巧变形 妙求数列通项公式

李小花

(甘肃省兰州市第二十四中学 730085)

众所周知，数列是特殊的函数，函数解析式是函数表示法的一种，同样，数列的通项公式是数列最重要的表示法.因为求出数列通项公式就能知道数列概貌，研究问题大大方便了.所以在一些数列解答题中，第一小问往往是求通项公式.求通项公式有一些常用方法：累加法、累乘法、退位相减法、待定系数法等.对一些高难度求通项公式的题目，运用各种恒等变形手段，转化为上述几种模式，就唾手可得了.

1 累加法模型

适用累加模型的是形如an+1-an=f(n)(n∈N*)，其中∑f(n)能求出和.再推广为形如(n+1)an+1-nan=f(n)(n∈N*)，还可以更一般化为G(n+1)-G(n)=f(n)(n∈N*).

进而(an-1)2-(an-1-1)2=3n2+n.

令(an-1)2=bn，则bn=bn-1+3n2+n.

即bn-bn-1=3n2+n.

从而bn-1-bn-2=3(n-1)2+(n-1),…,b2-b1=3×22+2.

(n-1)an+1-(n+1)an=-(n+1).

同除以(n+1)(n-1),得

……

以上各式累加,得

又a2=6，所以an=n(2n-1).

当n=1时，有(1-1)a2-(1+1)a1=-(1+1),可得a1=1,也符合上式.

故对任意n∈N*, 均有an=n(2n-1).

以上各式累加，得

2 累乘法模型

解法1 (官方提供答案)由已知得2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,所以(n+1)(an+1-an)=(n-1)(an-an-1),这一步是很难想到.

解法2 由已知得2nan=(n-1)·an-1+(n+1)an+1,联想到此式类似等差中项的表达，后续势如破竹.再变形(n+1)an+1-nan=nan-(n-1)an-1.

从而{nan-(n-1)an-1}是常数列.

故nan-(n-1)an-1=2a2-a1=3.

3 退(升)位作差法

当递推关系式中含有Sn和an，视题目结构，要么用上an=Sn-Sn-1(n≥2)，消去an，求出Sn，再“反哺”求出an；要么由已知求出退(升)一位的递推关系式，作差后自然剩下关于an的递推式，从而转化为第一、二类型.

解析由已知得

①

下标退一位，可得

②

①②两式相减，得

即(n+1)an=nan+1-n(n+1).

4 待定系数法

解析由(2-an+1)(4+an)=8,得