弹体贯穿混凝土数值模拟的改进材料模型*

任会兰，荣 誉，许香照

（北京理工大学爆炸科学与技术国家重点实验室，北京 100081）

在军事防护和土木工程领域，混凝土作为一种典型的建筑材料扮演着极其重要的角色，更好地理解混凝土材料在冲击作用下的力学特性对结构的安全设计具有重要的意义[1-4]。随着计算机性能的提高和数值方法的飞速发展，数值模拟已经成为一种重要的研究手段，而材料模型的选取又会对数值模拟结果产生巨大的影响[5-6]。因此，发展一个更有效和准确的混凝土材料模型对预测其在冲击载荷下的力学特性和破环行为至关重要。

近些年来，Holmquist-Johnson-Cook 模型（HJC 模型）[7]作为最常用的混凝土材料模型之一，凭借较少的材料参数和相对简单的理论基础，已经被广泛应用于预测混凝土受到弹体侵彻和爆炸等冲击载荷下的力学响应和破坏模式[8-11]。这是因为HJC 模型是由Holmquist 等[7]通过对金属Johnson-Cook 模型进行改进提出的一个动态损伤材料模型，可以较好地描述混凝土材料在大应变、高应变率和高压下的压缩力学行为，并考虑了压缩应力状态下的损伤累积、应变率效应和压力-体积应变关系。Iqbal 等[12]采用HJC 模型开展了弹体侵彻预应力钢筋混凝土靶的数值模拟，并对破坏区域和弹道极限进行了预测，后者的误差小于11%。戴湘晖等[13]通过HJC 模型对弹体侵彻多层钢筋混凝土薄靶问题进行了数值模拟，发现弹体速度和动能等数值模拟结果与实验结果吻合较好。

然而，HJC 模型也存在以下3 点缺陷：（1）采用理想弹塑性模型来考虑混凝土材料的拉伸力学行为，也未考虑拉伸应力状态下的损伤累积和应变率效应，导致HJC 模型不能很好地预测开坑和剪切冲塞等以拉伸失效为主的破坏模式；（2）未考虑第三偏应力不变量J3对强度面的影响，导致偏平面由低压下三角形向高压下圆形过渡时，HJC 模型不能描述压缩子午线上剪切强度的减小；（3）未考虑混凝土材料的应变硬化行为，导致HJC 模型不能准确地预测围压下混凝土的应力-应变关系。因此，研究者们针对上述缺陷对HJC 模型进行了一些改进[14-19]。Polanco-Loria 等[14]通过引入洛德角和拉伸-压缩子午线比考虑了J3对强度面的影响，并对HJC 模型的应变率效应项进行了微小的改进。随后，使用改进后的模型开展了弹体侵彻钢筋混凝土靶体的二维数值模拟，发现该模型可以较好地预测弹体剩余速度，误差小于8%。Liu 等[15]将TCK 模型[20]中的拉伸连续损伤模型引入HJC 模型中来描述混凝土材料的拉伸损伤行为，并发现改进后的模型可以较好地反映侵彻问题中混凝土的压缩和拉伸破坏情况。Islam 等[16]改进并简化了HJC 模型的状态方程和应变率效应项，减少了模型所需的材料参数，并发现改进后的模型可以较好地模拟混凝土在高压和高应变率下的力学特性以及弹丸冲击下的损伤行为。Kong 等[17]采用分段函数对HJC 模型的强度面进行了改进，解决了强度面在压力零点处不连续的问题，并考虑了J3对强度面的影响。随后，引入了非线性的拉伸损伤模型来描述混凝土材料的拉伸应变软化行为，并改进了混凝土材料的动态增强因子，数值模拟结果表明，改进后的模型可以真实地反映侵彻过程中拉伸失效引起的开坑和剪切冲塞等破坏现象。虽然这些改进的HJC 模型在预测混凝土材料的动态力学行为和拉伸破坏行为方面表现出了一定的优势，但对混凝土材料在压缩应力状态下的应变硬化和软化行为以及体积膨胀特性仍不能较好地预测和描述。

此外，还有一些常用的、改进的和新提出的混凝土材料模型受到了研究者们的广泛关注[21-27]，例如Karagozian & Case 模型（K&C 模型）[28]、Riedel-Hiermaier-Thoma 模型（RHT 模型）[29]、Kong-Fang 模型[30]等。上述3 个模型被广泛用于分析混凝土结构在爆炸和侵彻等冲击载荷下的力学响应和破坏模式，并都考虑了应变率效应、第三偏应力不变量J3、塑性损伤和压力-体积应变关系对破坏强度面的影响，其中Kong-Fang 模型结合了HJC 模型、K&C 模型和RHT 模型的优点，可以更好地预测混凝土结构的局部和全局动态响应、断裂以及失效。然而，这3 个模型还有一些需要改进的地方。例如，K&C 模型根据单轴压缩强度自动生成的材料参数，不能准确地描述高压和高应变率下的破坏强度面，也不适用于高强度和超高强度混凝土。RHT 模型采用线性模型来描述拉伸软化行为，这种假设过于简单且不符合实验结果。同时，RHT 模型还具有比其他材料模型更多的材料参数，不容易进行标定。Kong-Fang 模型没有考虑压缩应力状态下的应变硬化行为，这与实验观察到的高围压下的压缩应力-应变关系，在峰值应力点之前存在着一定的差异。

综上所述，本文中提出一种改进的混凝土塑性损伤材料模型，并将其嵌入到有限元软件LS-DYNA中进行二次开发。随后，开展单个单元在不同加载条件下的数值模拟，并将改进模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和经验公式得到的应力-应变曲线进行对比分析。最后，开展弹体贯穿钢筋混凝土靶体的数值模拟，将改进模型和HJC 模型得到的数值模拟结果与实验结果对比验证，并对靶体破坏模式和弹体剩余速度进行分析。

1 混凝土材料模型

大量实验表明，混凝土材料在峰值应力点前后分别具有明显的应力随应变增大和减小的现象，而现有的混凝土材料模型不能很好地描述这种应变硬化和软化行为。因此，为了更准确地描述混凝土材料在冲击载荷下的力学响应，本文中提出了一种改进的混凝土塑性损伤材料模型，并考虑了混凝土材料的状态方程、应变率效应、洛德角效应、塑性损伤累积、应变硬化/软化函数以及塑性流动。

1.1 状态方程

在高压和高应变率状态下，混凝土材料的压力-体积应变关系（即状态方程）将会对其力学性能产生重要的影响。因此，改进的混凝土材料模型采用Holmquist 等[7]提出的状态方程，可以分为弹性区域、过渡区域和压实区域，如图1 所示。

图1 状态方程示意图Fig. 1 Schematic diagram of equation of state

当压力p＜pcrush时，状态方程位于弹性区域，µcrush和pcrush分别为混凝土内部开始出现孔洞塌陷时的压碎体积应变和压碎应力。该区域的压力-体积应变关系呈线性，且拉伸状态下压力阈值为-ft(1-D)，其中ft为准静态单轴拉伸强度，D为总损伤，则压力可以表示为：

式中：K为弹性体积模量；µ=ρ/ρ0-1 为体积应变，ρ 和ρ0分别为当前密度和初始密度。

当pcrush＜p＜plock时，状态方程位于过渡区域，混凝土内部出现一些裂纹扩展和孔洞压实的现象，µlock和plock分别为压实体积应变和压实压力。该区域的体积应变-压力关系在加载和卸载过程中仍遵循线性关系，则压力的表达式为：

式中：Kav=(1-Dc)K+DcK1为平均体积模量，由压实损伤Dc对K和K1插值进行确定；µe=µ-µp为弹性体积应变；µp为塑性体积应变。有：

式中：dµp为塑性体积应变增量，dµ为总体积应变增量，Kh=(plock-pcrush)/µlock为塑性硬化模量。值得注意的是，在卸载过程中没有塑性体积应变增量产生，即弹性体积应变增量为总体积应变增量。

当p＞plock时，状态方程位于压实区域，混凝土内部孔洞全部消失，达到密实状态。该区域的压力-体积应变关系满足Hugoniot 关系，记为：

式中：K1、K2和K3为材料常数，µm=(µ-µlock)/(1+µlock)为修正的体积应变。

1.2 应变率效应

已有的研究表明混凝土材料是一种率敏感材料，故改进的混凝土材料模型考虑了应变率效应，并采用Xu 等[31]提出的半经验公式来表示动态增强因子。该公式可以有效地消除压缩状态下的惯性约束效应，则拉伸和压缩动态增强因子可以分别表示为

式中：ε˙为等效应变率，ε ˙0=1为参考应变率，Wx=1.6、Wy=0.8、Fm=10 和S=0.8 为材料常数，可以通过大量的三轴拉伸实验数据拟合得到[31]，fc为准静态单轴压缩强度。

1.3 损伤和硬化/软化函数

混凝土材料在塑性阶段会发生明显的应变硬化和软化行为，特别是在压缩状态下。因此，在改进的混凝土材料模型中引入一个统一的硬化/软化函数来描述应力-应变关系在压缩状态下的非线性增大和减小，该函数与剪切损伤和压实损伤相关。此外，在拉伸状态下，混凝土材料几乎没有应变硬化行为，因此采用拉伸损伤来描述其应变软化行为。

压缩状态下塑性应变引起的剪切破坏是混凝土材料的一种主要破坏模式，则剪切损伤定义为：

式中：dεp为等效塑性应变增量，εp,f为压缩状态下的塑性断裂应变，记为：

式中：D1=0.04 和D2=1 为损伤参数[7]，εf,min为压缩状态下断裂应变的阈值，用来阻止低强度拉伸波引起的塑性断裂。

孔洞塌陷造成塑性体积应变的增加，进一步导致混凝土被压实发生破坏，故压实损伤同样不可忽略，可以定义为：

基于Wang 等[32]提出的应变硬化和软化理论，通过引入与剪切损伤和压实损伤相关的无量纲量φ对统一的压缩硬化/软化函数进行修正，定义为：

式中：H1和H2为控制应变硬化和软化行为的形状参数，Dm为峰值应力处的剪切损伤和压实损伤之和。

对于拉伸损伤，改进的混凝土材料模型采用Weerheijim 等[33]提出的一种指数函数，具体形式为：

式中：c1=3 和c2=6.93 为拉伸损伤参数[33]，εp为等效塑性应变，εfrac为拉伸断裂应变，其值与单元尺寸相关，表示为：

式中：Gf为断裂能，le为单元特征长度。

结合上述3 种损伤机理，总损伤可以定义为压缩状态和拉伸状态所产生损伤的最大值，即：

1.4 破坏强度面

为了更准确地描述混凝土材料的应变硬化和软化行为，改进的混凝土材料模型采用3 个独立的强度面，如图2 所示，分别为最大强度面、屈服强度面和残余强度面。其中，最大强度面结合K&C 模型[28]和HJC 模型[7]进行了改进，其表达式为：

图2 强度面示意图Fig. 2 Schematic diagram of strength surfaces

式中：η 为动态增强因子，B1和N1为材料常数，由三轴压缩实验数据拟合获得。

例如：高中历史教学中在讲述到鸦片战争的内容中，就可将火热一时的宫廷剧加以引入，如《步步惊心》等系列展示清朝繁花锦盛的宫廷剧作为导入内容，这是当下学生比较熟悉的，从影片当中所展现的内容，其实是和真正的历史中的清王朝有着不同。真实的历史清朝是走下坡路的华丽的老牛，而鸦片战争的序幕就让中国两千多年封建社会走向了终结。然后将鸦片战争的课程内容的学习呈现出来，这样通过比较热点的内容在课堂上作为引入点，这对激发学生的兴趣就比较有效。

基于最大强度面，结合Zhang 等[34]和Wang 等[35]提出的方法进一步发展，屈服强度面表示为：

根据Tu 等[22]提出的方法，残余强度面可以分为2 个阶段，具体形式为：

式中：B3和N3为材料常数，也由三轴压缩实验数据拟合获得。

通过硬化/软化函数对上述3 个强度面进行线性插值得到了该改进混凝土材料模型的破环强度面，其表达式为：

式中：r为当前子午线和压缩子午线的比值，用来描述剪切强度在压缩子午线上的衰减，定义为：

式中：θ 为洛德角；J2和J3分别为第二和第三偏应力不变量；e为拉伸子午线和压缩子午线的比值，由式（21）中5 个代表性应力状态点通过线性插值获得。此外，根据式（15）和（18）可以看出该改进模型采用径向增强法来考虑混凝土材料的应变率效应，避免了直接增强法中压力增强对破坏强度面的过高估计。

1.5 塑性流动

混凝土材料在压缩状态下的体积会发生膨胀，为此该改进模型引入了一个合适的塑性势函数来考虑这种特性，具体形式为:

式中：dλ 为一致性参数，σij为应力张量。

然后，将式（22）代入式（23），塑性应变增量和等效塑性应变增量分别表示为：

式中：sij为偏应力张量，δij为克罗内克符号。

最后，结合式（24）和Malvar 等[28]采用的推导方法，可以得到一致性参数dλ 的表达式，即：

式中：G为剪切模量，K为体积模量。一旦确定dλ 的值，塑性应变增量也随即确定，进而根据增量理论对当前应力进行更新。

2 模型验证

基于LS-DYNA 中关键字user_defined_material_model 对改进的混凝土材料模型进行二次开发，并通过单个单元在不同加载条件下和弹体贯穿钢筋混凝土靶的数值模拟，验证了改进混凝土材料模型的有效性、准确性以及预测性能提升能力。

2.1 单个单元验证

开展了单个单元在单轴压缩、单轴拉伸和三轴压缩加载下的数值模拟，并与HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及经验公式预测的应力-应变曲线进行了对比分析。

2.1.1 有限元模型

有限元模型采用八节点六面体单元，单元尺寸为10 mm×10 mm×10 mm，其中底部四个节点采用固定约束，顶部4 个节点采用位移加载，如图3 所示。加载条件分别为单轴压缩、单轴拉伸和三轴压缩，其中三轴压缩需要在单元四周施加约束压力，其值分别为5、10 和15 MPa。表1和表2 分别给出了48 MPa 混凝土的改进模型和Kong-Fang 模型的材料参数。HJC 模型的材料参数在文献[7]中给出，而RHT 模型的材料参数可以根据单轴压缩强度自动生成。

图3 单个单元模型Fig. 3 Single element model

表1 改进混凝土模型材料参数Table 1 Material parameters of improved concrete model

表2 Kong-Fang 模型材料参数Table 2 Material parameters of Kong-Fang model

2.1.2 单轴压缩

图4 给出了通过改进的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和经验公式[36]得到的单轴压缩应力-应变曲线。可以看出HJC 模型严重高估了单轴压缩峰值应力。同时，峰值应力点之前的应力呈双线性增长，这是状态方程由弹性区进入过渡区引起的，并非应变硬化行为。此外，HJC 模型的预测结果具有明显的残余应力，说明混凝土并没有完全卸载，这与实验结果以及经验公式不符。类似地，RHT 模型的预测结果具有与HJC 模型相同的残余强度，但RHT 模型考虑了应变硬化行为，且应变硬化和软化行为都近似呈线性。对于Kong-Fang 模型，单轴压缩应力-应变关系在峰值应力点之后与经验公式具有较好的一致性，而在峰值应力点之前表现为线弹性上升，未考虑应变硬化行为，导致峰值应力点处所对应的应变值略小于经验公式的预测值。然而，通过改进的混凝土材料模型预测的应力-应变曲线与经验公式基本吻合，特别是对于峰值应力点之前的应变硬化行为的描述，说明该改进模型可以更准确地描述混凝土材料的单轴压缩力学行为。

图4 单轴压缩应力-应变曲线Fig. 4 Uniaxial compressive stress-strain curves

2.1.3 单轴拉伸

图5 给出了通过改进的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和经验公式[32]得到的单轴拉伸应力-应变曲线。可以看出HJC 模型预测的单轴拉伸峰值应力大约是经验公式的三倍，严重高估了混凝土的抗拉强度。此外，应力在达到峰值后将保持不变，说明HJC 模型采用了理想弹塑性模型来描述混凝土的单轴拉伸力学行为，这种简化与实验结果不符。对于RHT 模型的预测结果，单轴拉伸峰值应力的高估程度低于HJC 模型，且应力-应变曲线在峰值应力点之后呈线性下降，说明RHT 模型采用线性软化模型来考虑混凝土材料的应变软化行为，但预测结果和经验公式的一致性较差。而对于改进的混凝土材料模型和Kong-Fang 模型，二者预测的单轴拉伸应力-应变曲线基本重合，单轴拉伸峰值应力等于混凝土抗拉强度，应变软化行为也与经验公式吻合较好。因此，该改进模型和Kong-Fang 模型可以更有效和准确地预测混凝土材料的单轴拉伸力学行为。

图5 单轴拉伸应力-应变曲线Fig. 5 Uniaxial tensile stress-strain curves

2.1.4 三轴压缩

图6 给出了通过改进的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和经验公式[37]得到的三轴压缩应力-应变曲线。从图中可以看出HJC 模型高估了不同约束压力下的三轴压缩峰值应力，且高估程度随着约束压力的增大而减小，说明HJC 模型更适合预测高约束压力下的三轴压缩峰值应力。同时，HJC 模型还低估了不同约束压力下的残余强度，约束压力越大，残余强度被低估的越明显。此外，HJC 模型预测的应变软化趋势与经验公式不同，说明HJC 模型不能很好地描述混凝土在三轴压缩加载下的应变软化行为。对于RHT 模型，三轴压缩峰值应力在约束压力为5 MPa 时，与经验公式几乎相等，但约束压力为10 和15 MPa 时却被低估，说明三轴压缩峰值应力的低估程度随着约束压力的增大而增大。RHT 模型软化部分的下降趋势与HJC 模型类似，但应变软化梯度小于HJC 模型。此外，当约束压力为10 和15 MPa 时，RHT 模型的应变硬化行为呈现出两个不同趋势的上升阶段，这种现象不合理且与实验结果和经验公式不相符，说明RHT 模型不能准确预测混凝土在较高约束压力下的应变硬化行为。对于Kong-Fang 模型，不同约束压力下的三轴压缩峰值应力与经验公式具有较好的一致性，但峰值应力所对应的应变小于经验公式。此外，三轴压缩应力-应变关系在峰值应力点之前呈线弹性，未考虑应变硬化行为，而在峰值应力点之后表现为内凹的下降趋势，且未形成残余强度平台，不同约束压力下的残余强度也与经验公式具有较大的差异，说明Kong-Fang 模型对于三轴压缩加载下应变硬化和软化行为的描述还存在不足。然而，对于改进的混凝土材料模型，三轴压缩加载下的峰值应力和残余强度与经验公式基本一致，应变软化行为也具有与经验公式类似的下降趋势和残余强度平台，说明该改进模型可以更准确地预测混凝土材料的三轴压缩力学行为。

图6 三轴压缩应力-应变曲线Fig. 6 Triaxial compressive stress-strain curves

2.2 弹体贯穿钢筋混凝土靶验证

为了进一步验证改进混凝土材料模型在冲击载荷下的可靠性和准确性，开展了弹体贯穿钢筋混凝土靶的数值模拟，并与HJC 模型的预测结果以及实验结果进行了对比分析。

2.2.1 有限元模型

钢筋混凝土靶的尺寸为610 mm×610 mm×178 mm，靶体内部共有3 层钢筋网，侵彻方向未布置钢筋，最小网格尺寸为76.2 mm×76.2 mm，钢筋直径为5.69 mm，如图7(a)所示。弹体为尖卵形弹，直径为25.4 mm，长度为143.7 mm，弹头曲率半径比为3.0，质量为0.5 kg，如图7(b)所示。为了减少计算量和提高计算效率，选用1/4 对称模型进行分析，并采用六面体网格对靶体、弹体和钢筋进行划分，有限元模型如图8 所示。网格尺寸在3 倍弹径区域内为2 mm，3～9 倍弹径区域为3 mm，剩余区域为4 mm，网格总量为983745。此外，弹体和靶体、弹体和钢筋、靶体和钢筋之间均采用侵蚀接触。靶体选用改进的混凝土材料模型和HJC 模型，材料参数如表1～2 所示。弹体假设为刚体，钢筋选用随动强化模型，材料参数如表3 所示。此外，通过添加关键字MAT_ADD_EROSION 来删除满足失效准则的单元，其中HJC 模型采用最大主应变和最小压力失效准则，而改进的混凝土材料模型采用最大主应变失效准则。

表3 弹体和钢筋材料参数Table 3 Material parameters of projectile and reinforcement

图7 钢筋和弹体示意图Fig. 7 Schematic diagram of reinforcement and projectile

图8 有限元模型Fig. 8 Finite element model

2.2.2 破坏模式

在Hanchak 等[38]开展的贯穿实验中，选取了5 组工况进行数值模拟，弹体初始冲击速度分别为1 058、749、606、434 和381 m/s，且弹体均未击中钢筋。

图9 给出了初始冲击速度为749 m/s 时通过改进的混凝土材料模型、HJC 模型和实验得到的前靶和背靶破坏模式。改进的混凝土材料模型采用损伤程度来判断混凝土是否发生破坏，当损伤D=1 时，混凝土完全破坏，如图9(c)中红色区域所示。然而，HJC 模型的预测结果中前靶和背靶的损伤区域并不明显，故可以通过横截面破坏模式中开坑和剪切冲塞阶段形成的锥形区域来确定靶体破坏范围，如图10所示。结合图9～10 可以看出，数值模拟结果和实验结果都具有明显的开坑和剪切冲塞现象，且背靶的破坏区域大于前靶。在实验结果和改进模型的预测结果中，靶体的等效破坏直径可以定义为：

图9 前靶和背靶的破坏模式Fig. 9 Damage mode on the front and back surfaces

图10 HJC 模型预测的横截面破坏模式Fig. 10 Damage mode on the cross section predicted by HJC model

式中：D1、D2、D3和D4分别为破坏区域内4 个不同方向的直径。

对于实验结果，前靶和背靶的等效破坏直径分别为30.7 和35.4 cm。对于HJC 模型，前靶和背靶可以观察到明显的拉伸破坏现象，但与靶体真实破坏情况并不相符，前靶和背靶的等效破坏直径分别为22.9 和25.2 cm，与实验结果的误差大于25%，说明HJC 模型不能很好地预测混凝土前靶和背靶的破坏模式。然而，对于改进的混凝土材料模型，前靶和背靶的破坏模式与实验结果吻合较好，等效破坏直径分别为27.1 和33.6 cm，与实验结果的误差小于11.7%。上述结果说明改进的混凝土材料模型可以更形象和准确地描述钢筋混凝土靶体的破坏模式。

2.2.3 剩余速度

表4 给出了改进的混凝土材料模型、HJC 模型和实验测得的弹体剩余速度。可以看出，数值模拟与实验结果吻合较好，二者之间的误差随着初始冲击速度的增大而减小。此外，HJC 模型与实验结果的最小和最大误差分别为4.7%和20.8%，改进混凝土材料模型与实验结果的最小和最大误差分别为1.5%和15.5%。引起上述误差的主要原因是混凝土材料模型的连续性假设和数值方法自身的计算误差，前者是由于数值模拟中混凝土单元满足失效准则后将被删除，真实实验中破坏后的混凝土仍与周围混凝土相互作用，导致数值模拟对混凝土抗侵彻性能的预测结果较为保守，一定程度上高估了弹体的剩余速度。而后者是由于侵彻这类非线性问题具有复杂性，并且在数值计算过程中进行了许多假设和简化，进而产生了计算误差。但总体而言，改进的混凝土材料模型比HJC 模型的预测结果更接近实验结果，说明该改进模型可以更准确和可靠地预测弹体的剩余速度。

表4 弹体剩余速度Table 4 Residual velocities of projectile

3 结 论

本文中提出了一种改进的混凝土塑性损伤材料模型来预测其在冲击载荷下的力学响应和破坏模式，主要工作和结论如下。

(1) 改进的混凝土材料模型考虑了压力-体积应变关系、应变率效应、洛德角效应和塑性损伤累积对其力学特性的影响，分别定义了剪切损伤、压缩损伤和拉伸损伤，并引入了一个与剪切损伤和压缩损伤相关的硬化/软化函数来描述混凝土材料在压缩状态下的应变硬化和软化行为。随后，通过对3 个独立的强度面进行线性插值得到了该改进模型的破坏强度面，并采用部分关联流动法则考虑了混凝土材料的体积膨胀特性。

(2) 将改进的材料模型嵌入到有限元软件中进行二次开发，开展了不同加载条件下单个单元的数值模拟，并与HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及经验公式的预测结果进行对比分析，结果表明改进的混凝土材料模型可以更准确地预测其在单轴压缩、单轴拉伸和三轴压缩力学行为。

(3) 采用改进的混凝土材料模型进行了弹体贯穿钢筋混凝土靶的数值模拟，并对改进模型、HJC 模型和实验得到的靶体破坏模式和弹体剩余速度进行了分析，发现改进模型的预测结果与实验结果更吻合，说明该改进模型可以更好地预测混凝土在冲击载荷下的力学响应和破坏模式。