新课标下逻辑用语在培养逻辑推理素养中的渗透——以“充分条件与必要条件”在概念与性质教学中的渗透为例

广州市第四中学(510140)张宏杰

广州市南武中学(510240)蒋强军

1 引言

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,也是数学育人价值的集中体现.新课标界定的数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中逻辑推理素养是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.在《普通高中》[1]中明确了“逻辑推理素养”与“逻辑推理能力”之间的区别:逻辑推理素养是指表现在人身上的东西,不仅表明这个人具有逻辑推理的能力,而且表明这个人具有较好的思想品质.逻辑推理素养是比逻辑推理能力更高的要求.衡量一个学生逻辑推理的能力,需要设置特定的问题,观察学生在处理问题的过程中的表现,从而得出该学生逻辑推理能力的强弱.而要衡量一个学生的逻辑推理素养,则需要观察学生在日常学习生活中的言语和行为是否具备一定的逻辑推理能力以及良好的思维品质.这意味着教师需要从学生刚开始学习高中数学知识就开始就着手培养及提高学生逻辑推理素养.在高中数学学习中,“充分条件与必要条件”是直接考察学生逻辑推理能力的内容,因此,教师对“充分条件与必要条件”内容的处理是培养学生逻辑推理素养的重要教学环节.

2 新旧教材对“充分条件与必要条件”处理的对比

旧人教A 版教材将“充分条件与必要条件”作为常用逻辑用语的主要内容安排在必修四的第一章当中,围绕“若p则q”命题讨论充分条件、必要条件和充要条件.之后第二章则是圆锥曲线与方程的学习,第三章是空间向量与立体几何的学习.从教材的整体性来看,“充分条件与必要条件”作为一个独立的知识板块出现在必修四当中,与后续学习的知识缺乏一定的联系.

新课标对“充分条件、必要条件、充要条件”的要求为:通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解定义与充要条件的关系.根据新课标的要求,新人教A 版教材将“充分条件与必要条件”作为常用逻辑用语的主要内容安排在必修第一册的第一章的第四节当中,通过典型命题引导学生理解判定定理、性质定理、定义分别与充分条件、必要条件、充要条件的关系.随后在后面各章节的内容、例题以及习题中反复出现“充分条件与必要条件”,提高学生使用逻辑用语表达数学对象以及推理过程的认识,体现了新教材的整体性与科学性.

3 新教材对“充分条件与必要条件”处理的原因

通过对比新旧教材对“充分条件与必要条件”的处理,可以发现“充分条件与必要条件”在新教材当中的地位之重.根据新课标对“充分条件、必要条件、充要条件”的要求,可以分析新教材对“充分条件与必要条件”处理的原因:

(1)新课标强调学生要理解判定定理、性质定理、定义分别与充分条件、必要条件、充要条件的关系,这是希望教师在后续学习新数学对象的定义、判定定理以及性质定理的过程当中让学生能从“充分条件与必要条件”的角度去表达数学对象;

(2)学生在第一章学习完“充分条件与必要条件”之后,教师可加强引导学生去思考在解决数学问题的过程当中遇到的条件与结论之间的关系,辨别两者之间的充分性与必要性,从而加强学生的逻辑推理能力;

(3)在高中数学三年的学习当中,教师不断引导学生用“充分条件与必要条件”的视角去看待数学对象与推理过程,从而培养学生的逻辑推理素养.

4 “充分条件与必要条件”在教学中的渗透

根据新课标和新教材的要求,教师可在后续数学对象的学习中渗透“充分条件与必要条件”,从而培养学生逻辑推理素养.

4.1 “充分条件与必要条件”在不等式教学中的渗透

在第一章学习集合与常用逻辑语言后,紧接着第二章不等式的学习,运用“充分条件与必要条件”可加深对不等式性质的理解.

在第一节比较两实数的大小中,课本提到一个基本事实:“如果a-b是正数,那么a＞b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么a ＜b.这个基础事实可以表示为:a＞b ⇔a-b＞0;a=b ⇔a-b=0;a ＜b ⇔a-b ＜0.”在处理该教学环节时,教师可向学生说明该事实“a＞b(a ＜b,a=b)的充要条件是a-b＞0(a-b ＜0,a-b=0)”.教师通过充要条件的渗透使学生意识到两实数的大小关系和它们的差与零的大小关系是“同一回事”,既复习了上一节所学习的充要条件知识,也为以后判断两实数大小以及证明两数之差与零的关系作铺垫.

在第一节介绍课本不等式性质4“如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc”中,从“充分条件与必要条件”的角度,教师可结合例子强调“a＞b,c＞0”是“ac＞bc”的充分不必要条件,“ac＞bc”无法得到“a＞b,c＞0”,但在“c＞0”的前提下,“a＞b”是“ac＞bc”的充要条件.通过上述充分条件与必要条件与不等式性质的渗透,可增加学生对充分条件与必要条件的掌握以及对不等式性质的理解.

4.2 “充分条件与必要条件”在函数教学中的渗透

在第三章函数的教学当中,教师可从“充分条件与必要条件”的角度加深学生对函数单调性和奇偶性的认识,并且适当地进行知识延伸.

(1)函数在区间上单调递增的定义:“设函数f(x)的定义域为I,区间D ⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.”在讲授的单调性的定义当中,教师根据充要条件和定义之间的关系,引导学生把握“∀x1,x2∈D,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)”是“函数f(x)在区间D上单调递增”的充要条件,从而能根据“函数f(x)在区间D上单调递增”得到“当x1,x2∈D,x1＜x2时,有f(x1)＜f(x2).”通过以上“充分条件与必要条件”的渗透,能让学生学习单调性定义的同时牢牢把握单调性的性质,进而为以后解决根据单调性判定大小的问题作出铺垫.

当学生把握函数单调性的定义之后,教师可从从“充分条件与必要条件”的角度给学生添加变式,从而加深学生对函数单调性的理解:

其中变式1.与变式2.是不等式充要性的运用,变式3.则能让学生充分理解单调性的定义中先有“x1＜x2”再有“f(x1)＜f(x2)”的逻辑先后性.教师在教学过程中可适当给出反例,证明“∀x1,x2∈D,f(x1)＜f(x2)时,有x1＜x2”并不能得到“函数f(x)在区间D上单调递增”.

(2)在奇偶性的学习当中,新教材人教A 版必修第一册第85 页的课后练习有一题新增题目:“从偶函数的定义出发,证明y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;从奇函数的定义出发,证明y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.”该题目的出发点是:作为高中刚学习函数的基本性质,该题目能让学生从“充分条件与必要条件”的角度经历数形结合的过程,从而逐渐培养学生数形结合的思想.通过该课后习题引导学生将函数的奇偶性与函数图象的对称性建立起充要性后,教师可根据函数图象的对称性,对函数的性质进行拓展:

①函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称,即关于直线x=0 对称,从而延伸到问题:“y=f(x)关于直线x=a对称的充要条件是什么? ”

②函数y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称,即关于点(0,0)对称,从而延伸到问题:“y=f(x)关于点(a,b)对称的充要条件是什么? ”(新教材人教A 版必修第一册第87 页第13 题)

由上述拓展,教师通过“充分条件与必要条件”在函数奇偶性中的渗透,可引导学生得到函数y=f(x)图象关于直线x=a对称或者关于点(a,b)对称的性质.

4.3 “充分条件与必要条件”在立体几何教学中的渗透

在文献[2]中介绍了通过“充分条件与必要条件”在直线与线面垂直的定义中渗透,可逆向使用定义,得到线线垂直与线面垂直互相转化的路径.

4.4 “充分条件与必要条件”在数列教学中的渗透

数列的学习通常围绕着通项公式an与前n项和Sn展开学习,其中通项公式an与前n项和Sn的关系是数列学习中培养学生逻辑推理素养的一个重要教学环节.由2021 年高考全国甲卷第7 题:等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q＞0,乙:{Sn}是递增数列,则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

启示在进行完等差数列与等比数列的前n项和Sn后,可从“充分条件与必要条件”角度渗透公差或公比与通项an与前n项和Sn之间的逻辑关系.上题等比数列{an}中,有逻辑关系:{Sn}是递增数列⇔an＞0(∀n＞2),an＞0(∀n＞2)⇒q＞0.

由于缺少a1的信息,因此无法得到“an＞0”与“q＞0”的充要关系.类似的,在等差数列中,有逻辑关系:{Sn}是递增数列⇔an＞0(∀n＞2),an＞0(∀n＞2)⇒d＞0.

通过以上引导,加强学生对公差或公比与通项an与前n项和Sn之间的逻辑关系的认识,发展学生逻辑推理素养.

5 小结

综上所述,在高中数学的概念与性质教学中通过“充分条件与必要条件”的角度引导学生对不同命题的思考和探索新命题,能提高学生的逻辑推理能力,从而令学生在高中多个概念与性质学习的过程当中培养逻辑推理素养.