APP下载

从问题生长,培养数学分类思想
——以苏科版数学七(上)“绝对值与相反数”复习课教学为例

2022-11-30李文明

初中生世界 2022年44期
关键词:正数例题分类

■李文明

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果。因此,在培养分类思想上,应当突出“比较”二字。那么,如何“比较”呢?笔者认为,在教学中应当突出分类讨论中分类标准的“差异性”,比如:为什么选择这个时间段为变化后与变化前的界限?动态变化中,为什么找这个点为转折点?通过练习将分类标准的寻找变成学习的自动化过程,多训练几次,学生便可以在做中领悟到分类的道理。此外,培养分类思想的关键还在于教会学生如何思考问题。

现在的初中数学教学遵从生长数学的理念,就是让学生主动地在已有的知识体系上建立新知识的结构体系。俗话说,万事开头难。难就难在七年级的第一次分类讨论如何进行。在初中阶段,学生第一次用到分类讨论是在“绝对值与相反数”这一节,因此,教师要在这一节进行教学设计与思考,探讨分类讨论的具体形式以及思路方法,从而初步培养学生的分类讨论思维体系的建构。

下面,笔者以苏科版七(上)“绝对值与相反数”复习课为例,探讨如何从问题生长,培养学生的分类思想。

一、教学设计

1.问题呈现

例题:在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想。下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答问题。

【提出问题】已知三个有理数a、b、c,满足abc>0,求的值。

【解决问题】由题意,得a、b、c都为正数或其中一个为正数,另两个为负数。

①a、b、c都是正数,即a>0,b>0,c>0时;②当a、b、c中有一个为正数,另两个为负数时,不妨设a>0,b<0,c<0,则

【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题:

(1)已知a、b是不为0的有理数,当 ||ab=-ab时的值是____;

(2)已知a、b、c是有理数,当abc<0时的值为____;

(3)已知a、b、c是有理数,a+b+c=0,abc<0,求的值。

2.问题引导

如果一开始就让学生解决问题,学生会感到很困难,同时也说明这是一节“失败”的复习课。所以,在展示出例题以后,笔者先让学生将问题“放一放”,先考虑下面的问题:

从建构主义的角度来说,学生学习的过程就是在脑海中建立一套体系的过程。从分类思想的培养来说,前两个问题是引导学生了解对于绝对值里面的数,不用考虑符号;后两道题则是引导学生对比、比较,让他们发现虽然两个数的绝对值一样,但做除法之后好像又不一样。这也是由特殊到一般的数学方法的渗透。

这时学生就会联想到一开始的问题并进行思考,但过一会儿又会意识到“好像懂但又解不出来”。这是因为他们没有理解“abc>0”这个条件。而这一个条件之所以“无用武之地”,是因为分类讨论思想还没有渗透到他们的心中,只是有提示了,他们才会想起来讨论。

所以,笔者给出另一组口答形式的问题来提示他们:

(1)2×3 0;(2)2×(-3)0;(3)(-2)×3 0;(4)(-2)×(-3)0;

这四个问题可以提示学生,“ab”大于零还是小于零,和a、b的正负情况有关。这时再次引导学生回过头来看例题的第一问该如何思考。

到这里,学生就会知道,||ab=-ab的意思就是ab为非正数,进而得到a、b的符号是一正一负,即a、b异号。引导至此,学生自然而然建构起初步的分类讨论的思想:要考虑正负情况。

此时,学生的知识树已经“生长”出了几根“枝叶”,第一问就可以让学生自主解决。为了加强学生对问题的分析解决能力,教师还应该渗透数学思想方法:“第二问与第一问的区别与联系是什么呢?”(这也是“比较”的一种具体表现形式。)

学生回答:“多了一个c。”这时教师要进一步引导:“第一问的思路可以推广到第二问吗?试试看!”这句话是为了渗透“由特殊到一般”的思想方法,也为了让学生体会解答题的一般解题思路:后面的问题一般都和第一问有关,甚至可以使用类似的思路来解答。在实际解题中体会数学思想方法是最直接、最有效的。

对于第二问,往往是数学能力中等偏上的学生能依靠第一问的提示完成解答。此时,其他学生需要的不是具体的解答过程,而是需要教师引导:“三个数相乘,什么情况为正?什么情况为负?”大多数学生便知道数的乘积的正负与乘数的正负情况有关。要想进一步深化分类讨论思想,教师还要在后续的教学中继续引导。

对于第三问,学生很难想到先移项,再依靠等号将b+c转化成-a,a+c转化成-b,a+b转化成-c。一方面,第三问多了一个条件,学生无所适从;另一方面,对等式进行移项转化,或等式两边同时加、减同一个数的方法,与前两问的解决方法完全不一样,并且在小学也没有用过。这里,就需要教师进一步引导:

(1)1+2+(-3)= ;(2)1+(-4)+3= ;(3)(-3)+1+2= 。

这三问是引导学生思考、利用“a+b+c=0”这个条件的,但依然会有学生无法理解如何利用。故还需要教师适时引导:“同学们看看和为0的三个数有什么特征?”学生是可以看出来绝对值的关系对和的影响的,如果这时学生还没想到相反数,那么教师可以提示学生:“前两问我们对什么进行了讨论?”

至此,便是学生自主思考的时间,即“在做中学”。

在本节课快结束时,教师还要带领学生再次回顾本节课的重点,要让学生学会如何从题目中找到思考的方向。其中,分类讨论思想依然需要教师强调并设计针对性练习进行巩固。

二、教学反思

在数学教学中,提倡“生长数学”的建构主义方法研究。以一道题为例,要想串联起一整套的分类思想方法,重点在于对例题的解构,将例题分成一个个小部分,由易到难,逐步推进,让学生在一个个部分中体会数学思想。“在做中学”是培养学生分类思想的有效途径。教师要设计一个个“阶梯式”的小题,提示学生思考;建立奖励机制,鼓励学生往正确的方向思考;注重“以小见大”的题目布置,设计问题紧凑严密,逐步推进,像讲故事一样,将数学思想娓娓道来。

本节课的设计,主要围绕绝对值的讨论进行。为什么绝对值的内容会出现分类讨论的问题?是因为“绝对值”这一映射是单射,这种非一一映射的对应在初中阶段不多出现。弄明白分类讨论产生的原因,对问题的讲解会更加接近本质,这里不再详细叙述。除了绝对值,平方根的内容也会出现单射,同样也需要分类讨论。那么,要想让学生了解、熟悉、理解这样一种单射,需要这类分类讨论的问题长期重复出现,还需要教师强调以及注重讲解中的思想渗透。

在初中阶段,学生第二次遇到分类讨论是在用一元一次方程解决行程问题时。行程问题是应用题里难啃的“硬骨头”。两物体相遇以后改变运动方向的问题,以及环形跑道的相遇问题,归根到底,都是对不同时刻的运动状态进行分类讨论的问题。对运动状态改变的时间节点进行讨论,可以和“绝对值与相反数”的内容进行类比思考。行程问题的分类标准是运动状态改变时的时间节点,而绝对值的分类讨论大部分都是对“正负”进行讨论。前者是实际生活中可以进行类比参照的,也是完全可以想象出来的分类讨论,而后者更偏于理论上的讨论,但是在分类讨论的种类分化上,本质是一样的,就是通过“比较”,找到问题中量的性质变化的临界点,进行划分。而这也和戴德金分割的思想一致,即将数集中的数进行分割,分割的标准就是数与数之间的“临界点”。

再回到教学中,教师设计好教学问题之后,课堂上还要给足学生思考的时间。教师不仅要引导,还要让他们主动跟着教师的思路走,所以,这就要求:题目的问题设计难度梯度合理,前后紧凑连贯;教师的威信度高,学生信服;教师的设问引导要有诱发性,学生愿意去思考。

猜你喜欢

正数例题分类
分类算一算
由一道简单例题所引发的思考
由一道简单例题所引发的思考
“正数和负数”检测题
分类讨论求坐标
数据分析中的分类讨论
教你一招:数的分类
向量中一道例题的推广及应用
学好乘方四注意
问渠哪得清如许 为有源头活水来