“概率论与数理统计”课程思政教学设计——概率的定义教学案例

刘明姬，张旭利

(吉林大学，吉林 长春 130012)

一、引言

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调指出：“要用好课堂教学这个主渠道……使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”[1]教育部在《高等学校课程思政建设指导纲要》中指出：“要把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育等环节，贯穿高等教育各环节。理学、工学类专业课程，要在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。理学类专业课程，要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。”[2]

概率论与数理统计是大学数学中一门重要的基础课程，不仅具有高度的理论性、严密的逻辑性，还具有工具性。这门课程有着非常广泛的应用，几乎遍及自然科学、社会科学、工程技术，军事科学及生活实际等各方面，在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等各领域都能起到非常重要的作用。尤其是在当今大数据发展迅猛的今天，这门课程的理论内容和解题思想更显得尤为重要。用概率论的思想和观点观察、处理随机事件，并对数据进行分析和总结，从而处理一些实际问题是这门课程开设的出发点。在新形势和新时代的要求下，概率论与数理统计课程不仅要培养锻炼学生的理性思维和实践能力，还要求在课程内容方面进行课程思政建设。大学数学课程理论性强，知识严谨晦涩，传统课程以知识的掌握、方法的应用为主要教学目标，通常采取“知识讲解—例题计算—布置习题”的单一教学过程。随着时代的发展，这样的教学模式已经渐渐出现弊端，因此此门课程的教学改革和创新势在必行。教师可以在讲授概率统计专业知识的同时有效地融入思政元素。概率论与数理统计这门课程有着丰富的思政案例，例如随机数学悠远的发展史、中外数学家们孜孜不倦、不畏困难的历程故事、概率意义下的辩证统一思想、严谨数学理论的完美推导证明过程、函数性质图形带来的数学之美等等。教师在讲授这门课程的时候也可以根据时政背景下的民生国情，以及各种实际应用案例带来的各领域背景下对社会、人生的思考等来进行。这样的课堂讲授过程，不仅丰富了教学内容，解决了纯数学知识教学枯燥无趣的大问题，而且对培养学生的理想信念、家国情怀、科学思维等都有着潜移默化的影响[3-7]。

概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律性的学科，本质在于探讨偶然现象背后的统计规律性，对具体与抽象、现象与本质、偶然性与必然性的对立统一辩证思想内涵的理解贯穿于整门课程。例如：总体由个体构成，从总体中抽取个体得到样本，样本来自总体，具有总体的特征，又不能完全代替总体；大概率事件发生的可能性大，但针对每一次试验又不是一定发生；小概率事件在一次试验中几乎不会发生，可是当试验次数充分大时又几乎必然会发生；每一次试验的结果具有随机性，但大数定律告诉我们，将试验独立地重复地充分地进行多次，试验结果的平均值将会接近于数学期望值；看似纷乱无序的随机现象，当它是由大量独立而作用微小的随机因素产生的总效果时，由中心极限定理提供保证，却都将呈现出正态分布的趋势；等等[8-9]。所以，如何让同学们建立随机数学思维，用随机观点考虑问题，研究这种辩证统一的关系，也是概率论与数理统计课程思政的主要任务。

俗语说，万事开头难，对于概率论与数理统计的学习也不例外，所以讲好第一个概念——概率的定义尤为重要。本文以如何讲授概率的定义为例，具体给出这节课的教学设计，着重强调和给出如何寻找思政融入点并借助创新教学手段设计思政教学，从而达到课程知识讲解和立德树人有效结合的目的。下面，我们给出概率的定义这节课的具体教学过程。

二、教学目标与思政内容

这节课的教学目标有二：一是了解事件频率的概念及随机现象的统计规律性，理解概率的统计定义；二是理解概率的公理化定义，掌握概率的性质及其计算。

本案例以大学数学课程概率论与数理统计中概率的定义相关知识为契入点，以历史数据为背景，以试验数据为支撑，研究随机现象统计规律性，发现偶然性现象背后的必然性，培养本科生的数学思维和科研思维。在教学过程中以案例启发式教学展开，引入掷硬币试验案例，采取混合式教学，给学生布置课前试验任务和课后线上随机模拟任务。一方面，使学生直观体会到频率的稳定性，理解概率的统计定义，感悟数学家们求真务实、锲而不舍的科学精神。另一方面，引导学生深入探讨偶然性与必然性的对立统一辩证思想，理解概率论与数理统计的发现偶然背后的必然这一学科本质。进而在频率性质基础上，抽象出概率的公理化结构，介绍学科发展历史，渗透大数定律的理论思想，展示科学发展从实践到对实践的理论抽象、再应用于实践的一般发展过程以及公理化方法对于学科发展的意义。整个教学以学生为主体，通过讨论、竞赛、实验等方式，帮助学生直观理解数学理论和知识的同时，培养学生数学建模和数学实验能力，引导学生于日常学习和生活中以数学的角度发现问题、思考问题和解决问题，并体会数据之美、随机模拟的奇妙、数学的高度抽象特征和本学科的广泛应用价值。

将丰富的教学手段运用到课程中，使课程思政与教学创新在课程中融合，得到共同发展。在课堂教学中采用多媒体技术与传统教学手段相结合的模式，引入案例教学方法，提升学生学习兴趣，培养解决实际问题能力。建设概率论与数理统计在线课程，将线上线下教学相融合，线上学习作为课堂学习的补充，将更广泛复杂的教学思政案例在线上呈现。开展此门课程与其他学科的交叉内容教学，增加线上随机模拟等数学实验，不仅扩充了教学空间，也为学生提供深入探究知识和潜移默化接受思政教育的途径[10-11]。课程的教学改革和教学创新是课程思政更好呈现的基础，课程思政也为教学改革提供了新视野和更广泛的途径。

三、教学过程

(一)事件的概率的引入

我们生活的世界是一个纷乱的世界，可是这些看似纷乱无序的随机现象始终是受内部隐藏的规律支配的，概率论就是要研究这些偶然性现象背后的统计规律。在一次随机试验中，有的发生、有的不发生，有的发生可能性大、有的可能性小，需要一个数量指标衡量。概率就是衡量随机事件发生可能性的数量指标。概率在数量上刻画了随机事件在一次试验中发生可能性的大小，概率越大的事件发生的可能性越大，概率越小的事件发生的可能性越小。

通过带领学生观看视频资料引入概念，小视频《生活中的概率》涉及小行星相撞的概率、交通事故的概率、病毒传染的概率、人类特殊行为习惯的概率等，概率的广泛应用立刻引起学生共鸣，激发起对知识的好奇心。这个刻画事件发生规律性的概率值究竟是怎样确定的呢?在数学上的严格定义又是什么呢?

(二)概率的统计定义

首先给出事件频率的定义，通过简单的摸球案例理解频率的3条性质：非负性、规范性和有限可加性，频率的这些性质是接下来给出概率公理化定义的基础。频率值直观、可计算，反映了事件发生的频繁程度。然后提出问题：是否可以由频率来定义一次试验中事件发生的可能性大小？它是事件的概率吗？频率与概率之间的关系是什么？

接下来引入启发式试验案例，观察大量试验时频率的稳定性质，指出其稳定值就是概率，给出概率的统计定义。

例如：掷硬币实验——掷一枚均匀硬币，观测正面朝上还是反面朝上，独立重复试验，观察正面朝上的次数，并计算正面朝上的频率[12]。

表1 科学家重复抛掷一枚硬币的数据

虽然当试验次数较少时，硬币正面朝上的频率具有随机波动性，但当试验次数充分大时，硬币正面朝上的频率呈现稳定性。历史上很多科学家做过掷硬币实验，从表1可以发现，随着掷硬币次数的增加，硬币正、反面朝上的次数基本上各占一半，正面朝上的频率稳定在0.5附近。这就是频率的稳定性。当试验次数充分大时，频率不再随机波动，呈现稳定性，稳定在某一常数附近摆动，这个常数就是概率。概率是频率的稳定值，这就是概率的统计定义。

通过观察科学家们重复抛掷硬币的试验数据可以发现，科学家们正是看到了这些看似平凡的随机现象背后可能隐藏的规律，才进行了一次又一次不厌其烦的试验，验证了统计规律，探索到了科学的真理。 尤其是法国数学家皮尔逊，他进行了两次试验，分别掷硬币1.2万次和2.4万次，给出了频率具有稳定性的有力的试验结果。虽然只是最简单的掷硬币试验，但是这个重复的动作以及要将掷硬币的次数及正面朝上的次数统计清楚，却是一个多么枯燥无趣考验耐心的过程！坚韧而严谨，是最基本的科学精神。只有具备求真务实、锲而不舍的精神才能在学习和工作上取得非凡的成绩，永远保持坚定的目标，并为之努力。

为了更直观地理解频率的稳定性，一改以往课堂上直接给数据的方式，本节课给学生布置课前掷硬币试验，5人一组，每人掷硬币1次、5次、100次，统计硬币正面朝上的次数，计算硬币正面朝上的频率。一方面，针对不同次数掷硬币的结果，体会少量试验中频率的波动性和大量试验中频率的稳定性，对试验结果印象直观深刻，增加了课程参与的积极性。另一方面，同学们亲身体会掷硬币这个单一重复的试验动作，虽然试验过程非常简单，但是当投掷硬币100次的时候，有的同学已经感到试验乏味难耐，试验结果记录不清了。对比科学家们为了验证一个已经初步肯定的数学结论，却一次又一次不断重复地进行试验以获得最有力的数据证明，他们所秉持的执着的科学精神和严谨的科学态度令同学们的敬佩之情油然而生，这种亲身体会的震撼比只是从表1中看到的冰冷的数据强烈得多。与此同时，这个试验也为本科生科研精神的培养点燃火花，如果能透过生活中普通的随机现象发现隐含的统计规律，并付出努力去验证总结，就有可能取得科研成果。

除了课前试验、课上讨论，还在课后开展线上教学，作为课堂教学的有益扩充，为学生打好基础和扩展知识起到良好作用。本课程在线上教学平台中，除了建设常规的线上资源库，如教学视频库、习题库、思政资源库等，还增加了数学建模与数学软件学习扩展资源库。针对概率的统计定义的学习，教师布置课后线上数学实验任务：任务一，利用计算机语言Matlab对掷硬币的试验进行随机模拟，改变试验次数参数，直观感受试验次数改变时频率所呈现的波动性和稳定性结论；任务二，研究英文使用环境中英文字母出现频率的稳定性，借助统计软件，导入英文资料，统计26个英文字母出现的频率。同样可以发现，当导入大量的各领域英文资料后，各个英文字母出现的频率将分别稳定地在某一数值附近摆动，这些数值就是各个英文字母在一般英文使用环境中出现的概率。经过比较，同学们会发现出现频率最高的是字母E和T，而出现频率较低的是字母Z和Q。增加扩展思考问题：英文字母出现频率的稳定性在实际生活中的应用体现在何处？例如密码破译的依据，或是电脑键盘设计的参考。事实上，数学的应用无处不在。学生开始用数学的眼光观察生活，体会到数学的美妙。尝试让大家用所学的数学知识去解释这些现象，并启发同学们思考还有哪些类似的频率稳定性案例。

借助计算机编程软件对随机现象进行模拟，对数据进行处理分析是概率统计的重要应用，带领同学们在学习书本知识的同时接触相关数学软件和统计软件，用抽象的公式、概念来解决实际问题，将现实中难以多次重复的大量掷硬币试验的结果快速直观地反映出来，统计大量的文献资料中各个英文字母出现的频率，极大地增加了学生学习的积极性和主动性。同学们初步掌握了数学软件和统计软件的应用，理解了数学建模的思想，尝试用数学语言分析问题和解决问题，探索随机现象背后的规律，体会到了数据之美、随机模拟的奇妙和本学科的广泛应用价值。

频率与概率，体现了偶然性与必然性的对立统一。频率是个试验值，是观察到的、测量出的，每次试验结果可能都不同，其取值具有偶然性。概率是衡量事件发生可能性的大小的数量指标，反映的是频率的平均稳定性，是事件本身的一种固有的客观属性，只能取唯一值，具有必然性。当试验次数较少时，频率与概率偏差较大，体现为对立性；但是当试验次数较大时，就会发现频率稳定在概率附近，此时反映出的是二者之间的统一性。

恩格斯指出：“在表面偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐藏的规律支配的，而我们的问题只是在于发现这些规律。”概率论与数理统计这门课程所研究的正是偶然性背后的必然性。这种对于偶然现象所反映的必然规律的研究将一直贯穿于本课程，是课程思政的主题。概率的定义可以说是本门课程的第一个定义，使学生在课程初始就对本课程的本质有清晰整体的认识，意义重大。在一次随机试验中，随机事件有可能发生，也有可能不发生，无法预测，但在多次重复实验的过程中，频率会趋向稳定于概率这个数值，这个理论值为一次试验中随机事件发生的可能性大小提供了客观的基础；而在实际应用中，当实验次数充分多的时候，我们又可以通过对频率的测量来估计概率，作为概率的近似值。总之，数学来源于实际，又将指导实际。这也是科学发展的常见形式，任何一个科学问题都源自现实具体问题，试验和实践是我们认识世界、解决问题的方法和途径。通过观察、试验探索发现问题的本质和规律，形成抽象理论，而理论完善丰富后必将用来指导实践，解决更多的具体问题。科学思维的培养，学科发展的认识，数学哲学的介绍是大学数学思政的重要内容。

(三)概率的公理化定义

基于试验得到了概率的统计定义，它直观形象，但是不够严谨，为了学科的发展有必要给出其公理化定义。

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫在频率的3条基本性质基础上，综合了当时已有的大量成果，提出了概率论的公理化结构，明确了概率的基本概念，用为数很少的几个简单公理，实现了概率的公理化。

概率的公理化定义。设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于E的每一个事件A，有唯一的实数P(A)和它对应，且这个事件的函数P(A)满足下面的3条公理：

(1)非负性：对于任意事件A，P(A)≥0;

(2)规范性：对于必然事件Ω，P(Ω)=1;

(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A1,A2,…(即当i≠j时，AiAj=φ,i,j=1,2,…)，有

则称P(A)为事件A的概率[13]。

严谨的科学发展需要公理化结构。公理化方法是从少数的原始概念和不证自明的公理出发，运用逻辑推理和演绎手段来建立理论体系的方法。实际上就是用最少的基础建立庞大的体系，揭示学科本质或原理。数学家柯尔莫哥洛夫指出：“概率论作为数学学科，可以而且应该从公理开始建设，和几何、代数的路一样。”柯尔莫哥洛夫是现代概率论的开拓者之一，他把实变函数的方法应用于概率论,在其专著《概率论的基础》中第一次在测度论基础上建立并证明了概率论的严密公理体系。概率的公理化定义的提出为严格的数学化概率理论奠定了基础，标志着概率论成为一门严谨的数学分支，推动了概率论的发展。

在授课过程中组织学生研究小组，深入分析频率和概率在数学理论中的关系，讨论公理化方法在数学以及其他学科发展中的体现和作用，帮助学生建立学科结构体系，培养科研思维。事实上，概率的公理化定义是建立在统计定义的基础上的，是对试验结果的理论概括和高度抽象。概率的非负性、规范性、可列可加性3条公理化性质实际上是对于频率的非负性、规范性、有限可加性3条性质的公理化抽象，是在与频率的共性中归结出的定义。数学具有高度抽象性，这是由学科特点决定的，也利于使得高度抽象的数学理论广泛应用于其他学科，成为最基础的科学。对于概率公理化定义的介绍普及了数学哲学，强调数学抽象思想，渗透了概率学科的发展历史。概率也是大部分科学研究源自现实具体问题，由试验发现规律到建立严格理论体系的一般过程。

在讨论频率和概率之间理论关系的时候 ，不得不提到大数定律。伯努利大数定律指出概率是相对频率的数学抽象，是概率的统计定义的理论依据。它告诉我们，一个随机事件在单次试验中可能发生也可能不发生，但在大量重复实验中往往呈现出明显的规律性，即该随机事件发生的频率会向某个常数值收敛，该常数值即为该事件发生的概率。伯努利大数定律是由瑞士数学家雅各布·伯努利在其于17世纪完成的巨著《猜度术》中提出的，是概率论中的第一个极限定理，在理论研究中有很重要的意义，为后续大数定律等重要概率理论的深入学习设下铺垫，串联课程知识脉络，增加学习延续性。在学科知识学习的过程中，介绍具有重要贡献的数学家和学科发展史，丰富课程内容，渗透学科理论体系，使学生对课程建立整体认识，提升学科视野和学习高度。

在概率的3条公理化性质基础上可以推广其一般性质，如有限可加性、减法公式等，熟练掌握这些性质并借助它们计算概率是研究事件概率的最基本最基础的内容。通常课堂授课中，教师会直接将概率的性质讲授给学生。为了更好的课堂效果，我们不再逐条性质讲授，而是布置课上分组竞赛任务，请同学们借助3条公理化性质自己来推导概率的一般性质。在小组竞赛过程中，学生不再固化于教师的思维模式，而是提出多种不同角度的证明思路得出结论。这种以学生为主体的课堂，学生参与度高，学习状态好，促进了学生学习积极性，加强了数学基本功训练，熟练掌握了概率的性质及其计算公式，为后续学习打下良好基础。

四、教学总结与展望

大学数学基础课的教学过程具有很强的探索性，它不仅要传授知识，还负担着发现未知和培养学生探求新知能力的任务。概率论与数理统计课程思政建设，可以培养学生辩证思想、数学思维和能力，使学生领会理论知识背后的数学思想和求真务实的科学态度、科学精神。学生透过随机现象深入探究统计规律，理解学科本质，这样可以站在更高的角度去学习课程，使概率论与数理统计课程更具深度和内涵。

将课程思政有效融入概率论与数理统计教学中，不仅对学生的知识学习、价值观培养意义重大，对教师授课也具有启发性。课程思政创新了教学内容，学科发展史、科学家故事以及具有丰富实际背景的统计应用案例的引入，交叉学科、民生国情、哲学唯物的探讨，也激励着教师们不断学习，丰富自己的教学手段。老师的教学内容和教学手段不断丰富和提高，使得学生本觉得枯燥的数学教学更接地气，课堂气氛更加活跃。引入多种创新的教学方式和手段，采用线上线下混合式教学、问题导向式教学、启发式案例教学，都极大地激发了学生的积极性和主动性，课堂教学质量得到了显著提高。

课程思政的重要性不言而喻，但概率论与数理统计课程思政切忌生搬硬套。这要求教师们在设计课程思政案例时，要根据学科特点，挖掘专业知识与思政育人的融合点，结合马克思主义立场观点的认识论和方法论，注重学生数学思维方法的训练和科学伦理的教育，从而提高学生用数学的方法正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。

课程思政，任重而道远。本文仅以概率的定义这节课为例，讨论思政案例和理论知识如何有效结合。在以后的概率论与数理统计课程教育中，要坚持以课程为载体、内容为导体，不断提升师德素养，创新教学方法和教学模式，把“知识传授”与“价值引领”有机统一起来，真正做到立德树人，培养具有社会主义核心价值观的有用人才。