2

(3)

G(s)=[i(s)+600/r]mg

(4)

式中：

s——有轨电车的运行距离，m；

v——有轨电车运行的速度，m/s；

t——有轨电车运行的时间，s；

m——有轨电车的质量，t;

λ——有轨电车回转质量系数；

Fa、Fb——分别表示有轨电车的牵引力和制动力，N;

R(v)——列车运行时的基本阻力[8]，N；

G(s)——列车运行时的线路附着阻力[8]，包括转弯阻力和坡道阻力等，N；

α、β、χ——基本阻力系数，与列车的形状和质量等有关，可由经验公式得到；

i(s)——坡道坡度，‰；

r——轨道的转弯半径， m；

g——重力加速度， m/s2。

有轨电车速度优化的目标为储能系统的总能耗最小：

(5)

其中：

(6)

Pb=εFbvμgumuiuchudc

(7)

式中：

E——储能系统的总能耗；

Pa——储能系统为提供牵引力而放电时的输出功率；

Pb——有轨电车制动时，储能系统能量回收的输入功率；

μg——齿轮箱的传动效率；

um——电机效率；

ui——逆变器效率；

udis——储能系统的放电效率；

udc——DC/DC变换器效率；

uch——回收能量时储能系统的充电效率；

ε——刹车时的能量回收利用率；

tf——终端时刻。

考虑有轨电车的能力限制，行驶过程中的速度、加速度及最大牵引力和制动力需满足如下约束：

0≤v(t)≤vmax

(8)

amin≤a(t)≤amax

(9)

0≤Fa≤Fa,max

(10)

Fb,min≤Fb≤0

(11)

式中：

vmax——有轨电车的最高车速；

amin——有轨电车的最小加速度；

amax——有轨电车的最大加速度；

Fb,min——有轨电车的最小制动力；

Fa,max——有轨电车的最大牵引力。

由于有轨电车在通过交叉路口时可能加/减速等待红绿灯，这样会消耗过多的能量。为了降低有轨电车的能耗，有必要优化有轨电车通过红绿灯的速度，使有轨电车在不停车的情况下通过红绿灯。为此，需添加红绿灯相位配时对有轨电车速度的约束：

(12)

式中：

vmin——有轨电车的最低车速；

vlow、vhigh——分别为有轨电压在绿灯相位下不停车通过交叉口的最小和最大速度；

D——出发点到红绿灯的距离；

tg——当前时刻距下一个绿灯开始的时间；

tr——当前时刻距下一个绿灯结束的时间。

2 有轨电车速度优化求解算法

储能式有轨电车运行情况复杂，且相邻步长的牵引力/制动力可能发生突变。Radau伪谱法对于在相邻步长内容易发生突变的最优控制问题能更精确和高效地求解[9]。Radau伪谱法结构简单，且呈指数收敛。因此，本文采用自适应Radau伪谱法(以下简称“伪谱法”)进行求解，并通过求解器GPOPS实现[10]。

GPOPS是基于伪谱法的采用Matlab软件求最优解的工具。其有固定的结构，主要由主函数、连接方程函数、微分代数函数及性能指标函数等构成。本文模型与GPOPS结构的对应关系如图2所示。

GPOPS是以列向量的方式来进行计算，以提高运算速度[11]，故本文还需将模型中的约束转换为列向量形式。将式(1)与式(2)描述为：

(13)

式中：

u(t)——控制变量，t为输入量(有轨电车运行的时间)；

x(t)——状态向量；

x1、x2——状态向量x的两个取值，分别为s、v。

此外，由于限速约束、加速度约束和变量取值约束均为路径约束，则这3类约束可以合并表示为：

qmin≤q(x(t),u(t),t)≤qmax

(14)

其中：

q(x(t),u(t),t)=[x2dx1/dx2u1u2]

(15)

qmin=[0amin0 0]T

(16)

qmax=[vmax(t)amaxFa，maxFb，max]T

(17)

式中：

qmin、qmax——分别为3类约束合并后的最小与最大边界；

u1、u2——控制变量u的两个取值，分别为Fa、Fb。

伪谱法将连续时间最优控制问题转化为一个非线性规划问题。经离散变换得到的非线性规划问题为：寻找最优控制变量Fa和Fb，使性能指标函数(见式(5))最小，同时满足式(8)—式(12)的约束。性能指标函数中，状态函数和控制函数是使用1组正交多项式(切比雪夫或拉格朗日多项式)逼近的，其中指定的配置点可使用动力学的配置与积分拉格朗日代价项的正交近似。具体的求解流程如图3所示[12]。

3 有轨电车站间速度优化控制模型仿真分析

3.1 仿真对象

对于储能式有轨电车自动驾驶算法仿真中涉及的列车相关参数进行设置。以某公司研制的超级电容储能式有轨电车作为列车对象[13]，该有轨电车编组为W-M-T-W(W为带司机室的动车，M为动车，T为拖车)，如图4 所示。

3.2 仿真参数

有轨电车从A站台向B站台行驶[14]，A站台距红绿灯的距离为1 km，红绿灯距B站台的距离为1 km；红绿灯的周期为120 s，单个周期内红灯和绿灯的持续时间均为60 s；有轨电车的定员编组质量为80 t，车长为36 m，质量回转系数为0.06；有轨电车的基本运行阻力系数分别为6.891 0、0.091 2和0.004 5；坡道千分数为0，轨道为直线；重力加速度为9.81 m/s2；齿轮箱传动效率为0.9；电机效率为0.9；逆变器效率为0.9；储能系统的放电效率为0.85；DC/DC变换器效率为0.9；制动回收能量时储能系统的充电效率为0.8；有轨电车刹车时能量回收利用率为0.74；有轨电车行驶过程中最大速度为20 m/s，最大加速度为1.2 m/s2，最小加速度为-1 m/s2；有轨电车最大牵引力为94 kN，最大制动力为-110 kN。

3.3 仿真结果分析

为验证该算法的有效性，设置了对照组。对照组采用常加速度行驶，即加速度在其最大值范围内随机生成。根据式(1)、式(2)和式(5)分别计算出对照组中有轨电车的行驶轨迹、行驶速度及能耗，用以验证该算法的有效性。有轨电车的最优速度通过Matlab软件中的GPOPS进行求解[15]。

图5为有轨电车优化前后速度与距离对比。由图5可见，储能式有轨电车从站台A以0的初速度行驶，在未采取优化的情况下，采用常加速度行驶，在距离红绿灯较远时以最高速度行驶，牵引力较大(见图6)；当有轨电车行驶到822 m时急减速，其速度在11 s内从20 m/s降到9.2 m/s，在通过红绿灯后又急加速运行，加速幅度大且过于频繁，乘客舒适度较差且能量损耗较为严重。有轨电车速度被优化后，其从站台A出发时，全程能接收到下一个红绿灯的信号配时信息，此时开始进行速度轨迹优化。相比于优化前，优化后有轨电车速度变化较为缓慢。特别是接近红绿灯时，其速度在11 s内仅降低了3.33 m/s，并以16.67 m/s的速度快速通过红绿灯。通过红绿灯后缓慢加速行驶，整个运行过程中加减速幅度较小，即加速度与减速度都较小，避免了因在红灯时间窗到达红绿灯停车线而造成的急减速、急加速和停车行为，牵引力和制动力的变化幅度亦较小，乘客几乎无明显感觉。

图7对比了有轨电车优化前后的行驶能耗，能耗公式具体见式(5)。由图7可见，优化前有轨电车在通过红绿灯时的急加速行为极大地增加了列车的能耗；优化后有轨电车的能耗轨迹较平缓，未出现能耗剧变，说明本文提出的优化算法可以明显降低列车行驶过程中的能耗；有轨电车优化后较优化前能耗降低了23.45%，在保证列车准时到站的情况下，可避免列车在红绿灯交叉口的急减速、急加速和停车行为，保证乘客乘车的舒适度和安全性。

4 结语

本文以储能式有轨电车的能耗优化为目标，建立了带有信号交叉口的环境模型和有轨电车的运动学模型。在满足有轨电车的速度、牵引力/制动力、加速度和到站时间等约束，以及起始和终止条件下，采用伪谱法对自动驾驶的储能式有轨电车速度轨迹优化问题求解，实现了有轨电车在全局求解性能上的最优，有轨电车优化前较优化后能耗降低了23.45%。本文只考虑了自动驾驶的储能式有轨电车在两站台且仅含单个红绿灯的轨道上行驶的情况，后续将进一步研究在多站台且含多个红绿灯的轨道上行驶的情况。