高维解析Jacobi算子的Lyapunov指数的log-Hölder连续性

尤安迪，陶凯

(河海大学理学院,江苏 南京 210098)

0 引言

在本文中，我们将研究定义在l2()上的如下拟周期解析Jacobi算子

(1)

其中V:d→是一个实解析函数，a:d→是一个复解析函数且不恒为d被称为初相，被称为频率．

因此,我们定义

(2)

则

是一个Jacobi斜积流.

显然，如果我们定义

为系统的n步转移矩阵，则

在本文中,我们主要考虑系列的Lyapunov指数的连续性问题. 首先，我们定义有限Lyapunov指数

显然，它们是满足次可加性的，即对任意大于零的正整数m,n，都有

nLn+mLm≥(m+n)Lm+n.

(3)

此即为本系统的Lyapunov指数．

(4)

至此，我们介绍本文中的主要结论：

f(x,y)=sin2πx-sin2πy.

离散哈密顿算子的Lyapunov指数的连续性问题一直是本领域内的热点问题．在文献[1]中，Goldstein-Schlag研究了定义在一维环面上的解析离散薛定谔方程

(Sx,ωφ)(n)=φ(n+1)+φ(n-1)+v(x+nω)φ(n),n∈

(5)

他们开创性地使用了大偏差定理和雪崩原理(具体定义见下一节)来研究这一问题，证明了当势能v是一维解析函数且频率ω为强Diophantine数时，算子的Lyapunov指数关于能量E是Hölder连续的．此后，包括菲尔兹奖得主J.Bourgain,A.Avila等人，都利用这一套工具研究相关算子的Lyapunov 指数各类问题，如文献[2-4]．另一方面, 尤建功与王奕倩等人在文献[5-6]中也给出了Lyapunov指数不连续的例子．最近， 韩瑞和张世文在文献[7]中研究了薛定谔算子(5)在任意无理数频率下的Hölder连续性问题，而陶凯在文献[8]中将这一结果推广到了本文中所研究的更一般的Jacobi 算子(1)上．

与本论文直接相关的是文献[9-10]． 在文献[9]中，陶凯研究了定义在一维环面上的解析Jacobi算子(1)式的同类问题．而在文献[10] 中，陶凯研究了高维解析斜积流所对应的Lyapunov 指数的连续性问题，即

(6)

1 准备工作

在本节，我们主要进行主定理证明的准备工作．

首先，需要说明的是，对于Lyapunov指数的连续性问题，我们只要考虑算子谱集上的能量E即可．这是因为，在预解集上，其是一个C∞函数．注意到，此算子的谱必然在如下的闭区间中：

(7)

所以在本文中，我们只需要考虑E∈ε上的证明即可．

其次，在上一节，我们说过，Goldstein-Schlag[1]创造性地给出了一套证明Lyapunov指数连续性的方法，此后，包括上述所提到的所有文献在内，大家都在使用此方法进行研究．经过约20年的发展，学者们发现，只要得到了所研究的动力系统所对应的大偏差定理，则使用如下的雪崩原理，可以非常顺利地得到最后的Lyapunov指数的连续性．

命题3(雪崩原理) 令A1,…,An为2×2矩阵的序列，其行列式满足

(8)

假设

(9)

且

(10)

那么

(11)

其中C为某个绝对常数．

同样地，在本文中，我们只要得到如下被称为大偏差的定理，则剩下的内容可以直接使用文献[10]中的第三部分即可：

故本文中只需要证明定理4． 为此，我们主要需要关于高维次调和函数的强Birkho遍历定理．如果T是可测空间(X,Σ,m)上的一个遍历映射，函数f是X上的m-可积函数，则对几乎处处x∈X，其“时间平均收敛到“空间平均”．但此定理并没有告诉我们上述的收敛速度．因此，我们将给出这一速度的定理称为强Birkho遍历定理．

再次, 我们来介绍次调和函数．先介绍一维的情况．设u(z)是定义在复区域Ω⊂上的实值函数．

定义5[10]我们称u(z)是定义在区域Ω上的次调和函数，如果

1)u(z):Ω→[-∞,+∞)；

2)u(z)是从Ω映入[-∞,+∞)上半连续函数；

3)对任意的z1∈Ω， 总存在r1=r1(z1)>0使得对任意的0

(12)

此时, 我们可以用递归的方法定义高维次调和函数：

注7当f(z)是解析函数时，由Jensen公式：

因此，在文献[10]中，函数

也是次调和的． 所以，为了得到其对应的大偏差定理，证明了如下的对于uN的强Birkho遍历定理：

(13)

(14)

至此，我们完成了所有的理论背景的介绍．我们将在下一节中给出大偏差定理，即定理4的证明，从而得到本文关于连续性的主要结果．

2 大偏差定理的证明

首先，我们需要注意的是，本文中考虑的斜积流(2)是亚纯的，而非解析的．因此，为了使用命题8，我们需要对其解析化．具体地，我们定义

和

(15)

(16)

(17)

定义

(18)

由(15)式可得

(19)

其中

(20)

这里, 为了让系统有意义, 我们需要说明常数D是有限的.

引理9的证明我们证明一个更强的结果：对任意>0，

由(14)，我们得到

(21)

因此，

引理10对任意的正整数k，都有

(22)

并在命题8中取N=1，注意到此时

则由命题8直接得到本引理.

此时,由于(15)，(16)，(19)式以及引理10,我们会发现, 想要证明大偏差定理4, 其实只要证明

即可．

(23)

引理11的证明注意到

故

类似地，

故

进一步地, 我们有

性质12(1)

(2)

性质12的证明(1)由引理11和三角不等式直接得到.

(2)对任意的1≤k≤K，

由于

和

则

同样地，

(24)

因此，

取δ=k1-τ1，并使用引理10，可得

(25)

注意到，我们此前已经取定k=N1-2σ且已经证明D是一个有限常数，故|(k+1)D+k1-τ1|≤N1-σ,从而有

(26)