微积分方法在概率论教学中的运用

余月力，胡 慧

（1.武汉大学数学与统计学院 湖北 武汉 430072；2.湖北第二师范学院数学与经济学院 湖北 武汉 430205；3.南昌航空大学数学与信息科学学院 江西 南昌 330063）

在大学工科概率论的教学中，特别是涉及连续型随机变量时，往往需要运用大量微积分的计算。由教学反馈的情况来看，求解二维连续型随机变量函数的概率密度函数，需要运用较多微积分的方法和技巧，对很多学生来说是一个难点。笔者在教学中发现，学生未严格推导，只通过简单类比已有公式，得到的结论往往是不正确的。本文将通过二重积分计算以及二重积分变量代换的一些思路和方法，以一种新的方式，帮助学生理解和掌握二维连续型随机变量函数的概率密度函数的计算和相关公式的推导。

1 常见方法以及难点

对于二维连续型随机变量（X，Y），已知其联合概率密度函数f（x，y）,随机变量Z=g（X，Y），如何求解随机变量Z的概率密度函数？常见的方法有下述两种[1-4]。

方法一，先求随机变量Z的分布函数Fz（z），再将分布函数求导即得到概率密度函数fz（z）。具体而言，通过

来计算随机变量Z的分布函数，其中积分区域

则随机变量Z的概率密度函数为

下面，通过具体的例子来分析这一方法的运用。例如求解Z=X+2Y的概率密度函数，（X，Y）的联合概率密度为

与通常微积分课程里二重积分的计算不同，在微积分课程里计算二重积分，积分区域往往是平面内一个确定的区域，被积函数在该区域上也是唯一的一个函数表达式。而在计算分布函数的时候，这时积分区域D是与z有关的区域，即区域D的边界或端点往往与z有关。同时，被积函数中联合概率密度函数f（x，y）是分块定义的，在不同的区域上表达式是不同的或者在某些区域上取值为0。因此真正需要积分的区域是区域D与联合密度函数不为0的区域G的公共部分。因此需要分情况讨论，当z≤0时，D与G的公共部分为空集；当0

由上面的分析可知，此方法的麻烦之处在于对于不同的z，积分域D不同，需要对不同取值范围的z，分情况讨论。这需要先分不同情况计算二重积分再计算导数，计算量较大。

方法二，即积分转换法。若对于任意的有界连续函数h（z），下面的等式

成立，则Z的概率密度函数为

在上述积分等式的转化中，需要把对x，y的二重积分转化为对z的定积分。在本文参考文献中，往往先进行定积分的换元，再交换积分次序。这里的定积分换元，被积函数是二元函数，对其中一个变量积分。故定积分的换元相当于含参变量的定积分作换元积分，因此对于非数学专业的学生往往不习惯也不熟练。在第三节，我们将运用新的思路来处理，即运用二重积分变量代换的方法来取代参考文献中先定积分换元，再交换积分次序的方法。

下面分析特殊的情况Z=X+Y，本文参考文献中的推导过程都是运用方法一，即先求分布函数

接下来，对上述二重积分，先对括号里的定积分做换元u=y+x，再交换积分次序，得到

即学生的处理方法为将联合密度函数中y用z2x和（z x）/2作替换，则得到上面的结论。本文将在第三节运用二重积分变量代换的方法来证明这两个结论第一个是正确的，第二个是错误的。

2 运用积分区域的转化解决定积分的计算问题

下面通过具体的实例来说明对于Z=X+Y，如何通过公式中的定积分来求Z的概率密度函数，本例中（X，Y）的联合概率密度函数为

计算上述定积分，关键是确定被积函数何时不为0，设D表示xOz平面内被积函数不为0的区域，则

上述区域D在文献[5]中称为X型区域，则D可以写成两个Z型区域D1和D2的并集，其中

其他情形下，被积函数恒为0，故概率密度函数为0，即

因此通过把xOz平面的X型区域写成Z型区域的方式就很容易确定z的取值范围以及x的积分区间。

3 运用二重积分的变量代换来求解和推导概率密度函数

在这一部分，对于Z=aX+bY，本文将采用二重积分的变量代换的方式，从而避免含参变量的定积分换元。例如对于Z=2X+Y，考虑线性变换

则该线性变换的雅可比行列式为

则

故由第一节的方法二知

但是，当Z=X+2Y时，此时考虑线性变换

与上面的线性变换不同，该线性变换的雅可比行列式为

与之前的情况不同，此时的雅可比行列式不是1，因此在做变量代换的时候，会出现1/|J|，因此

由第一节的方法二可知

故第一节未经严格推导，只通过类比得到的两个结论第一个正确，第二个不正确。

因此，运用二重积分的换元法，可避免含参变量的定积分的换元，对于非数学专业的学生易于理解和掌握。通过二重积分的换元法和第一节的方法二，可用于一般的线性函数Z=aX+bY（a，b0）求解概率密度函数。例如对于Z=2X3Y，考虑线性变换u=x，z=2x3y，则该线性变换的雅可比行列式

则运用第一节的方法二，可以得到

如果联合概率密度函数已经给出，则利用上面Z的概率密度函数的计算公式，由第二节积分区域从X型区域转化为Z型区域的方法计算上面的定积分，由此即求出Z的概率密度函数的具体表达式。这样就完全避免了含参变量积分的定积分换元。另外对于

可用方法二和二重积分的极坐标变换求解。例如

这里积分区域D表示第一象限，用极坐标表示出来，即为

故由第一节的方法二知

4 总结

在概率论中计算积分的时候，与微积分里通常计算的定积分和二重积分不用，积分区间或区域往往不是固定的，带有一个参数，而被积函数往往是分段或分块函数，因此积分需要写成不同的区间或不同的区域上分别积分之和；二重积分交换积分次序以及积分区域的转化在概率论的计算和推导过程中会经常用到；二重积分的变量代换除了解决前文的相关问题以外，在其他一些重要结论的证明和计算时仍会用到，例如对于二维连续型随机变量作正交变换，求得到的新的二维随机变量的联合概率密度函数。因此，在高等数学（微积分）的教学中，教师可引导学生适当多加强这些知识点的练习，或者在概率论的课程中对这部分高数的内容做一些针对性强化，都将有助于学生更快更好地理解和掌握相关概率论的知识点。